线积分面积分习题课PPT学习教案

1、会计学1 如果如果 L 的方程为的方程为,:),(baxxy则则xxxQxxPbad )(,)(,( ) xLyyxQxyxPd ),(d ),(对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx ( ),( ),( )Qttt ( ),( ),( )Rtttdt如果如果 L 的方程为的方程为( ),:,xyy cd则上式则上式 ( ), ( ), ddcPyyQyyy( )y( )yx ( )xy 第1页/共61页(coscoscos )PdydzQdzdxRdxdy

2、PQRdSddd(coscoscos )dP xQ yR zPQRs两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系T),(yxfz xyzo),( coscoscos),( coscoscos第2页/共61页221( , )( , )xyzx yzx y dxdy , , xyDf x y( , , )df x y zS),(:. 1yxzz 若曲面若曲面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：, 面上的投影面上的投影在在为为xoyDxy ijD ijS iP( , )Z x y;dd ),(),(1),(,22zxzxyzxyzzxyxfxzDzx Szyxfd),

3、(则则.dd ),(),(1,),(22zyzyxzyxzyzyxfyzDzy Szyxfd),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则2.:( , ),yy x z若曲面第3页/共61页 RdxdyQdxdzPdydzdsnF、2 dxdyyxzyxRzyxzyxQzyxzyxPyDxxy),(,)(,(,)(,(, RdxdyQdxdzPdydz、1 dydzzyxP),( dzdxzyxQ),( dxdyzyxR),( dsRQP)coscoscos( RdxdyQdxdzPdydzdsnF、3:( , )zz x y 情情形形四、四、对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分第4页/共61页注

4、意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. . , , ( , )d d ,( , , )d d , , ( , )d d.xyxyDDR x y z x yx yR x y zx yR x y z x yx y取上侧取下侧xyD),(yxfz xyzodsn计算计算:( , )zz x y情形情形第5页/共61页将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分二重积分. .那么那么上连续上连续在在函数函数的方程为的方程为如果如果,),(),(),(,),(),( yxRyxQyxPDyxyxzzxy yxz

5、yxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( , , ( , )xP x y zzx y , , ( , ) , , yQ x y zzx yR x y z dxdy第6页/共61页则则如果如果证证,),(),(:)1(xyDyxyxzz )cos,cos,(cos n,11,1,1222222 yxyxyyxxzzzzzzzz,dcosdd,dcosdd,dcosddSyxSxzSzy 由于由于SSzydcoscoscosdcosdd ,dd)(ddcoscosyxzyxx yxRxzQzyPdddddd()d d .xyPzQzRx y SSxzdcoscoscosdcos

6、dd .dd)(ddcoscosyxzyxy 第7页/共61页 , , ( , )xP x y zyz x , , , , ( , )dxdzzQ x y zR x y zy z x yxRxzQzyPdddddd).(,),(),(:)3( CRQPDzyzyxxyz , , , , ( , )yP x y zQ x y zxy z , , ( , )dzR x y zxy zydz yxRxzQzyPdddddd).(,),(),(:)2( CRQPDxzxzyyzx第8页/共61页dSRQPdxdyRQdzdxPdydzI)coscoscos( 或由两类曲面积分之间的联系或由两类曲面积分

7、之间的联系xyxyDPx,y,z(x,y)( z ) Qx,y,z(x,y)( z )Rx,y,z(x,y)dxdy( , ),zz x y如果 由给出 则有 如果 由给出 则有 dsRQPI)coscoscoscoscoscoscos( xynz , z ,1 yxzzcos,cos,cosnnn1 ()d d .xyPzQzRx y 第9页/共61页合一投影法（向量点积法）合一投影法（向量点积法） ,1,),(:yxffyxfz 法向量为法向量为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyx

8、 面投影面投影在在将将第10页/共61页所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量点积法利用向量点积法 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxy第11页/共61页例例 4 4 计算计算zdxdydydzxz )(2, ,其中是旋转抛物面其中是旋转抛物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及2 z之间的部分的下侧之间的部分的下侧. . 解解 dydzxz

9、)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2.11cos,1cos2222yxyxx 11, , ,xynzzx y22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy第12页/共61页22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 第13页/共61页21 ( , , )( , , ) ( , , ),( , , ),If x y zx dydzf x y

10、zy dzdxf x y zz dxdyf x y zxyz 计算计算其中为连续函数其中为连续函数为平面在第四卦限部分的上侧为平面在第四卦限部分的上侧例例5 5xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系111 , , n 的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos cos用用dxdydscosdydzdscosdxdzds代入得：1112333 ( , , )( , , ) ( , , )If x y zxf x y zyf x y zz dS dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 第14页/共61页二高斯二高斯 公式公式zyxzRyQx

11、PdddyxRxzQzyPdddddd 定向曲面边界曲线的定向曲面边界曲线的.ddddddddd zRyQxPRQPzyxyxxzzycoscoscosddd .dsP xQ yR zxyzPQR三、斯托克斯公式三、斯托克斯公式 d ddd .QPx yP xQ yxy一格林公式一格林公式第15页/共61页 对对称称，面面关关于于直直线线所所谓谓轮轮换换对对称称性性是是指指曲曲zyx . ,323 仍与原曲面重合仍与原曲面重合弧度后弧度后或或旋转旋转即将曲面绕直线即将曲面绕直线 zyx. , 1 2222Rzyxzyx 例如例如:0),( ,具有如下特征具有如下特征则其方程则其方程若曲面具有轮

12、换对称性若曲面具有轮换对称性 zyxF. , , ),( 的表达式的表达式不会改变不会改变的位置任意互换的位置任意互换中变量中变量将将FzyxzyxF.)z ,x, y(F)x, z , y(F)y,x, z(F)z , y,x(F 第16页/共61页. , ,积分值不会改变积分值不会改变无论怎样互换无论怎样互换变量变量中的中的则被积函数则被积函数曲面具有轮换对称性曲面具有轮换对称性z , y,x)z , y,x(f轮换不变性轮换不变性 若曲面若曲面 有轮换对称性有轮换对称性, , 则则 上的第一类曲上的第一类曲面积分有轮换不变性面积分有轮换不变性. . SxzyfSyxzfSzyxfd),(

13、d),(d),(.)z ,x, y(F)x, z , y(F)y,x, z(F)z , y,x(F 0 )z , y,x(F: 曲面曲面第17页/共61页( , , )d( , , )d( , , )df x y zSf z x ySf y z xS. , ),( ,积分值不会改变积分值不会改变无论怎样互换无论怎样互换变量变量中的中的则被积函数则被积函数若曲面具有轮换对称性若曲面具有轮换对称性zyxzyxf线线例例. 计算计算,d2sx其中其中 为球面为球面 2222azyx被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0zyx解解: 由轮换对称性可知由轮换对称性可知sx d2sy d2sz d2x,

14、 y, z 地位相等地位相等szyxsxd)(31d2222aa2312332a第18页/共61页例例解解.dd)( )0, 0, 0( 1 SxSyxzyxzyx与与求求设曲面设曲面 , 1 有轮换对称性有轮换对称性曲面曲面 zyx由积分的轮换不变性知由积分的轮换不变性知,SzSySx ddd Syxd, 0dd SySx SzyxSx)d(31d Sd31.612131 第19页/共61页.)10(,dddd)2(22的上侧的上侧为有向曲面为有向曲面其中其中计算曲面积分计算曲面积分 zyxzyxzzyzx4,.为为了了对对第第二二类类曲曲面面积积分分的的方方法法有有一一个个全全面面的的了了

15、解解 并并对对不不同同的的方方法法进进行行比比较较 下下面面用用 种种不不同同的的方方法法求求解解:方法一方法一. yxzIzy)zx(Idddd 212和和分别计算分别计算-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51例例1第20页/共61页-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51.:,211 分成两片分成两片将将时时计算计算I)(),(2221取前侧取前侧为为取后侧取后侧为为yzxyzx .11, 1| ),(),(2 yzyzyDzyyz 21dd)2(dd)2(1zyzxzyz

16、xI2222()d d()d dyzyzDDzyzy zzyzy z . yxzIzy)zx(Idd , dd 212zyzyzyyzyDyzdd4dd4111222 yyd)1(3823112 204dcos316sinttty. 第21页/共61页-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51.1| ),(,dd)(22222面上的投影区域面上的投影区域在在是是其中其中而而xoyyxyxDyxyxIxyDxy xyDI dd32,2dd1020 21II 故原式故原式.22 . yxzIzy)zx(Idd , dd 212第22页/共61

17、页:方法二方法二.,dd)2(的的曲曲面面积积分分化化为为对对坐坐标标将将yxzyzx 故故由于由于,dd2dd)(ddyxxyxzzyx yxzxzxyxzzyzxdd)2( )2(dddd )2( yxyxyxxxxyDdd)()(2422222 , 0dd )(22 yxyxxxyD由对称性知由对称性知2()d dd dxzy zz x y -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51 xyxyDDyxyxyxxdd)(2dd4222且且.2dd)(22 xyDyxyx上式上式故故()由轮换对称性由轮换对称性第23页/共61页:方法三

18、方法三.算算化为第一类曲面积分计化为第一类曲面积分计处的单位向量处的单位向量上任一点上任一点由于由于),(zyx )1 ,(11zyyxzzzzn )1 ,2,2(441122yxyx 2()d dd dxzy zz x y -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51Syxzxzxyxzzyzxd4411)2)(2(dddd )2(22 故故222222(2) ( 2 )()1 44xyDxxyxxyxy .2dd)()(2422222 yxyxyxxxxyD221 44 d dxy x y.,它们实质上是一样的它们实质上是一样的比较方法

19、二和方法三比较方法二和方法三第24页/共61页 :方法四方法四.利利用用高高斯斯公公式式进进行行计计算算 ,1, 1| ),(22取下侧取下侧作辅助曲面作辅助曲面 yxzzyx-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51 则由高斯公式知则由高斯公式知所围之立体所围之立体与与为由为由记记, (2)d dd dxzy zz x y vd3 zyxyxz22ddd310,23d310 zz(2)xzzdvxz 因此因此其面积为零其面积为零面上的投影为一线段面上的投影为一线段在在由于由于,yoz (2)d dd dd dxzy zz x yz x

20、yyxzzyzxdddd )2( 于是于是1d dxyDx y .2)(23 .,以方法四最简便以方法四最简便可见就本题的计算而言可见就本题的计算而言第25页/共61页.0, 2, 1,d22面面所围成的空间立体的表所围成的空间立体的表平面平面是圆柱面是圆柱面其中其中计算计算 zxzyxSx. 1:, 2:, 0:22321 yxxzz积分曲面积分曲面. 1:2221 yxDxOyxy均为均为面上的投影区域面上的投影区域在在和和 xyDxSx d001d221例例2解解SxSxdd321 yd dxyDx x y )(轴对称轴对称积分区域关于积分区域关于y, 0 第26页/共61页, d 1中

21、中在在 Sx xyDyxxSxddd1,dddyxS , 0 )(轴对称轴对称积分区域关于积分区域关于 y, d 2中中在在 Sx,dd11dyxS xyDyxxSxdd2d2, 0 y第27页/共61页,3向其它坐标面投影向其它坐标面投影面上的投影不是区域面上的投影不是区域在在xOy .,投影相同投影相同分成前后两片分成前后两片坐标平面坐标平面选择选择zOx.11222xyyx 可得可得由由,1:231xy 前片前片.1:232xy 后片后片. 20, 11: xzxDzx投影区域投影区域y第28页/共61页xzyySxzdd1d22 xzxxdd01122 .d 相同相同前后两片前后两片

22、S.dd112xzx 32313dddSxSxSx zxDxzxzyyxdd1222 zxDxzxxdd122 11202dd12xzxxx, .00dd 321 所以所以SxSx第29页/共61页zoxy.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标2111第30页/共61页例例 3 3 计算曲面积分计算曲面积分 yzdxdydzdxyxdydz

23、yI4)1(2)18(2 , , 其中其中 是由曲线是由曲线)31(01 yxyz绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于2 . . 解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕xyzo132 *第31页/共61页xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 第32页/共61页 *2)31(2dzdx,32 )32(2

24、I故故.34 )(31yDdxdzdydv221xzy 31)1(dyy ,2 或：或：xyzo132 *yzdxdydzdxyxdydzy4)1(2)18(2* 第33页/共61页212222222598(),()() axdydzzadxdyIxyzzaxya 例 ：计算其中为例 ：计算其中为下半球面的上侧， 为大于零的常数。下半球面的上侧， 为大于零的常数。 dxdyazaxdydzaI2)(11）：）：解（解（ vSdvazaadxdyazaxdydza)22(1)(12323213azdvav 30222222adxdyzdzazayxa 323a ssdxdyazadxdyazax

25、dydza22)(1)(1 Dsdxdyaadxdyaa22113a )(2333aaI 23a S第34页/共61页)98(,)()(5222212222为大于零的常数。为大于零的常数。的上侧，的上侧，下半球面下半球面为为其中其中计算计算例例ayxazzyxdxdyazaxdydzI dxdyazaxdydzaI2)(1解解 dxdyazdxdyzaxax2)()(1 Ddxdyayxayxaxaxa)()(12222222.23a S222:ayxD 第35页/共61页coscoscos vvvvnxyz证明：证明： coscoscoszuyuxunu 第36页/共61页 coscosco

26、szvuyvuxvunvu coscoscoszuvyuvxuvnuv dsnuvnvu)( 即即dszuvzvuyuvyvuxuvxvucos)(cos)(cos)( dxdyzuvzvudxdzyuvyvudydzxuvxvu)()()( 2222)(xuvxuxvxvuxvxuxuvxvux 又又2222xuvxvu dvzuyuxuvzvyvxvuIV)()(222222222222 第37页/共61页(1)(1)简化曲线积分简化曲线积分.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正向边界正向边界为顶点的三角形区域的为顶点的三角形区域的是以是以其中其中计算计算LyxyxxL

27、 xyO11D由格林公式由格林公式所围区域为所围区域为记记,DL DLyxyxxxyyxyxxdd)()(dd44 Dyxydd.61dd1010 xyyx例例1解解第38页/共61页xyABCO1 21.)0 , 1()1 , 0(1)1 , 0()0 , 2(22,d)e3(d)2(22接而成的定向曲线接而成的定向曲线的一段连的一段连到到上从点上从点圆弧圆弧的一段及的一段及到到上从点上从点由直线由直线是是其中其中计算计算 CByxBAyxLyyxxyxLy.CA添加定向线段添加定向线段.CALL 定向闭曲线定向闭曲线,22yxP ,e3yyxQ , 2 yP. 3 xQ根据格林公式得根据格

28、林公式得例例2解解第39页/共61页 Dyxdd)2(3 Lyyyxxyxd)e3(d)2(2 CALyyyxxyxd)e3(d)2(2).14(5dd5 Dyx. 21:, 0: xyCA CAyyyxxyxd)e3(d)2(2. 3d212 xx Lyyyxxyxd)e3(d)2(23)14(5 . 245 xyABCO1 21第40页/共61页xyOABr.)0 ,(), 0(,d的部分的部分到到的圆周在第一象限从的圆周在第一象限从是半径为是半径为计算计算rBrArLyxL ., BOOA添加定向直线段添加定向直线段.LOABO 定向闭曲线定向闭曲线,),(, 0),(xyxQyxP .

29、 0, 1 yPxQ DyxyPxQyxdd)(d Dyxdd.42r 例例3解解 BOyxd OAyxd .4dd 2ryxyxL 所以所以, 0d00 rxx, 0d00 ry第41页/共61页OAxy.)0 , 0(2)0 ,2(,d)cose (d)(sine 2的有向弧段的有向弧段到点到点线线沿曲沿曲为从点为从点为正的常数为正的常数其中其中计算计算OxaxyaALbayaxyxyxbyIxLx 解解,cose,cosbyyPayexQxx ,abyPxQ ,构成闭曲线构成闭曲线添加辅助线添加辅助线LOAOA ,D所围的区域记作所围的区域记作D例例4第42页/共61页yaxyxyxby

30、IxxLOAOAd)cose (d)(sine 由格林公式由格林公式21II yxabDdd )( 2)(2aab , 0, 0, dyyxOA轴上轴上在在由于由于21III 于是于是 axbxI202d)(故故yxyPxQIDdd1 ,22ba .22232aba 第43页/共61页OABxy(2)(2)简化二重积分简化二重积分.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(:,dde2为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域以以计算计算BAODyxDy 则则令令,e, 02yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyyxyxdedde22 OAyyxde2. 10:.: xxyOA).e

31、1(211 10de2xxx例例5解解第44页/共61页.2dd2dd的面积的面积DDLSyxyxxy (3)(3)计算平面区域的面积计算平面区域的面积.d),(d),(d)( LDyyxQxyxPyPxQ 则则令令,xQyP 则则令令, 0 xQP .ddd的面积的面积DDLSyxyx 则则令令, 0, QyP.ddd的面积的面积DDLSyxxy .dd21dd LLLDyxxyxyyxS的面积的面积第45页/共61页例例6 6所围成图形的面所围成图形的面求椭圆求椭圆 sin,cosbyax .A积积解解 LxyyxAdd21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab

32、 Oxy第46页/共61页.)0()(2成的图形的面积成的图形的面积轴所围轴所围与与计算抛物线计算抛物线xaaxyx .dd21 LDyxxyS的面积的面积.AMOONAL .0:, 0:axyONA . 0:,: axxaxyAMOO)0 ,(aANM LDyxxySdd21的面积的面积 AMOONAyxxyyxxydd21dd21 0d)12()(210axaxaxaxx.612a 例例7 7解解第47页/共61页(4)(4)计算曲线方程未知的曲线积分计算曲线方程未知的曲线积分.,dd22方向为逆时针方向方向为逆时针方向闭曲线闭曲线滑且不经过原点的连续滑且不经过原点的连续分段光分段光为一条

33、无重点为一条无重点其中其中计算计算LyxxyyxL .),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,)0 , 0(),(时时当当 yx,)(22222yxxyyPxQ . 0 yPxQ即即.,上不一定连续上不一定连续在在所围成的闭区域为所围成的闭区域为记记DyPxQDL 例例8 8解解第48页/共61页xyOLDxyOLD.,)0 , 0()1(上连续上连续在在时时当当DyPxQD DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22. 0 .,)0 , 0()2(上不连续上不连续在在时时当当DyPxQD .,:,1222DCLLDCryxCrrrr围成的复连通区域为围成的复连通区域为共同共同与与

34、记记不相交不相交内且与内且与位于位于使得使得为半径作圆周为半径作圆周以原点为圆心以原点为圆心 rC第49页/共61页).(),(),(1)1(DCyxQyxP xyOL1DrC.,1格林公式格林公式上应用上应用在在取逆时针方向取逆时针方向DCr LDyQxPyxyPxQdddd)(01 rCLyQxPyQxPdddd rrCCLyQxPyQxPyQxPdddddd所以所以)(2dd122所围图形的面积所围图形的面积rCCrxyyxrr .2222 rr( (积分值与积分路径无关积分值与积分路径无关) )第50页/共61页.),1(,)0 , 1(,4dd22取逆时针方向取逆时针方向为半径的圆周

35、为半径的圆周为中心为中心是以点是以点其中其中计算曲线积分计算曲线积分 RRLyxxyyxIL则可简化计算则可简化计算为某个正数为某个正数为椭圆为椭圆改改若能将积分路径若能将积分路径由被积函数的分母可知由被积函数的分母可知),(4,222aayxL )0 , 0(),(,)4(42222 yxyPyxxyxQ由于由于式式可可知知所所围围的的区区域域内内由由格格林林公公使使得得方方向向逆逆时时针针圆圆因因此此若若取取一一足足够够小小的的椭椭layxl),(4:222 例例9 9解解第51页/共61页, 04dd22 lLyxxyyx lLyxxyyxyxxyyxI22224dd4dd于是于是 lxyyxadd12)(22所围的椭圆区域的面积所围的椭圆区域的面积la .2222 aa第52页/共61页.,是偶函数是偶函数被积函数