有理数及其运算知识点(共8页)

1、有理数及其运算数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。0-1-2-3123越来越大

2、或 绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|0比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： 先求出两个数负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。绝对值的性质：对任何有理数a，都有|a|0若|a|=0，则|a|=0，反之亦然若|a|=b，则a=±b对任何有理数a,都有|a|=|-a|有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数

3、的绝对值减去较小数的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。¤有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数） 有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。¤有理数的加减法混合运算的步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有

4、理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。）有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与 、 等）乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。¤有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。¤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数

5、的倒数是负数。有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。指数底数幂有理数的乘方 注意：一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面的。专题一

6、：正数和负数1、下列各数中，大于小于的负数是（ ）A.B.C.D.02、负数是指（ ）A.把某个数的前边加上“”号 B.不大于0的数C.除去正数的其他数 D.小于0的数3、关于零的叙述错误的是（ ）A.零大于所有的负数 B.零小于所有的正数C.零是整数D.零既是正数，也是负数4、非负数是（ ）A.正数 B.零C.正数和零D.自然数5、文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60米，此时小明的位置在（ ）A.文具店 B.玩具店 C.文具店西40米处 D.玩具店西60米处6、大于5.1的

7、所有负整数为_.7、珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为_.8、请写出3个大于1的负分数_.9、某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_.10、某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分部分记作正数，低出部分记作负数，如表所示科目语文数学外语成绩+1536请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什么？专题二：数轴与相反数1、下面正确的是（ ）A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线 B.离原点近的点所对应的有理数较小C.数轴可以表示任意有理数 D.原点在数轴的正中间2、关于相反

8、数的叙述错误的是（ ）A.两数之和为0，则这两个数为相反数B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C.符号相反的两个数，一定互为相反数 D.零的相反数为零3、若数轴上A、B两点所对应的有理数分别为a、b，且B在A的右边，则ab一定（ ）A.大于零B.小于零 C.等于零D.无法确定4、在数轴上A点表示，B点表示，则离原点较近的点是_.5、两个负数较大的数所对应的点离原点较_.6、在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_，它们互为_.7、数轴上A、B、C三点所对应的实数为，则此三点距原点由近及远的顺序为_.8、数轴上1所对应的点为A，将A点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A点

9、距原点的距离为_.9、在等式的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。则第一个方格内的数是_.10、写出大于4.1小于2.5的所有整数，并把它们在数轴上表示出来.专题三：绝对值1、任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0 C.不大于0D.不小于02、若a0，b0，且|a|b|，则a+b一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数3、下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身 B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数 D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数4、下列结论正确的是（ ）A.若|x|=|y|，则x=y B

10、.若x=y，则|x|=|y| C.若|a|b|，则ab D.若ab，则|a|b|5、一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_.6、绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_.7、甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于本身，请你猜一猜|a-b|= 8、某班举办“迎五一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少专题四：有理数的加减法1、有理数a,b在数轴上对应位置如图所示，则a+b的值为

11、（ ）A.大于0B.小于0 C.等于0D.大于a2、下列结论不正确的是（ ）A.若a>0,b>0,则a+b>0B.若a<0,b<0,则a+b<0C.若a>0,b<0,则|a|>|b|,则a+b>0D.若a<0,b>0,且|a|>|b|,则a+b>03、如果|c|=c，则c一定是（ ）A.正数B.负数 C.0D.可能为正数也可能为负数4、下面等式错误的是（ ）A.=(+)B.5+2+4=4(5+2)C.(+3)(2)+(1)=3+21D.234=(2)(+3)+(4)5、与的相反数的绝对值之和是_.6、已知a、b

12、互为相反数，c是绝对值最小的数，d是负整数中最大的数，则a+b+cd=_.7、若|2x3|+|3y+2|=0，则xy=_.8、计算：（1）+ （2）+ （3）3(2)+39、已知a=2，b=3，c=1，计算|ab|+|bca|+|3b4c|.10、“学雷锋活动月”活动中，对某小组做好事情况进行统计如下表姓名小明小红小娟小青好事件数1816本人所做好事与人均好事的差值+304（1）完成上表.（2）谁做的好事最多，谁最少？（3）最多的比最少的多多少？11、10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：2,3,7.5,3,5,8,3.5,4.5,

13、8,1.5这10名学生的总体重为多少？10名学生的平均体重为多少？12、一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场.（1）用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B，商场C，超市D的位置.（2）超市D距货场A多远？（3）货车一共行驶了多少千米？专题五：有理数的乘除法1、若mn>0,则m,n（ ）A.都为正B.都为负 C.同号D.异号2、若m、n互为相反数，则（ ）A.mn<0B.mn>0 C.mn0D.mn03、下列结论正确的是（ ）A.

14、15;3=1B.|×=C.1乘以一个数得到这个数的相反数D.几个有理数相乘，同号得正4、如果两数之和等于零，且这两个数之积为负数，那么这两个数只能是（ ）A.两个互为相反数的数 B.符号不同的两个数C.不为零的两个互为相反数的数 D.不是正数的两个数5、如果一个数的绝对值与这个数的商等于1，则这个数是（ ）A.正数 B.负数C.非正 D.非负6、如果abcd0，a+b=0，cd0，那么这四个数中负因数的个数至少有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个7、下列运算错误的是（ ）A.÷(3)=3×(3)B.5÷()=5×(2)C.8(2)=8

15、+2D.0÷3=08、在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低0.8 ,已知山脚的温度是24 ,山顶的温度是4 ,试问这座山的高度是 米；9、计算：()×(48) (1)1×()×2+()× (2)49×(5) （3）4×()+(0.4)÷()×110、.某班举办数学知识比赛，共分五个小组，其中四个小组的成绩如表所示，请问（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低？为什么？（2）据（1）你能否判断第五组的成绩比全班平均分高，还是低？小组第一组第二组第三组第四组人数15131412小组

16、平均分与全班平均分的差值4321专题六：有理数的乘方1、如果a2=a,那么a的值为（ ）A.1B.0 C.1或0D.12、一个数的平方等于16，则这个数是（ ）A.+4B.4 C.±4D.±83、a为有理数，则下列说法正确的是（ ）A.a2>0B.a21>0 C.a2+1>0 D.a3+1>04、下列式子中，正确的是（ ）A.102=(10)×(10)B.32=3×2 C.()3=××D.23=325、（2）3的底数是_，结果是_；32的底数是_，结果是_.6、n为正整数，则（1）2n=_,(1) 2n+1=_

17、.7、一个数的平方等于这个数本身，则这个数为_；一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是_.AxOA1PPPPA2A38、质点P从距原点1个单位的A点处向远点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为_。第一次对折第二次对折第三次对折9、将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到 条折痕,如果对折n次,可以得到 条折痕.10、我们平常用的数都是十

18、进制数，例如：83218×1033×1022×1011×100，表示十进制的数要用十个数码（又叫做数字）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而在计算机中用的是二进制，它只有两个数码:0、1来表示.如二进制中1011×220×211×20等于十进制中的数5，再如101101×240×231×221×210×20等于十进制中的数22，同学们你看出其中的规律了吗？试一试你的能力吧: 二进制中101011等于十进制中多少呢？专题七：有理数的混合运算1、下列各数中与（23）5相等的是（ ）A.55B.55 C.（2）5+（3）5D.（2）5352、某数的平方是，则这个数的立方是（ ）A.B.C.或D.+8或83、下列语句中，错误的是（ ）A.a的相反数是aB.a的绝对值是|a| C.(1)99=99D.(22)=44、计算：(3)2÷×0=_.5、某军事行动中，对军队部署的方位，采用