五年级奥林匹克数学练习试卷图形的计数

1、心 爱心 专心1图形的计数练习一、填空题1 下图中一共有（）条线段。2.如下图，0为三角形A1AA12的边AA12上的一点，分别连结0A,0A,这样图中共有_个三角形。3._下图中有个三角形。4._ 下图中共有个梯形。专心25.数一数（1）一共有（）个长方形。（2）共有（）个三角形。6.在下图中,所有正方形的个数是 _25 颗铁钉（如下图）,如果用线绳围正方形,最EF G H I用心 爱心 专心38.一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板，上面有 4 4 个钉（如右图）。以每个钉为顶点，你能用皮筋套出正方形和长方形共 _个。9._ 如下图,方格纸上放了 20 枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有 _

2、个。10._数一数,下图是由 个小立方体堆成的。要注意那些看不见的。用心 爱心 专心4用心 爱心 专心5、解答题11. 右图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。12.下图中，AB CD EF MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?13现在都是由边长为 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 厘米、4 厘米、 8 厘米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红 颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形， 要组成这样 4 个大小不同的正方形, 总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个?14.将NB

3、C的每一边 4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四 边形?用心 爱心 专心630由例 1 注可知图形中每边有 3+2+仁 6（条）线段，因此整个图形中共有 6 5=30 条线段。2. 37将,.A1AA12分解成以OA为公共边的两个三角形OAA中共有 5+4+3+2+1=15（个）三角 形，OAA2中共有 6+5+4+3+2+1=21（个）三角形，这样，图中共有 15+21+1=37（个）三角形。3. 15这样的问题应该通过分类计数求解。此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类。含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类。分类图解如下：所以

4、原图有（3+2+1）+（3+2+1）+3=15（ 个）三角形。4. 18梯形一共有三行，每行都有 3+2+仁 6（个）,所以一共有 6 3=18（个）梯形。5. 108,36用心 爱心 专心7（1）因为长方形是由长和宽组成的，因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数。按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数，将它们相乘就是所有长方形的个数。q x 8因为AB边上有 8+7+6+2+1=36 条线段，AD边上有 2+1=3 条线段，所以图中2一共有 36 3=108 个长方形。（2）三角形一共有 6 行，每行都有 3+2+仁 6（个）,所以一共有 6 6=36（个）三角形。6.

5、 30由例 5 注可知整个图形中共有12+22+32+42=30 个正方形。7. 50此类问题一般用分类方法计数对正方形的边长分八类计数如下：边长为AB的正方形有 16 个;边长为AC的正方形有 9 个;边长为AD的正方形有 4 个;边长为AE的止方形有 1 个;边长为DF的正方形有 9 个;边长为CF的止方形有 8 个;边长为BF的正方形有 2 个;边长为CG的正方形有 1 个。所以，最多可围出 50 个正方形。8. 44因为正方形是特殊的长方形，所以可以把正方形看成长方形，这样就不必分别求正方形 和长方形的个数，仍用分类计数的方法求解。先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个。这一类按其

6、水平边的位置可分为 6 小 类,即位置在BF FE EC FC BE BC同样,其竖直边也分为 6 类。所以这一类有 6 6=36 个长方形。AD用心 爱心 专心8另一类是没有边平行于BC的.这一类又分类两小类，分解图如下页图所示，其中分别有6 个和 2 个长方形。所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44 个。9.21以正方形的面积大小分类计数。设相邻两点的距离为 1,则正方形面积为 1 的有 9 个；面积为 2 的有 4 个；面积为 5 的有 2 个；面积为 8 的有 4 个；面积为 13 的有 2 个；所以，共有 9+4+2+4+2=21 个正方形。10.30将原立体图形从左至右分

7、类计算，共有11+7+5+7=30 个。(1 + 6)汉611.白色小三角形个数 =1+2+3+6=21,2(1 +7)汉7黑色小三角形个数 =1+2+3+7=28,2213所以它们的比=。28 412.解法一本图中三角形的个数为(1+2+3+4)4=40(个).下面求梯形的个数。梯形由两底唯一确用心 爱心 专心9定首先在AB CD EF,MN中 ,考虑两底所在的线段，共有(4 3)亠 2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10 ( 10=4+3+2+1)个梯形。共 60 个梯形。故所求差为 20。解法二在图一中可数出 4 个三角形,6 个梯形，梯形比三角图形图形多2 个。而在

8、题图中，这种恰有 10 个。故题图中，梯形个数与三角形的个数之差为2 10=20(个)。13.边长 2 厘米的正方形：2 2=4(个)红色边长 4 厘米的正方形(4-1)4=12(个)红色(4-2)(4-2)=4(个)白色边长 8 厘米的正方形(8-1)4=28(个)红色(8-2)(8-2)=36(个)白色边长 9 厘米的正方形(9-1)4=32(个)红色(9-2)(9-2)=49(个)白色所以，红色小正方形共有4+12+28+32=76(个)白色小正方形共有4+36+49=89(个)注本题的要求是由边长为 1 厘米的红色和白色两种正方形，分别组成边长是 2 厘米,4厘米，8 厘米，9 厘米的

9、大小不同的正方形，可以看作方阵问题来解。四周的小正方形是涂红色 的，可看成是空心方阵，因此，涂红色正方形的个数等于 4 (n-1)。其他小正方形是涂白色的， 可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2) (n-2)。比如，由边长为 1 厘米的正方形组成边长为 9 厘米的正方形，涂红色的小正方形的个数是:4 (9-1)=32(个)，涂白色的小正方形的个数是:(9-2)(9-2)=49(个)。14. 将平行四边形分为三类：尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角在 左上、右下方。用心 爱心 专心10就第类而言：型 6 个；厶型.3 个，与其对称的 3 个；型1 个，与其对称的 1 个；型 1 个;共 15 个。同理，第、类也分别含15个，故上述三类平行四边形共45 个。注这样数平行四边行，很麻烦，又易出错我们试图找到一种对应关系：先考虑任一边 不与BC平行的平行四边形,延长各边必与BC有 4 个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个 交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一