物理合工大理论力学动力学普遍定理与拉氏方程PPT学习教案

1、会计学1物理合工大理论力学动力学普遍定理与物理合工大理论力学动力学普遍定理与拉氏方程拉氏方程设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，受力加速度为ai虚加上其惯性力FIi=miai则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与FIi应组成形式上的平衡力系，即Fi + FNi +FIi= 0若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有或(171)FiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFIiaiFiFi约束反力FNi主动力Fi第1页/共43页即则D-L方程的坐标分解式为若动力学普遍方程或达朗贝尔-拉格朗日方程（D-L方程）(172)第2页/共43页第3页/共43页研究整个系统，进行受力分析；m

2、2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMI虚加各刚体的惯性力。设杆的加速度为a，则FI1= m1a，FI2= m2a，a给连杆以平行于斜面向下的虚位移s，则相应地两轮有转角虚位移，且根据动力学普遍方程，得s于是解得m2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMIasm2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMIm2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMIas解毕。第4页/共43页第5页/共43页第6页/共43页D-L方程可写成对上式求变分得 ri= ri(q1，q2，qN，t)(173)上式中(174)第i个质点质量为mi，矢径为ri。

3、则具有s个完整理想约束，则有N=3n-s个自由度（广义坐标）。第7页/共43页广义力(175)广义惯性力以广义坐标表示的达朗贝尔原理广义力广义虚位移(k =1，2，N)第8页/共43页(176)中广义惯性力进行变换：第9页/共43页(177)(178)(1710)所以第10页/共43页(1711) 若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力），于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成(1712)是一个方程组，该方程组的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方程。揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式第11页/共43页(1713)L称为拉格朗日函数或动势

4、。势能V仅仅是广义坐标qk的函数，而与广义速度无关，有 于是，在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为(1714)对保守系统，拉格朗日方程可写成第12页/共43页 在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为 拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中重要的方程。 拉格朗日方程形式简洁，应用时只需计算系统的动能和广义力；对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。 拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本变量，是用广义坐标表示的质点系运动微分方程。第13页/共43页对受完整约束的多自由度质点系的平衡问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独

5、立平衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。同理，对受完整约束的多自由度质点系的动力学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日第二类方程，或简称拉格朗日方程。第14页/共43页拉格朗日方程是着眼于整个系统，避开约束反力，用分析方法给出了系统动力学问题的统一表述，为处理受约束的复杂的系统动力学问题开辟了新的捷径。这里从能量原理中的功率方程出发，采用广义坐标，推导拉格朗日方程。由于拉格朗日方程是用广义坐标且从能量的观点研究系统的动力学问题，而能量是自

6、然界各种不同物理形态的物质运动的统一度量，因 此 ，拉格朗日方程的应用就具有较大的普遍性，它不仅适用于机械系统，也适用于电学系统和机电系统的动力学问题。第15页/共43页设质点系由n个质点组成，各质点系的速度则为jq 所以vi是广义速度的齐次线性函数。其中是广义坐标的函数，设质点系中第i个质点的质量为mi，位置矢径为ri，系统受s个定常的完整的理想约束，因此有N =3n-s个自由度。用k个广义坐标q1、q2、qn表示质点的位置。由于约束是定常的，所以矢径ri 仅是广义坐标的函数第16页/共43页又系统的动能T为其中 称为广义质量，是广义坐标的函数。现令系统的动能为T，功率为P，则功率方程为所以

7、，在定常约束中，动能T不是时间t的函数，仅是广义坐标和广义速度的函数。第17页/共43页将上式对时间求全微商，有又由于动能T仅含的二次项，代入上式可得根据欧拉齐次函数定理将系统的动能T写成一般式是广义速度 的齐二次函数。第18页/共43页再看功率方程的右边，功率为根据虚位移原理中广义力Qk的表达式可知所以将(3) (4)式代入(2)式并移项可得将(5)式改写成第19页/共43页对受定常约束的系统，微小的实位移必为虚位移中之一，即dqk必为qk之一，但因各广义坐标qk是彼此独立的，为使上式在各qk具有任何值都能满足，必须即上式即为以广义坐标表达的质点系运动微分方程，称为拉格朗日方程。为了使系统在

8、任何初始条件下可能发生的位移都能满足方程（6），就必须第20页/共43页 选广义坐标； 计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能； 计算广义力（对保守系统可计算势能）； 代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。第21页/共43页rRMMO AM第22页/共43页研究整个系统，选广义坐标，则行星轮瞬心为P，系统的动能为T = TOA+ T轮ARMrO 见后续P P P角速度为vAvAvA第23页/共43页O AvARMr又关于广义坐标的广义力为代入Lagrange方程：于是得解毕。第24页/共43页O见后续Rml l l第25页/共43页RlOm已知m；R ； l；求摆的运动微分方程。m此摆为

9、单自由度保守系统，选广义坐标，系统的动能为选=0处为系统势能的零势点，则V = mg（l+Rsin）（lR）cos系统的动势为见后续第26页/共43页已求得将式、代入保守系统的拉氏方程得摆的运动微分方程解毕。第27页/共43页OO O见后续OO第28页/共43页解(设圆柱O的半径为r)选x1、x2为广义坐标，x1x2O则三棱柱速度为圆柱中心的速度为 圆柱的角速度为vO系统具有两个自由度，o1o2所以，系统的动能为见后续加速度为x1x2vOx1x2vOx1x2vO第29页/共43页解毕x2x2x2x2系统关于广义坐标x1 、x2的广义力分别为：已求得系统的动能为x1x2Oo1o2m1gFNm2g

10、x1联立解得：代入L程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1第30页/共43页见后续Okkllll2rACB第31页/共43页解系统具有两个自由度，且为保守系统。选1、2为广义坐标，OkkllllACB2r12则杆的角速度为圆盘的角速度为 所以，系统的动能为见后续1212第32页/共43页OkACkllll2rB2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1重力与振动方向相同，例17-5续2 已求得系统的动势为见后续F1F2F1F2F1F2取平衡位置处为零势点，弹性力变形从平衡位置处计算，可以不计重力势能！第33页/共43页已求得可

11、见，圆盘的角加速度为零！圆盘作平动！得所以系统的固有频率为圆盘作平动！圆盘作平动！解毕。OkACkllll2rB2m1gm2g1l1l1F1F2第34页/共43页见后续m1bam2OAB第35页/共43页vAvAvAvAbaOAB12解选1、2为广义坐标，则系统具有两个自由度，系统动能为见后续vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA系统作微幅摆动，cos(21)1第36页/共43页1221已求得求系统关于广义坐标1的广义力：m2g求系统关于广义坐标2的广义力：112XOYOm2gm1g2m1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1122b2b2b2a1a1a1a1a1a1见后续给1，则给2，则第37页/共43页已求得代入Lagrange方程：化简得解毕。第38页/共43页 动力学普遍方程是将虚位移原理与达朗伯原理结合起来，形成如下的方程 拉格朗日方程是将动力学普遍方程以广义坐标表示，并用动能作为方程的基本变量，形式如下第39页/共43页对于保守系统，广义力可用势能来表示