全国版2017版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入43平面向量的数量积及应用举例课件理

1、第三节平面向量的数量积及应用举例 【知识梳理【知识梳理】1.1.向量的夹角向量的夹角定义定义图示图示范围范围共线与垂直共线与垂直已知两个非零已知两个非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,则则_就就是是a与与b的夹角的夹角 设设是是a与与b的的夹角夹角, ,则则的的取值范围是取值范围是_=0=0或或=180180_,_,_abOA OB AOBAOB0 0180180ab=90=902.2.平面向量的数量积平面向量的数量积定义定义设两个非零向量设两个非零向量a, ,b的夹角为的夹角为,则数量则数量_叫做叫做a与与b的数量积的数量积, ,记作记作ab投影投影_叫做向量叫做向量a

2、在在b方向上的投影方向上的投影, ,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影几何几何意义意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a的方向的方向上的投影上的投影_的乘积的乘积| |a|b| |cosos| |a|cos|cos| |b|cos|cos| |b|cos|cos3.3.数量积的性质数量积的性质设设a, ,b都是非零向量都是非零向量, ,e是单位向量是单位向量,为为a与与b( (或或e) )的的夹角夹角. .则则(1)(1)ea= =ae=_.=_.(2)(2)cos= .os= .(3)(3)ab_._.| | |aba b| |a| |cosos

3、| |a|b| |4.4.数量积的运算律数量积的运算律(1)(1)交换律交换律: :ab= =ba. .(2)(2)数乘结合律数乘结合律:(:(a) )b=_=_.=_=_.(3)(3)分配律分配律: :a( (b+ +c)=_.)=_.(ab) )a(b) )ab+ +ac5.5.平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示设向量设向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),向量向量a与与b的夹角为的夹角为,则则数量积数量积ab=_=_模模 | |a|=_|=_夹角夹角 c cosos= =向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_

4、2211xy1 21 222221122xxyyxyxyx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0【特别提醒【特别提醒】1.1.平面向量数量积的常用结论平面向量数量积的常用结论(1)(1)a与与b为两非零向量为两非零向量, ,则则abab=0.=0.(2)(2)当当a与与b同向时同向时, ,ab=|=|a| | |b|.|.当当a与与b反向时反向时, ,ab=-|=-|a| | |b|,|,特别地特别地, ,aa=|=|a| |2 2或者或者| |a|= ,|= ,0a=0.=0.aa2.2.平面向量数量积运算的常用公式平面向量

5、数量积运算的常用公式(1)(1)(a+ +b) )( (a- -b)=)=a2 2- -b2 2. .(2)(2)(a+ +b) )2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2. .(3)(3)(a- -b) )2 2= =a2 2-2-2ab+ +b2 2. .3.3.两个注意点两个注意点(1)(1)ab=0=0不能推出不能推出a= =0或或b= =0. .(2)(2)ab= =ac( (a0) )不能推出不能推出b= =c. .【小题快练【小题快练】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(必修必修4P1074P107例例6 6改编改编) )设设a=( ,1),=( ,1),b= ,= ,

6、则向则向量量a, ,b的夹角为的夹角为( () )A.30A.30B.60B.60C.120C.120D.150D.15033(1,)3【解析【解析】选选B.B.由题意由题意, ,得得| |a|=|=| |b|=|=ab= =设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为,则则coscos= =因为因为0 0180180, ,所以所以=60=60. .3 1 2, 12 31,3332 33.332 313.| | |22 323aba b2.(2.(必修必修4P1054P105例例4 4改编改编) )已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若若a+k+kb与与a-k-kb互

7、相垂直互相垂直, ,则实数则实数k=k=( () )A. B.5 A. B.5 C. C. D.D.5555【解析【解析】选选D.D.由已知由已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若若a+k+kb与与a-k-kb互相垂直互相垂直, ,则则( (a+k+kb)()(a-k-kb)=0,)=0,即即a2 2-k-k2 2b2 2=0,=0,即即5-25k5-25k2 2=0,=0,即即k k2 2= ,= ,所以所以k=k= . .15553.(20153.(2015山东高考山东高考) )已知菱形已知菱形ABCDABCD的边长为的边长为a a，ABC=60ABC=60，则

8、，则 =( )=( )BDCD 22223333A.a B.a C. a D. a2442感悟考题感悟考题 试一试试一试【解析【解析】选选D.D.由菱形由菱形ABCDABCD的边长为的边长为a,ABCa,ABC=60=60得得BCD=120BCD=120，ABD=30ABD=30，在，在BCDBCD中中, ,由余弦定理由余弦定理得得BD= aBD= a，所以，所以3BDCD BDBA3a acos 30 2333a aa .224.(20144.(2014全国卷全国卷)设向量设向量a, ,b满足满足| |a+ +b|= ,|= ,| |a- -b|= ,|= ,则则ab= =( () )A.1

9、 B.2 A.1 B.2 C.3 C.3 D.5 D.5【解析【解析】选选A.A.因为因为| |a+ +b|= ,|= ,|a- -b|= ,|= ,所以所以a2 2+ +b2 2+2+2ab=10,=10,a2 2+ +b2 2-2-2ab=6,=6,联立方程解得联立方程解得ab=1,=1,故选故选A.A.1010665.(20165.(2016武汉模拟武汉模拟) )若若a, ,b满足满足| |a|= ,|= ,a( (a+ +b)=1,)=1,| |b|=1,|=1,则则a, ,b的夹角为的夹角为. .【解析【解析】因为因为| |a|= ,|= ,所以所以a(a+ +b)=)=a2 2+

10、+ab=2+=2+ab=1,=1,即即ab=-1.=-1.22设设a, ,b的夹角为的夹角为,则则coscos= =因为因为0,0,所以所以= .= .答案答案: : 12.| | |22 1aba b3434考向一考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015四川高考四川高考) )设四边形设四边形ABCDABCD为平为平行四边形，行四边形， 若点若点M M，N N满足满足 则则 =( )=( )A.20 B.15 A.20 B.15 C.9 C.9 D.6D.6AB6 AD4. ，BM 3MC，DN 2NC ，AMNM (2)(2016(2

11、)(2016蚌埠模拟蚌埠模拟) )已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为1 1，点点E E是是ABAB边上的动点边上的动点. . 的最大值为的最大值为_._.DEDC 【解题导引【解题导引】(1)(1)利用数量积的定义求解利用数量积的定义求解. .要注意选择要注意选择基底，进行向量的分解基底，进行向量的分解. .(2)(2)结合已知条件建系，利用坐标求解结合已知条件建系，利用坐标求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.C.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD内，易得，内，易得，所以所以311AM ABAD,NMABAD,434 311AMNM (ABAD) ( A

12、BAD)434 133(ABAD) (ABAD)344 221913 ABAD 3616 12 3 9.316316 (2)(2)如图所示，以如图所示，以ABAB，ADAD所在的直线分所在的直线分别为别为x,yx,y轴建立直角坐标系，设轴建立直角坐标系，设E(tE(t，0)0)，0t10t1，则，则D(0,1)D(0,1)，C(1C(1，1)1)， =(t,-1)=(t,-1)， =(1,0)=(1,0)，所以所以 =t1.=t1.答案：答案：1 1DE DC DEDC 【一题多解【一题多解】解答本题，还有以下解法解答本题，还有以下解法: :方法一：选取方法一：选取 作为基底，设作为基底，设0

13、t10t1，则，则答案：答案：1 1AB,AD AE tAB ，DE DC (tAB AD) AB t 1. 方法二：设方法二：设则则 1 1cosAEDcosAED=| |=|t| |=|t|1.=| |=|t| |=|t|1.答案：答案：1 1AE tAB ，DEDC DEAB |DE| AE AB 【母题变式【母题变式】1.1.在本例题在本例题(2)(2)中，试求中，试求 的取值范围的取值范围. .【解析【解析】由本例题由本例题(2)(2)的规范解答知，的规范解答知， =(t,-1),=(t,-1), =(t-1,-1),t =(t-1,-1),t0,10,1, ,所以所以 =t(t-1

14、)+1=t=t(t-1)+1=t2 2-t+1=-t+1=因为因为tt0,10,1, ,所以所以即即 的取值范围为的取值范围为DECE DE CE DECE 213(t)24 ，3DECE 1,4 DECE 3 ,1.42.2.本例题本例题(2)(2)中，当中，当E E是是ABAB的中点时，试求的中点时，试求 在在 上的投影上的投影. .【解析【解析】方法一：如图，方法一：如图，过点过点E E作作EFDCEFDC，垂足为垂足为F F，由投影的定义知，由投影的定义知， 在在 上的投影是上的投影是 . .DE DC DE DC 12方法二：如图，向量方法二：如图，向量 与与 的夹角是的夹角是EDC

15、EDC，所以所以 在在 上的投影是上的投影是DE DC DE DC 1112DEcos EDC1.42114 【规律方法【规律方法】向量数量积的两种计算方法向量数量积的两种计算方法(1)(1)当已知向量的模和夹角当已知向量的模和夹角时时, ,可利用定义法求解可利用定义法求解, ,即即ab=|=|a|b| |cosos. .(2)(2)当已知向量的坐标时当已知向量的坐标时, ,可利用坐标法求解可利用坐标法求解, ,即若即若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2. .【变式训练【变式训练】(2

16、015(2015全国卷全国卷)已知已知a=(1,-1),=(1,-1),b=(-1,2),=(-1,2),则则(2(2a+ +b) )a= =( () )A.-1 B.0 A.-1 B.0 C.1 C.1 D.2D.2【解析【解析】选选C.C.由题意可得由题意可得a2 2=2,=2,ab=-3,=-3,所以所以(2(2a+ +b)a=2=2a2 2+ +ab=4-3=1.=4-3=1.【加固训练【加固训练】1.(20161.(2016长沙模拟长沙模拟) )已知向量已知向量a=(1,2),=(1,2),ab=5,=5,| |a- -b|=2 ,|=2 ,则则| |b| |等于等于( () )A.

17、 B.2 C.5 A. B.2 C.5 D.25D.25555【解析【解析】选选C.C.由由a=(1,2),=(1,2),可得可得a2 2=|=|a| |2 2=1=12 2+2+22 2=5.=5.因为因为| |a- -b|=2 ,|=2 ,所以所以a2 2-2-2ab+ +b2 2=20,=20,所以所以5-25-25+5+b2 2=20,=20,所以所以b2 2=25,=25,所以所以| |b|=5.|=5.52.2.已知已知a=(1,2),2=(1,2),2a- -b=(3,1),=(3,1),则则ab= =( () )A.2 B.3 A.2 B.3 C.4 C.4 D.5 D.5【解

18、析【解析】选选D.D.由已知得由已知得a(2(2a- -b)=2)=2a2 2- -ab= =2|2|a| |2 2- -ab=2=25-5-ab=3+2,=3+2,故故ab=10-5=5.=10-5=5.3.3.已知点已知点A(-1,1)A(-1,1)，B(1,2),C(-2,-1),D(3,4)B(1,2),C(-2,-1),D(3,4)，则向量，则向量 在在 方向上的投影为方向上的投影为( )( )【解析【解析】选选A. =(2,1), =(5,5),A. =(2,1), =(5,5),由定义知由定义知 在在 方向上的投影为方向上的投影为AB CD 3 23 153 23 15A. B.

19、 C. D.2222AB CD AB CD ABCD153 2.25 2CD 4.(20164.(2016湛江模拟湛江模拟) )已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为1,1,设设 = =a, =, =b, =, =c, ,则则ab+ +bc+ +ca= =. .AB BC CA 【解析【解析】如图，得如图，得a与与b, ,b与与c, ,c与与a的夹角都是的夹角都是120120，又又| |a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1,所以原式所以原式=1=11 1cos 120cos 120+ +1 11 1cos 120cos 120+1+11 1cos 120cos 120答案

20、：答案：- - 13() 3.22 32考向二考向二平面向量的夹角及模平面向量的夹角及模【考情快递【考情快递】命题方向命题方向命题视角命题视角平面向量的平面向量的夹角夹角主要考查利用平面向量数量积公式的变主要考查利用平面向量数量积公式的变形求平面向量的夹角形求平面向量的夹角, ,属中档题属中档题平面向量的平面向量的垂直问题垂直问题主要考查向量垂直其数量积为主要考查向量垂直其数量积为0,0,由此列由此列方程求参数的值方程求参数的值, ,属容易题属容易题平面向量的模平面向量的模以求平面向量的模或求模的最值为载体以求平面向量的模或求模的最值为载体考查平面向量的数量积考查平面向量的数量积, ,属中档题

21、属中档题【考题例析【考题例析】命题方向命题方向1:1:平面向量的夹角平面向量的夹角【典例【典例2 2】(2015(2015重庆高考重庆高考) )若非零向量若非零向量a, ,b满足满足| |a|=|= | |b|，且，且( (a- -b) )( (3 3a+2+2b) )，则，则a与与b的夹角为的夹角为( )( )( (本题源自本题源自A A版必修版必修4P108A4P108A组组T7)T7)3A. B. C. D.4242 23【解题导引【解题导引】根据垂直条件列式求解，注意模的关系根据垂直条件列式求解，注意模的关系的利用的利用. .【规范解答【规范解答】选选A.A.设设a与与b的夹角为的夹角

22、为，| |a|= |= |b| |，因为因为( (a- -b)( (3 3a+2+2b) )，所以所以( (a- -b) )( (3 3a+2+2b) )=3=3|a|2 2-2-2|b|2 2- -ab解得解得coscos = = ，因为，因为0,0,，所以，所以= .= .2 2322282 22cos 0,33bbb224命题方向命题方向2 2：平面向量的垂直问题：平面向量的垂直问题【典例【典例3 3】(2015(2015福建高考福建高考) )设设a=(1,2),=(1,2),b=(1,1),=(1,1),c= =a+k+kb, ,若若bc，则实数，则实数k k的值等于的值等于( )(

23、)( (本题源自本题源自A A版必修版必修4P119A4P119A组组T12)T12)3553A. B. C. D.2332【解题导引【解题导引】由向量垂直，其数量积为由向量垂直，其数量积为0 0列方程求解列方程求解. .【规范解答【规范解答】选选A.A.c= =a+k+kb=(1+k,2+k)=(1+k,2+k)，因为，因为bc，所以所以bc=0=0，即，即1+k+2+k=01+k+2+k=0k=- .k=- .32命题方向命题方向3 3：平面向量的模：平面向量的模【典例【典例4 4】(2015(2015湖南高考湖南高考) )已知点已知点A,B,CA,B,C在圆在圆x x2 2+y+y2 2

24、=1=1上运动，且上运动，且ABBC.ABBC.若点若点P P的坐标为的坐标为(2,0)(2,0)，则，则的最大值为的最大值为( )( )A.A. B.B. C.C. D.D.|PA PB PC| 【解题导引【解题导引】根据已知条件知根据已知条件知A A与与C C关于原点对称，由关于原点对称，由此设各点的坐标此设各点的坐标, ,建立函数关系求解建立函数关系求解. .【规范解答【规范解答】选选B B由题意得，由题意得，ACAC为圆的直径，为圆的直径，故可设故可设A(mA(m，n)n)，C(-mC(-m，-n)-n)，B(xB(x，y)y)，则则xx-1,1-1,1所以所以 =(x-6=(x-6，

25、y)y)，而而(x-6)(x-6)2 2+y+y2 2=37-12x49=37-12x49，所以所以 的最大值为的最大值为7 7PA PB PC |PA PB PC| 【一题多解【一题多解】解答本题，还有以下解法：解答本题，还有以下解法：方法一：数形结合，利用向量加法的几何意义求解方法一：数形结合，利用向量加法的几何意义求解. .如图，由题意知，如图，由题意知，ACAC为圆的直径，为圆的直径，即即O O是是ACAC的中点的中点, ,所以所以PA PC 2PO, PA PB PC2PO PB2POPB. 当当P P，O O，B B三点共线时取等号，即当三点共线时取等号，即当B B在点在点(-1,

26、0)(-1,0)处处时，时，| | |取得最大值，此时取得最大值，此时| |=2,| |=2,| |=3,| |4+3=7.| |=3,| |4+3=7.即即| | |的最大值为的最大值为7.7.PA PB PC PO PBPA PB PC PA PB PC 方法二：数形结合方法二：数形结合. .利用向量的线性运算及数量积求解利用向量的线性运算及数量积求解. .由方法一中的图形可知，由方法一中的图形可知，所以所以设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为,因为因为| |=2,| |=1,| |=2,| |=1,所以所以PA PC 2PO,PB PO OB, PA PB PC2PO PO OB3PO

27、OB. PO OB PO OB 23PO OB3PO OB 当且仅当当且仅当=0,=0,即即B B在点在点(-1,0)(-1,0)处时，处时，“=”=”成立成立, ,所以所以| | |的最大值为的最大值为7.7.9 4 1 6POOB 37 6 2 1cos 37 12cos 37 127,PA PB PC 【技法感悟【技法感悟】1.1.平面向量夹角的求法平面向量夹角的求法若若a, ,b为非零向量为非零向量, ,则由平面向量的数量积公式得则由平面向量的数量积公式得coscos= (= (夹角公式夹角公式),),所以平面向量的数量积可以所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题用来解决有关角

28、度的问题. .| | |aba b2.2.平面向量垂直问题的解题思路平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件ab=0=0求解求解. .3.3.平面向量的模的解题方法平面向量的模的解题方法(1)(1)若向量若向量a是以坐标形式出现的是以坐标形式出现的, ,求向量求向量a的模可直接的模可直接利用利用| |a|= |= (2)(2)若向量若向量a, ,b是非坐标形式出现的是非坐标形式出现的, ,求向量求向量a的模可应的模可应用公式用公式| |a| |2 2= =a2 2= =aa, ,或或| |ab| |2 2=(=(ab) )2

29、 2= =a2 22 2ab+ +b2 2, ,先求向量模的平方先求向量模的平方, ,再通过向量数量积的运算求解再通过向量数量积的运算求解. .22xy .【题组通关【题组通关】1.(20141.(2014山东高考山东高考) )已知向量已知向量a=(1, ),=(1, ),b=(3,m).=(3,m).若向量若向量a, ,b的夹角为的夹角为 ，则实数，则实数m=( )m=( )【解析【解析】选选B.B.ab=3+ m,=3+ m,ab=|=|a|b|cos|cosa, ,b= =所以所以 所以所以m= .m= .36A.2 3 B. 3 C.0 D.33232 9 m2，233m3 9 m ,

30、32.(20142.(2014湖南高考湖南高考) )在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，O O为原点，为原点，A(-1,0),B(0, ),C(3,0),A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点动点D D满足满足| |=1,| |=1,则则| | |的取值范围是的取值范围是( )( )A.A.4,64,6 B.B. C.C. D.D. 3CD OA OB OD 2 3,2 719 1, 19 17 1, 7 1【解析【解析】选选D.D.方法一：方法一：|OA OB OD| |(OA OB OC) CD| |OA OB OC| |CD|7 1, |OA OB OC| |CD| 7 1

31、 |(OA OB OC) CD| OA OB OD. 方法二：设方法二：设D(x,yD(x,y),),则则 =(x-3,y),=(x-3,y),所以所以 即即(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1.=1.因为因为=(-1,0)+(0, )+(x,y)=(x-1,y+ ),=(-1,0)+(0, )+(x,y)=(x-1,y+ ),所以所以CD 22|CD|x 3y1, OA OB OD 3322OA OB ODx 1(y3) 点点D(x,yD(x,y) )是以是以M(3,0)M(3,0)为圆心为圆心1 1为半径的圆上的点，式子为半径的圆上的点，式子 的几何意义是点的几何意义是点D(x,y

32、D(x,y) )到到N(1,- )N(1,- )的距离的距离. .因为因为|MN|=|MN|=所以所以即即22x 1(y3)3223 1(03)7,227 1x 1(y3)7 1, 7 1 |OA OB OD|7 1. 3.(20153.(2015安徽高考安徽高考) )ABCABC是边长为是边长为2 2的等边三角形，的等边三角形，已知向量已知向量a，b满足满足 =2=2a， =2=2a+ +b，则下列结论正，则下列结论正确的是确的是( )( )A.|A.|b|=1 B.|=1 B.abC.C.ab=1 D.(4=1 D.(4a+ +b)AB AC BC 【解析【解析】选选D.D.因为因为 =(

33、2=(2a+ +b)-2)-2a= =b，所以所以| |b|=2,|=2,故故A A错误；错误；由于由于 =2=2a(2(2a+ +b)=4|)=4|a| |2 2+2+2ab=2=22 2 =2 =2，所以所以2 2ab=2-4|=2-4|a| |2 2=-2=-2，所以所以ab=-1=-1，故，故B,CB,C错误；错误；BC AC AB ABAC 12又因为又因为(4(4a+ +b) ) =(4 =(4a+ +b) )b=4=4ab+|+|b| |2 2=4=41 12 2 +4=0 +4=0，所以所以(4(4a+ +b) ) ，故，故D D正确正确. .BC 1()2BC 4.(2015

34、4.(2015上海高考上海高考) )已知平面向量已知平面向量a, ,b, ,c满足满足ab, ,且且|a|,|,|b|,|,|c|=1,2,3,|=1,2,3,则则| |a+ +b+ +c| |的最大值的最大值是是. .【解析【解析】分类讨论分类讨论: :因为因为ab且且|a|,|,|b|,|,|c|=|=1,2,3.1,2,3.当当| |c|=1|=1时时,|,|a+ +b|=|=| |a+ +b+ +c|a+ +b|+|+|c|=|=当当| |c|=2|=2时时,|,|a+ +b|=|=| |a+ +b+ +c|a+ +b|+|+|c|=|=4 913, 13 1;1 910, 10 2;

35、当当| |c|=3|=3时时,|,|a+ +b|=|=| |a+ +b+ +c|a+ +b|+|+|c|=|=又又所以所以| |a+ +b+ +c| |maxmax= =答案答案: :1 45, 5 3;13 110 25 3, 5 3.5 3考向三考向三平面向量与三角函数的综合问题平面向量与三角函数的综合问题【典例【典例5 5】(1)(2016(1)(2016德阳模拟德阳模拟) )在在ABCABC中，中，(cos(cos 18 18,sin 18,sin 18), =(2cos 63), =(2cos 63,2cos 27,2cos 27),),则三角形的面积为则三角形的面积为( )( )A

36、B BC 223A. B. C. D. 2422(2)(2015(2)(2015广东高考广东高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知中，已知向量向量m= = ，n=(sin x=(sin x，coscos x) x)，xx若若mn，求，求tan xtan x的值的值; ;若若m与与n的夹角为的夹角为 ，求，求x x的值的值. .22()22，(0).2，3【解题导引【解题导引】(1)(1)运用向量的数量积的坐标表示和定义，运用向量的数量积的坐标表示和定义，结合同角公式和诱导公式、两角和的正弦公式，即可结合同角公式和诱导公式、两角和的正弦公式，即可得到得到cos B,sin

37、cos B,sin B, B,再由三角形的面积公式，即可得到再由三角形的面积公式，即可得到所求值所求值. .(2)(2)根据平面向量数量积的坐标运算列式求解；根据平面向量数量积的坐标运算列式求解；根根据平面向量数量积的定义和坐标运算求解据平面向量数量积的定义和坐标运算求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.由于由于 =(cos=(cos 18 18,sin 18,sin 18),), =(2cos 63 =(2cos 63,2cos 27,2cos 27) )，则则 =2cos 18=2cos 18cos 63cos 63+2sin18+2sin18cos 27cos 27=2

38、(cos 18=2(cos 18sin 27sin 27+sin 18+sin 18cos 27cos 27) )AB BC 22ABcos 18sin 181, 2222BC4cos 634cos 274 sin 27cos 272, ABBC =2sin 45=2sin 45= = cos( cos(-B)=-1-B)=-12cos B=-2cos B,2cos B=-2cos B,即有即有coscos B=- ,sin B= , B=- ,sin B= ,则三角形则三角形ABCABC的面积的面积S=S=222,2ABBC |AB|BC| 22221122|AB|BC|sin B1 2.2

39、222 (2)(2)因为因为m= ,= ,n=(sin x,cos=(sin x,cos x) x)且且mn，所以所以mn= = (sin x,cos(sin x,cos x)= sin x x)= sin x- cos x=sin(x- cos x=sin(x- )=0,- )=0,又又xx所以所以 , ,所以所以x- =0 x- =0即即x= x= ，所以所以tan x=tan =1.tan x=tan =1.22(,)2222(,)2222224(0, )2， x(, )44 4 444由由及题意知及题意知所以所以 , ,又又x-x-所以所以x- x- ，所以，所以x=x=cos3| |

40、mnm n2222sin(x)4sin(x),422()()sin x cos x22 1sin(x)42 (, ),44 4 465.12【规律方法【规律方法】求解平面向量与三角函数综合问题的一求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路般思路(1)(1)求三角函数值求三角函数值, ,一般利用向量的相关运算把向量关一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系式系转化为三角函数关系式. .利用同角三角函数关系式及利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解三角函数中常用公式求解. .(2)(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题求角时通常由向量转化为三角函数问题, ,先求值再先求值再求角求

41、角. .(3)(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想与化归的数学思想, ,即通过向量的相关运算把问题转化即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题为三角函数问题. .【变式训练【变式训练】已知已知a=(=(cos,sin),os,sin),b=(=(cos,sinos,sin),),0.0.(1)(1)若若| |a- -b|= ,|= ,求证求证: :ab. .(2)(2)设设c=(0,1),=(0,1),若若a+ +b= =c, ,求求,的值的值. .2【解析【解析】(1)(1)由题意得由题意得| |a- -b| |2

42、 2=2,=2,即即( (a- -b) )2 2= =a2 2-2-2ab+ +b2 2=2.=2.又因为又因为a2 2= =b2 2=|=|a| |2 2=|=|b| |2 2=1,=1,所以所以2-22-2ab=2,=2,即即ab=0,=0,故故ab. .(2)(2)因为因为a+ +b=(cos +cos ,sin +sin=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1), )=(0,1),所以所以由此得，由此得，cos =cos(-cos =cos(-) )，由，由0 0，得，得0 0-，又，又0 0，故，故=-=-. .代入代入sin +sin +sin =1sin =1得，得，sin =sin = ,sin =sin = ,而而,所以所以= ,= .= ,= .cos cos 0,sin sin 1,12566【加固训练【加固训练】1.(20161.(2016汕头模拟汕头模拟) )若向量若向量a= ,= ,b= = 且且ab，则锐角，则锐角的大小是的大小是_._.【解析【解析】因为因为ab，所以，所以 -sin cos-sin cos =0 =0，所以所以sin 2=1,sin 2=1,又又为锐角，故为锐角，故= .= .答案：答案：