2013年浙江省宁波市中考数学试卷

1、9 .2013年浙江省宁波市中考数学试卷符号题目要求）是下列数据中的（、选择题（共 12 小题，每小题36 分，每小题给出的四个选项中，只有一项1.（3 分）-5 的绝对值为（2.3.4.5.6.7.C.（3 分） 下列计算正确的是（224A . a +a = a（3 分） 下列电视台的台标,A .C.2a - a = 2C.(ab)2= a2b2D. (a2)3= a5是中心对称图形的是（)B.D.（3 分）在一个不透明的布袋中装有3 个白球和 5 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（C.（3 分）备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012 年 12

2、 月 29 日建成通车，此项目总投资约 77 亿元，77 亿元用科学记数法表示为（A.7.7X109元C.0.77X1010元10B.7.7X10lu元11D.0.77X10 元（3 分）一个多边形的每个外角都等于72,则这个多边形的边数为（C. 7（3 分）两个圆的半径分别为 2 和 3,当圆心距 d = 5 时，这两个圆的位置关系是A .内含B .内切C.相交D .外切（3 分）如果三角形的两条边分别为4 和 6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能9 .D . 12（3 分）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭第 1 页（共 25 页）C. 10第3页

3、（共 25 页）的长方体包装盒的是（10. （3 分）如图，二次函数2y= ax +bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x= 1，图象经过C.a-b+cv02D.4ac-bv011. （3 分）如图，梯形ABCD 中，AD / BC, AB-,BC= 4，连结 BD，/ BAD 的平分线第4页（共 25 页）C.12.（3 分）7 张如图 1 的长为 a,宽为 b （ ab）的小长方形纸片，按图 2 的方式不重叠地 放在矩形ABCD 内， 未被覆盖的部分 （两个矩形） 用阴影表示设左上角与右下角的阴 影部分的面积的差为 S,当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变,则 a

4、，b 满足（）第5页（共 25 页）二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13.（3 分）实数-8 的立方根是214.（ 3 分）分解因式：x -4=15. （ 3 分）已知一个函数的图象与y -的图象关于16.（3 分）数据-2,- 1, 0, 3, 5 的方差是17.（3 分）如图，AE 是半圆 0 的直径，弦 AB = BC= 4则图中两个阴影部分的面积和为等腰直角三角形 ABC 顶点 A 在 x 轴上，/ BCA = 90 , AC= BC= 2 ,-bC. a_bD. a = 4by 轴成轴对称，则该函数的解析式,弦 CD = DE = 4,连结 OB , OD

5、,-（x0）的图象分别与 AB, BC 交于点 D, E.连结 DE，当 BDE20. (7 分) 解方程:18. （3 分）如图,DB. a= 3bO反比例函数 y19. (6 分)第6页（共 25 页）2先化简，再求值：(1 + a) (1 - a) + (a- 2)，其中 a=- 3.第 4 页(共 25 页)21.( 7 分)天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹如图，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部 A,B 的俯角分别为 45和 60。，若此观测点离地面的高度为51 米，A，B 两点在 CD 的两侧，且点 A，D, B 在同一水平直线上，求 A，B 之间的距离(结果保 留根号)

6、ECF/,ALJB22.( 9 分)2013 年 5 月 7 日浙江省 11 个城市的空气质量指数(AQI)如图所示：(1 )这 11 个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少？(2)当 0 AQI 50 时，空气质量为优.求这11个城市当天的空气质量为优的频率;(3) 求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量指数的平均数.223.(9 分)已知抛物线 y= ax+bx+c 与 x 轴交于点 A (1, 0), B (3, 0),且过点 C (0,3).(1) 求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=- x 上，并写出

7、平 移后抛物线的解析式.第8页（共 25 页）24.（12 分）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表:甲乙进价（元/部）40002500售价（元/部）43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5 万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1 万元.（毛利润=（售价-进价）X销售量）（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2 倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16 万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大

8、？并求出最大毛利润.25.（12 分）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形.（1）如图 1,在梯形 ABCD 中，AD / BC, / BAD = 120, / C = 75, BD 平分/ ABC.求 证：BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2） 如图 2,在 12X16 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC,点 A .B.C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以 A、B、C、D 为顶 点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四

9、边形 ABCD 中，AB= AD = BC,ZBAD = 90, AC 是四边形 ABCD 的和谐线， 求/ BCD的度数.第9页（共 25 页）26.（14 分）如图，在平面直角坐标系中， 0 为坐标原点，点 A 的坐标为（0, 4）,点 B 的 坐标为（4, 0）,点 C 的坐标为（-4, 0），点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于 点 D，连结 BD .过 P，D，B 三点作OQ 与 y 轴的另一个交点为 E,延长 DQ 交OQ 于点（2）当点 P 在线段 AB （不包括 A, B 两点）上时.1求证：/ BDE =ZADP ;2设 DE = x, DF = y.请求

10、出 y 关于 x 的函数解析式；（3） 请你探究：点 P 在运动过程中，是否存在以B, D , F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为 2: 1 ?如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由.第10页（共 25 页）2013 年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析故选：B.【解答】解：A、a2+a2= 2a2,故本选项错误;B、2a - a= a,故本选项错误；C、（ab）2= a2b2，故本选项正确;D、（a2）3=a6,故本选项错误;故选：C.故选：D.（3 分）在一个不透明的布袋中装有3 个白球和 5 个红球，它们除了颜色不同外，其余均、选择题（共12 小题，每小

11、题36 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求）1.(3分)-5的绝对值为（C.【解答】解：-5 的绝对值为5,2.（3 分） 下列计算正确的是（224A . a +a = aB . 2a - a = 2C.(ab)2= a2b2D. (a2)3= a53.（3 分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（【解答】解：A、不是中心对称图形，故A 选项错误;B、不是中心对称图形，故B 选项错误;C、不是中心对称图形，故C 选项错误;D、是中心对称图形，故D 选项正确.4.A .B.第11页（共 25 页）相同.从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（第12页（共 25 页）又 2+3 =

12、5,这两个圆的位置关系是外切.故选：D.是下列数据中的（D.12故 6v中点三角形周长v10 .5.6.7.【解答】解：根据题意可得： 一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是故选：D.3 个白球和 5（3 分）备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012 年 12 月 29 日建成通车，此项目总投资约 77 亿元，77 亿元用科学记数法表示为（A.7.7X109元C.0.77Xq【解答】 解：77 亿=77 0000 0000 = 7.7X10 ,故选：A.10一7.7X10 兀110.77X10元（3 分）一个多边形的每个外角都等于72,则这个多边形的边数

13、为（【解答】解：多边形的边数是：360 - 72= 5 .故选：A.C. 7（3 分）两个圆的半径分别为 2 和 3,当圆心距 d = 5 时，这两个圆的位置关系是A .内含B .内切C.相交D .外切【解答】解：两个圆的半径分别为2 和 3,圆心之间的距离是d= 5,（3 分）如果三角形的两条边分别为那么连结该三角形三边中点所得的周长可能【解答】解：设三角形的三边分别是c,令 a = 4, b= 6,则 2vcv10, 12v三角形的周长v20,C. 10A .B.C.D.个红球， 共 5第13页（共 25 页）故选：B .（3 分）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以

14、围成一个封闭第14页（共 25 页）的长方体包装盒的是（【解答】解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；故选：C.210. （3 分）如图，二次函数 y= ax+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x= 1,图象经过（3, 0）,下列结论中，正确的一项是（）2A.abcv0B.2a+bv0C.a-b+cv0D.4ac-b0.抛物线的对称轴 x 1 0,则 b0.抛物线与 y 轴交与负半轴，则 c0.故 A 选项错误；第

15、15页（共 25 页）b =- 2a,第16页（共 25 页）2a+ b= 0.故 B 选项错误；C、 对称轴为直线 x= 1,图象经过（3, 0）,该抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是（-1, 0）,当 x= 1 时，y= 0，即 a - b+c= 0.故 C 选项错误；D、 根据图示知，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点，贝忆=b 4ac0，则 4ac-bv0. 故 D 选项正确；故选：D.C.【解答】解：延长 AE 交 BC 于 F,/ AE 是/ BAD 的平分线，/ BAF = / DAF ,/ AD / CB,/ DAF = / AFB ,/ BAF = / AFB , AB= B

16、F , AB , BC = 4,CF =4 -,/ AD / BC, AE / CD,四边形 AFCD 是平行四边形, AD = CF .故选：B.11中,AD / BC, AB-,BC= 4，连结 BD，/ BAD 的平分线AD 的长为（.（3 分）如图，梯形 ABCD则第17页（共 25 页）a,宽为 b（ ab）的小长方形纸片，按图2 的方式不重叠地放在矩形 ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 S,当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变,则 a, b 满足（）【解答】解：左上角阴影部分的长为 AE,宽为 AF =

17、 3b,右下角阴影部分的长为 PC,宽为 a,/ AD = BC,即卩 AE+ED = AE+a, BC = BP+PC= 4b+PC, AE+a = 4b+PC,即卩 AE- PC = 4b- a,阴影部分面积之差S= AE?AF - PC?CG = 3bAE - aPC = 3b ( PC+4b- a) - aPC =( 3b2-a) PC+12b2- 3ab,则 3b-a = 0，即 a = 3b.解法二：既然 BC 是变化的，当点 P 与点 C 重合开始，然后 BC 向右伸展，设向右伸展长度为 X，左上阴影增加的是 3bX，右下阴影增加的是 aX,因为 S 不变, 增加的面积相等， 3

18、bX= aX,- a = 3b.故选：B.C. a-bD. a = 4bA a-bB a= 3b第 12 页(共 25 页)二、填空题(共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分)13.(3 分)实数-8 的立方根是 -2.【解答】解：T(-2)3=-8,8 的立方根是-2.故答案-2.214.( 3 分)分解因式： x - 4 =(x+2)(X- 2) 【解答】解：X2- 4=( x+2) (x - 2).故答案为：(x+2) ( x-2).【解答】解：关于 y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即y ,y -故答案为：y -.16 . (3 分)数据-2,- 1, 0, 3, 5 的

19、方差是一.【解答】 解：这组数据-2, - 1 , 0, 3, 5 的平均数是(-2 - 1+0+3+5 )- 5= 1,则这组数据的方差是：2 2 2 2 2-(-2- 1)+ (- 1 - 1)+ ( 0- 1)+ (3 - 1)+ (5 - 1) 一；故答案为：一.17. (3 分)如图，AE 是半圆 0 的直径，弦 AB = BC= 4 ,弦 CD = DE = 4,连结 OB, OD ,则图中两个阴影部分的面积和为10n.15 . (3 分)已知一个函数的图象与y -的图象关于 y 轴成轴对称，则该函数的解析式为第19页（共 25 页）【解答】解：弦 AB = BC点 B 是弧 AC

20、的中点，点 D 是弧 CE 的中点，/ BOD = 90,过点 O 作 OF 丄 BC 于点 F, OG 丄 CD 于点 G.贝 U BF = FC = 2 一，CG = GD = 2，/ FOG = 45 ,在四边形 OFCG 中，/ FCD = 135 ,过点 C 作 CN / OF，交 OG 于点 N ,则/ FCN = 90。，/ NCG = 135 90= 45, CNG 为等腰三角形， - CG = NG= 2,过点 N 作 NM 丄 OF 于点 M，贝 U MN = FC = 2_,在等腰三角形 MNO 中，NO一 MN = 4, OG = ON+NG = 6,在 Rt OGD

21、中，OD2 ,即圆 O 的半径为 2 ,故 S阴影=S扇形OBD -10n.故答案为：10n18.（ 3 分）如图，等腰直角三角形ABC 顶点 A 在 x 轴上，/ BCA = 90 , AC= BC= 2反比例函数 y （x0）的图象分别与 AB, BC 交于点 D, E.连结 DE，当 BDEBCA 时，点 E 的坐标为 匚_一 .,弦 CD= DE ,第20页（共 25 页）/?y-xA OCx圍1点 D、E 是反比例函数 y （x0）的图象上的点，设点 D 的坐标是（m, ），点 E 的坐标是（n, -）,又/ BCA = 90, AC= BC= 2 , C（n，0），B（n，2_），

22、A（n- 2 :0）,设直线 AB 的解析式是：y= ax+b ,则_解得-直线 AB 的解析式是：y= x+2 n.又 BDEBCA ,/BDE= ZBCA=90 ,直线 y= x 与直线 DE 垂直，点 D、E 关于直线 y = x 对称， mn= 3,或 m+n= 0 （舍去），又点 D 在直线 AB 上,第21页（共 25 页）整理，可得22n- 2 n - 3 = 0,解得 n 一或 n （舍去），点 E 的坐标是（一，一）.故答案为：（一，）.三、解答题（共 8 小题，满分 76 分）219.（6 分）先化简，再求值：（1 + a） （1 - a） + （a-2），其中 a=-3.

23、【解答】 解：原式=1 - a2+a2- 4a+4=- 4a+5 ,当 a =- 3 时，原式=12+5= 17.20.- （7 分）解方程：5.【解答】解：方程的两边同乘（x- 1）,得-3 = x- 5 （x - 1）,解得 x= 2 （5 分）检验，将 x= 2 代入（x- 1 ）= 1丰0,- x= 2 是原方程的解.（6 分）21.（ 7分）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹.如图，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部 A, B 的俯角分别为 45和 60。，若此观测点离地面的高度为 51 米，A, B 两点在 CD 的两侧，且点 A, D, B 在同一水平直线上，求 A, B

24、 之间的距离（结果保 留根号）ECF7/1A1?B【解答】解：由题意得，/ ECA = 45,/ FCB = 60,/ EF / AB,m+2n, mn= 3,第22页（共 25 页）/ CAD = / ECA= 45,/ CBD = / FCB = 60 ,3).第 16 页(共 25 页)/ACD= ZCAD=45在 Rt CDB 中，tan / CBD 一, BD - 17 米，/ AD = CD = 51 米， AB= AD + BD = 51 + 17答：A, B 之间的距离为(51 + 17 一)米.22.( 9 分)2013 年 5 月 7 日浙江省 11 个城市的空气质量指数(

25、AQI)如图所示：(1 )这 11 个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少？(2) 当 0 AQI 0, W 随 a 的增大而增大，当 a= 5 时，W最大=2.45.答：当该商场购进甲种手机 15 部，乙种手机 40 部时，全部销售后获利最大.最大毛利 润为 2.45 万元.25. (12 分)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线 叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.(1) 如图 1,在梯形 ABCD 中，AD / BC, / BAD = 120, / C = 75, BD 平分/ ABC.求 证：BD 是梯形

26、 ABCD 的和谐线；(2)如图 2,在 12X16 的网格图上(每个小正方形的边长为 1)有一个扇形 BAC,点 A .B.C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以 A、B、C、D 为顶 点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形；(3) 四边形 ABCD 中，AB= AD = BC,ZBAD = 90, AC 是四边形 ABCD 的和谐线， 求/ BCD的度数.第 19 页(共 25 页)【解答】解：（1）vAD / BC,/ABC+/BAD=180,/ADB= ZDBC./BAD=120 ,/ABC=60 ./ BD 平分/ ABC,/ABD= /D

27、BC=30,/ABD= /ADB, ADB 是等腰三角形.在厶 BCD 中，/ C = 75,/ DBC = 30,/BDC= /C=75, BCD 为等腰三角形， BD 是梯形 ABCD 的和谐线；(2)由题意作图为：图 2,图 3A23(3)TAC 是四边形 ABCD 的和谐线， ACD 是等腰三角形./ AB= AD = BC,如图 4,当 AD = AC 时,AB=AC=BC,/ACD= ZADC第27页（共 25 页）ABC 是正三角形，/ BAC=/ BCA = 60./ BAD = 90 ,CAD = 30,ACD = / ADC = 75,BCD = 60 +75=135.如图

28、 5,当 AD = CD 时，AB= AD = BC = CD./ BAD = 90 ,四边形 ABCD 是正方形，BCD = 90如图 6,当 AC= CD 时，过点 C 作 CE 丄 AD 于 E,过点 B 作 BF 丄 CE 于 F ,/ AC= CD . CE 丄 AD, AE -AD , / ACE = / DCE ./ BAD = / AEF = / BFE = 90,四边形 ABFE 是矩形. BF = AE ./ AB= AD = BC, BF -BC , / BCF = 30 ./ AB= BC, / ACB=/ BAC.TAB/CE, / BAC=/ ACE, / ACB=

29、/ ACE -/ BCF = 15,/BCD=15X3=45.第28页（共 25 页）26.（14 分）如图，在平面直角坐标系中， 0 为坐标原点，点 A 的坐标为（0, 4）,点 B 的 坐标为（4, 0）,点 C 的坐标为（-4, 0），点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于 点 D，连结 BD .过 P，D，B 三点作OQ 与 y 轴的另一个交点为 E,延长 DQ 交OQ 于点（2）当点 P 在线段 AB （不包括 A, B 两点）上时.1求证：/ BDE =ZADP ;2设 DE = x, DF = y.请求出 y 关于 x 的函数解析式；（3） 请你探究：点 P 在运动过程中，是否存在以B, D , F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为 2: 1 ?如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由.第29页（共 25 页）【解答】解：（1）设直线 AB 的函数解析式为 y= kx+4 ,代入（4, 0）得：4k+4 = 0,解得：k=- 1,则直线 AB 的函数解析式为 y=- x+4;（2）由已知得：OB=OC