北师大版必修4-三角函数-§2--23--两角和与差的正切函数zx

1、2.3 两角和与差的正切函数1.1.知识目标：知识目标：（1 1）掌握两角和与差的正切公式的推导）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；（2 2）掌握公式的正、逆向及变形运用）掌握公式的正、逆向及变形运用 ；（3 3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决问题；问题；（4 4）正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的）正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明三角函数式的化简、求值和恒等式证明. . （5 5）能将简单的几何问题化归为三角函数问题）能将简单的几何问题化归为三角函数问题. .2.2.能力目标：

2、能力目标：培养学生的数学转换能力及分析问题的能力培养学生的数学转换能力及分析问题的能力. .3.3.情感目标：情感目标：（1 1）培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分）培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题；析问题；（2 2）通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解）通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识决问题的优化意识. .4.4.重点：重点：公式的推导及运用，培养学生掌握获取知识，运公式的推导及运用，培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法用知识的一系列的数学方法. .5.5.难点：难点：公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，公式

3、的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能学会恰当赋值、逆用公式等技能. .1 1、两角和、差的余弦公式、两角和、差的余弦公式cos)coscossinsin(cos)coscossinsin(C C 2 2、两角和、差的正弦公式、两角和、差的正弦公式sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(S S 复习复习sin)sincoscossin(cos)coscossinsin(符号规律：符号规律：左右两边的符号，正弦相同，余弦相反左右两边的符号，正弦相同，余弦相反.思考思考1 1 如何计算如何计算tan75tan75的值？的值？ 是否太烦了是否

4、太烦了, ,能否将其公式化呢能否将其公式化呢? ?思路思路:1.:1.将正切转化为正余弦将正切转化为正余弦: :sin75tan75cos752.2.化为特殊角化为特殊角: :75 =30 +453.3.原式化为原式化为: :sin 30 45sin30 cos45cos30 sin45cos 30 45cos30 cos45sin30 sin45（+）（+）sin30 cos45cos30 sin45tan30tan45cos30 cos45cos30 cos45sin30 sin451 tan30 tan45cos30 cos45T T tantan1tantantantantan1tan

5、tantan?tan思考思考2 2 大胆猜想大胆猜想: :公式的推导公式的推导: :两角和的正切公式：两角和的正切公式：sincoscossincoscos-sinsinsin()cos()coscos0当当时时，coscos分分子子分分母母同同时时除除以以tan() + +T T记记：cos( + )0当时， tantantan()1tantan得到：得到： tantantantan)tan( 1T T( (+) ) 1.2.13.222kkkkZ两两角角和和的的正正切切值值可可以以用用 和和 的的正正切切值值表表示示. .公公式式的的右右端端是是分分数数形形式式，它它是是两两角角正正切切的

6、的和和比比 减减两两角角正正切切的的积积. .公公式式成成立立的的条条件件是是：且且且且理理解解： tantan tantantan1tantan 用用代代替替 得得到到 tantantan1tantan tantan:tan1tantanT 1.2.1.222kkkkZ两两角角差差的的正正切切值值可可以以用用 和和 的的正正切切值值表表示示. .公公式式的的右右端端是是分分数数形形式式，它它是是两两角角正正切切的的差差比比 加加两两角角正正切切的的积积. .3.3.公公式式成成立立的的条条件件是是：且且且且请请同同学学们们说说出出对对公公式式的的理理解解：T T tantan1tantant

7、antantan1tantantan1.tantantan():tan2,tan22.必必须须在在定定义义域域范范围围内内使使用用上上述述公公式式即即：，只只要要有有一一个个不不存存在在就就不不能能使使用用这这个个公公式式. .如如 已已知知求求不不能能用用. .注注意意公公式式的的结结构构，尤尤注注意意：其其是是符符号号. . 两角和差的正切公式：两角和差的正切公式：例题讲解例题讲解 11tan2,tan,0,.3221tan;2 例例 已已知知其其中中求求 求求的的值值. . 11tan2,tan312tantan3tan721tantan13 解解 因因为为，所所以以. .返回返回小结小

8、结30,22223512245.4 + 又又因因为为，所所以以. .在在与与之之间间，只只有有的的正正切切值值等等于于 ，所所以以 + + = = 12tantan32tan121tantan13 + 因因为为. .返回返回小结小结 用用和和的的值值求求的的值值时时，一一定定要要记记住住它它们们在在公公式式中中的的位位置置及及符符号号；根根据据三三角角函函数数值值求求角角时时，一一定定要要看看清清所所求求角角的的取取值值范范围围1.tantantan2. 技巧方法：技巧方法：tan2,tan3,135ABA BAB例例已已知知且且都都是是锐锐角角，求求证证： 1352sin,tan12分分析析

9、：要要求求，只只要要求求出出角角的的某某一一个个函函数数值值（如如：等等）再再确确定定的的范范围围即即可可. .ABABABABAB tan2,tan3,tantan23tan()11tantan1230180135 .ABABABABABABAB 解解因因为为所所以以；又又因因为为 、都都是是锐锐角角，所所以以，即即：返回返回小结小结注意：公式的其它变形形式：注意：公式的其它变形形式： tantantan()(1 tan tan )tantantan tan1tan()tantantan tan1tan()tan() tantantan() tantan 返回返回小结小结归纳：归纳：注意公式

10、的变形形式注意公式的变形形式3tan200tan400tan200 tan400 例例 求求的的值值原原式式解解：tan(200400 )(1tan200 tan400 )tan200 tan400tan200 tan400tan200 tan400 114tan(),tan,0272a 例例 已已知知若若 ，（ ， ），求求的的值值。提提示示：利利用用得得利利用用得得到到tantan()tan3tan(2)tan()tan(2)1 得得由由得得1tantan3367353,2,2624 返回返回小结小结1ta n 1 55.1ta n 1 5 例例 计计 算算的的 值值 tan4511tan

11、15tan45tan151tan151tan45 tan153tan 4515tan30.3 解解因因为为，所所以以返回返回小结小结充充分分利利用用“”的的代代换换作作用用；2 2. .构构造造三三角角函函数数公公式式解解题题. .1.1技巧方法：技巧方法： 例例 若若求求的的值值216tan,tan,tan.5444 因因 为为 ，所所 以以 解解44tantan4421tantan4542111tantan5443.22 返回返回小结小结. .掌掌握握“配配角角”的的技技巧巧；2.2.充充分分利利用用特特殊殊角角的的三三角角函函数数值值；3.3.运运用用正正确确的的三三角角函函数数公公式式

12、解解题题. .1技巧方法：技巧方法：和角公式和角公式 :sinsincoscossin:coscoscossinsintantan:tan1tantanSCT 差角公式差角公式 :sinsincoscossin:coscoscossinsintantan:tan1tantanSCT 返回返回小结小结 例例7 7求求证证2222sinsintan1.sincostan 证证明明：左左边边22sincoscossinsincoscossinsincos 右右边边所所以以原原式式成成立立22222222sincoscossinsincostan1tan. 200tan ,tan,tan.axbxca

13、ac 例例8 8已已知知一一元元二二次次方方程程且且的的两两个个根根为为求求的的值值由由和和一一元元二二次次方方程程根根与与系系数数的的关关，可可解解：系系知知0a 且且所所以以tantan,tantan,baacca tantantan1tantan 1bbbacaccaa 2222tan12tan 331tan12 tan 33tan,tan.4tantantantan.1tantan14.tantan,tan4xyxyxyxyxyxy 1 1. .求求值值. .2 2. .已已知知2 2 求求的的值值3 3. .求求证证已已知知，3 3 求求的的值值. .巩固练习巩固练习1 11-2提示提示3 3：只要把右端展开即可：只要把右端展开即可. .7111 1、化简：、化简：(1)tan(1)tan(+)(1-tan)(1-tantantan) )tan(tan(-)+tan)+tan(2)(2)1-tan(1-tan(-)tan)tan2 2、求值：、求值：ooooooootan71 -tan26tan71 -tan26(1)(1)1+tan71 tan261+tan71 tan26o oo o1-3tan751-3tan75(2)(2)3 +tan753 +tan75(1)tantan(2)tan(1)(1) 1 1(2)(2) -1-1巩固练习巩固练习2 2