考研讲义数三经济部分

1、 第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）考试要求1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。一、.极限及级数在经济学中的应用(一)复利： 设某银行年利率为r，初始存款为元， （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为; （2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为; （3）由于，所以当每年支付次数趋于无穷时，年后得到的存款余额为， 称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值与现值： 上述结论

2、中，称是的将来值，而是的现值。现值与将来值的关系为： 或 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？ 例2（08）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ 、二. 经济学中的常用函数需求函数：, 通常是的减函数；供给函数：, 通常是的增函数；成本函数：, 其中为固定成本, 为可变成本；收益函数：;利润函数：.例 1 某厂家生产的一

3、种产品同时在两个市场销售, 售价分别为和, 销售量分别为和, 需求函数分别为, , 总成本函数为, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例 2（99） 设生产某种产品必须投入两种要素, 和分别为两种要素的投入量, 为产出量；若生产函数为, 其中为正常数, 且, 假设两种要素的价格分别为和试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解 需要在产出量的条件下, 求总费用的最小值, 为此作拉格朗日函数. 由(1)和(2), 得；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当时, 投入总费用最小. 三. 利用导数求解经济应用问题（1） 、边

4、际量： 当某经济量的自变量增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、 边际收益、边际利润等, 由于, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯 上将视为的边际量. 1、 定义 ： 设或，则称或为关于的边际函数。 2、经济学含义：表示自变量增加一个单位时经济量的改变量。(2） 、弹性函数： 1、定义：设某经济量，称为 的弹性函数。 2、经济学含义：当自变量增加1%时, 经济量增加（0时）或减小（时）。 3、需求弹性：由于一般情况下需求函数是的减函数, 因此定义需求对价格的 弹性 （恒正，表示价格增加时需求减小）例1 设某产品的成本函数为, 而需求函数为, 其中为产

5、量(假定等于需求量), 为价格, 试求(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ；例2设某商品的需求函数为（1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。（2）当P取什么值时，总收益最大？最大总收益是多例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q为需求量，P为价格，MC为边际成本，（1）证明定价模型 (2)若成本函 例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P Î (0 , 20)，Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性(> 0)； (II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围

6、内变化时，降低价格反而使收益增加.例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为(件)和(件)，且固定两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件).(I)求生产甲乙两种产品的总成本函数.(万元).(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. (III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。例6（09） 设某产品的需求量函数为, 其对价格的弹性, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加 元. 例 7 已知某商品的需求量对

7、价格的弹性, 而市场对该产品的最大需求量为1 (万件), 求需求量函数. 例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为时的边际成本为, 边际收益为. 试求(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量. 例9 设产品的需求函数为，收益函数，其中为产品价格，为需求量（产品的产量），是单调减少函数。如果当价格为对应产量为时，边际收益，收益对价格的边际效应 。需求对价格的弹性为，求。四、差分方程及其在经济学中的应用（一）、差分与差分方程的概念及性质定义：若记为，则称差为函数的一阶差分，记为； 含有 或的 等式叫一阶差分方程。定理：线性差分方程的性质：1、 若为线性齐次差分方程的解，则通解；2、若为线性非齐次差分方程的一个特解，为对应的 线性齐次差分方程的通解，则为的通解。3、若为的特解，为的特解， 则 为的特解。4、若均为的解，则 为的解；仍为 的解。（二）一阶线性常系数差分方程的解法1、一阶线性常系数齐次差分方程 的解法：特征方程：, 特征值:, 通解:.2、 一阶线性常系数非齐次差分方程的解法:方程的通解为，其中为原非齐次方程的特解。当时，设特解形式为, 其中.，可用待定系数法求之：（三）、典型例题例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以表示第t年的工资总额(单位：百万元), 则满足的差分方程