多属性决策问题

1、多属性决策问题即：有限方案多目标决策问题主要参考文献：68,112,152§ 10.1概述MAMCMO一、决策矩阵（属性矩阵、属性值表） 方案集 X = X1,X2,Xm方案xi属性向量Y = ye,yin 当目标函数为fj时，yj = fj（xj 各方属性值可列成表（或称为决策矩阵）:%yjynX1y11丫育y1nXi丫门yjyinXmym1ymjymn例：学校扩建学校序号费用（万元）平均就读距离km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例:表10.1研究生院试评估部分原始数据X人均专著（本 / 人）y1生师比y2科研经费（万兀/年） y3逾期毕业

2、率（%）目410.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2二、数据预处理数据预处理（又称规范化）主要有如下三种作用。首先，属性值有多种类型。有些指标属性值越大越好，如科研成果数、 科研经费等是效益型；有些指标值越小越好，称作成本型。另有一些指标 属性值既非效益型又非成本型。例如研究生院生师比，一个指导教师指导4 至6名研究生既可保证教师满工作量，也能使导师有充分科研时间和对研究生指导时间，生师比值过高，学生培养质量难以保证；比值过低；教师 工作量不饱满。这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判断方 案优劣，因此需要

3、对属性表中数据进行预处理，使表中任一属性下性能越 优值在变换后属性表中值越大。其次是非量纲化。多目标评估困难之一是指标间不可公度，即在属性 值表中每一列数具有不同单位（量纲）。即使对同一属性，采用不同计量单位， 表中数值也就不同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲选用对评估 结果影响，这就是非量纲化，亦即设法消去（而不是简单删去）量纲，仅用数 值大小来反映属性值优劣。第三是归一化。原属性值表中不同指标属性值数值大小差别很大， 如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千（103）、万（104）间，而生均在学期 间发表论文、专著数量、生均获奖成果数量级在个位（100）或小数（101）之

4、间， 为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中数值归一化, 即把表中数均变换到0，1区间上。此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部 分解决目标间不完全补偿性。常用数据预处理方法有下列几种。(1)线性变换效益型属性：z = yij/yax(10-1)变换后属性值最差不为0,最佳为1成本型属性勺二1 - y；j/ymax(10-2)变换后属性值最佳不为1，最差为0或Zj ' = ymin / yij(10-2')变换后属性值最差不为0,最佳为1,且是非线性变换表10.2 表10.1经线性变换后属性值Z1(yoZ33)Z4 sZ4(y4)

5、10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000标准0-1变换min效益型：Zj 二 yjam yjmin(10.3)y. max y.Mi y Vi,成本型：Zj 二匸；mn(10.4)yjyj特点：每一属性，最佳值为1,最差值为0,而且变换后差值是线性表10.3 表10.1经标准0-1变换后属性值0Z1 (y1)Z3 (y3)Z4 (y4)10.00001.00000.000020.0370

6、0.78800.71421.00.18520.20700.0741.57591.0000y*0.000.48570.22861.0000最优值为给定区-间时变换设给定最优属性区间为y0, y*J1- (y0 -yij )/( yj - yj ')若 Yj V y0可=1若 y：< yij < y*(10.5)1 - ( yij-y*)/ (yj” -y*)、T T »*若 yij > yj其中，yj'为无法容忍下限，yj”为无法容忍上限表10.4 表10.1之属性2数据处理X生师比y2Z2151.0000270.83333100.3333440.66

7、66520.0000(4)向量规范化可 yj1 yj(10.6)特点：规范化后，各方案同一属性值平方和为1 ；无论成本型或效益型， 从属性值大小上无法分辨。常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或 负理想点)欧氏距离场合。表中最右一列是属性2经式(10.5)变换后值再向量规范化结果.表10.5 表10.1经向量规范化后属性值XZ1 (y1)Z3 (y3)Z4 (y4)Z2 (z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.53780.444450.9695

8、0.03980.16550.0000原始数据统计处理_y y j Zj = '- (1.00 - M) + M(10.7)彳 max -其中，Yj = -yj Yj j各方案属性j均值，m为方案数，M取值可在0.5 mii-0.75之间.式(10.7)可以有多种变形，例如：Zj' = 0.1(yijyj)/ j 0.75(10.7')其中j为属性j均方差，当高端均方差大于2.5 j时变换后值均为1.00. 这种变换结果与专家打分结果比较吻合.表10.6 表10.1之属性1用不同方法处理结果比较X人均专著(本 /人) y1线性变换用10.7式(M=0.7)用10.7式10

9、.10.03570.59500.662520.20.07140.61000.675030.60.21430.67000.725040.30.10710.62500.687552.81.00001.00001.0000三、方案筛选1. 优选法(Dominance)淘汰劣解2. 满意值法(逻辑乘 即与门Conjunctive)规定 y0 j=1,2,n (切除值)当Yuy0 j=1且j=2且j=n均满足时，方案Xi被接受主要缺点：目标间不能补偿，例研究生录取时教委规定单科分数线3. 逻辑和法(Disjunctive或门)规定y* j=1,2,n 若yij > y* j=1或2或n时方案Xi被

10、接受。往往 作为上法补充.这些方法用于初始方案过预选，不能用于方案排序ordering 次序，优先序也不能用于方案分等Ranking 量化优先程度.§ 10.2加权和法一、引言多目标决策特点：目标间矛盾性，各属性值不可公度.这二难点不可公度虽可通过属性矩阵规范化得到部分解决，但前述规 范化过程不能反映目标重要性权：目标重要性度量，即衡量目标重要性手段.权三重含义：决策人对目标重视程度； 各目标属性值差异程度； 各目标属性值可靠程度；权应综合反映三种因素作用.通过权，将多目标决策问题化为单目标求解.二、字典序法与一般加权和法1. 字典序法W-Iw2时加权和法即某个目标特别重要，实质上是

11、单目标决策，最重要目标属性值 相同时，再比较第二重要属性，如此继续.2. 一般加权和法加权和法求解步骤很简单： 属性表规范化，得勺i=1,m; j=1,n. 确定各指标权系数Wj j=1,n.n 根据指标CiWjZij大小排出方案i（i=1,m）优劣j 1加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了 （直观），是人们最经 常使用多目标评价方法。采用加权和法关键在于确定指标体系并设定各最 低层指标权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出 属性值表；有了权系数，具体计算和排序就十分简单了。正因为此，以往 各种实际评估过程中总要把相当大精力和时间用在确定指标体系和设定权 上。加权和法常常

12、被人们不适当地使用，这是因为许多人并不清楚：使用加权和法意味着承认如下假设： 指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联； 每个属性边际价值是线性（优劣与属性值大小成比例），每两个属性 都是相互价值独立； 属性间完全可补偿性：一个方案某属性无论多差都可用其他属性 来补偿。事实上，这些假设往往都不成立。首先，指标体系通常是网状，即至 少有一个下级指标同时与二个或二个以上上级指标相关联，也就是说某个 属性可同时反映两个上级目标达到程度。其次，属性边际价值线性常常是 局部，甚至有最优值为给定区间或点情况存在；属性间价值独立性条件也 极难满足，至少是极难验证其满足。至于属性间可补偿性通常

13、只是部分、 有条件。因此，使用加权和法要十分小心。不过，对网状指标体系，可以 用层次分析法中权重设定和网状指标权重递推法设定最低层权重（见下节）。当属性边际价值函数为非线性时可以用适当数学方法进行数据预处理；属 性间不完全补偿性也可通过适当处理，例如用逻辑乘法预先删除具有不可 补偿属性方案等。只要认识到加权和法本身存在种种局限性并采取相应补 救措施，则加权和法仍不失为一种简明而有效多目标评价方法。三、确定权常用方法最小平方误差法见教材第174页.与主观慨率中方法类似2. 本征向量法w-i / w1w1 / w2r w1 /wnw2 / w1w2/ w2w2/WnI >w1w2Aw =wn

14、 / w1wn/w2 wn/ wn=nw即（A - nl） w = 0如A估计不够准确，则A中元素小摄动意味本征值摄动，从而Aw =max由此可求得w四、层次分析法AHP由决策人利用P177之表10.2构造矩阵A; 用本征向量法求max w3矩阵A 一致性检验：i, 一致性指标(Consistenee Index)maxn 1ii,同阶矩阵随机性指标（Random Index）n345678910RI0.580.91.121.241.321.411.451.490max3.1164.075.456.627.798.9910.1611.34iii, 一致性比率(Consistanee Rate)

15、CR=CI/RICR> 0.1（即max大于同阶矩阵相应max ）时不能通过一致性检验，应该重 新估计矩阵A. CR< 0.1通过一致性检验,求得w有效.方案排序n.各方案在各目标下属性值已知时，可以根据指标CiwjZj大小排j 1出方案i （i=1,m）优劣.各方案在各目标下属性值难以量化时，可以通过在各目标下优劣两 两比较（仍利用表10.2）求得每个目标下各方案权，再计算各方案总权重，根 据总权重大小排出方案优劣（参见教材之182页例10.5）.五、最低层目标权重设定网状结构(见教材 § 10.5.2,第 181-182 页)有了最第层目标权重Wk1n设：最第层目标规

16、范化了属性值为Zj,则Ciw： 1zj可用作评价j 1方案优劣依据，Ci越大方案i越优.2.树状结构：当最低层目标过多，不便直接设定时，可以分组自上而下地逐步设定。§ 10.3 TOPSIS 法步骤一.用向量规法求得规范决策矩阵Z z / mzij = yj ryj:i 1步骤二.构成加权规范阵Xx j = w j Zj步骤三.确定理想和负理想解max xij效益型属性理想解r*min Xjj成本型属性rmin Xjj效益型属性负理想解* x0=max 禺max Xq成本型属性步骤四.计算各方案到理想解与负理想解距离 In /到理想解距离 di* 1 (Xjx*)2 n到负理想解距离

17、di0(筍x0)2 j 1步骤五.计算各方案与理想解接近程度C； = d/。*i/(di0di )第六步.按C*由大到小排列方案优劣次序§ 10.4基于相对位置方案排对法优点:需要信息少，不必事先给出决策矩阵只需给出各目标下方案间优先序（0-1矩阵或指向图） 第一步:确定各方案两两间总体优先关系1设定各目标权Wj j=1,2,n且令 Wj 12对每一目标j，进行方案成对比较，给出优先关系矩阵或指向图 X第j个属性值优于Xk第j个属性值 记作（人Xk） jXk第j个属性值优于Xi第j个属性值 记作（Xi Xk） jX与Xk第j个属性值无差异或不可比 记作（Xi Xk） j3.把XXk各

18、目标权相加，记作 w（ Xi Xk）把Xi Xk各目标权相加，记作 W（X Xk）把Xi Xk各目标权相加，记作 W（X Xk） 4计算方案优劣指示值W（Xi Xk）W（Xi Xk）A （Xi ,Xk）=-W（Xi Xk）W（Xi Xk）（T值大小反映Xi与Xk无差异目标重要性5.选定阀值A > 1,判定方案总体优劣> A则 Xi XkA （x Xk） V 1/AXi其它Xi Xk第二步计算排队指标值比Xi优方案个数记为qi比Xi差方案个数记为P排队指标值：Vi = Pi - qi第三步 按Vi大小排定方案优劣次序 缺点：因无决策矩阵，不能反映优先程度 例：y2X1001X211.

19、01设 w1=0.4 W2 =0.6A=1.2 t =0A(X2 xj=1.5> A 所以X2Xi,这与加权和法结果大相径庭二凡是属性值均能定量来表示，不宜用此法§ 10.5 ELECTRE法国人：B.Roy 提出一、级别高于关系(Outranking Relation)1定义给定决策人偏好次序和属性矩阵 yj当人们有理由相信x'优于X”，称x'级别高于x”，记作x' Sx”Notes:i, 决策人愿望承担x'x”所产生风险；ii, 理由：同基于相对位置方案排队法2定义：(P193 定义 10.2)给定方案集X , x', x ” X，当

20、且仅当X中存在 几上,町V1,V2, Vk ; j> 1, k > 1,使 x' Sx” (或者 x' Su1,5Su2,UjS x”)且 x” Sx' (或者x” Sv1,V1Sv2,Vk Sx')则称x”与x级别无差异，记作x' sx”。二、级别咼于关系性质：弱传递性：x' Sx。且 y(xo)> y (x”) x' Sx”? ?或 y ( x' )> y (xo)且xoSx”x' Sx”? ?2. 自反性 XSXX S X3. S是对称4. 允许不可比性三. 级别高于关系构造以决策矩阵为基础(

21、不作规范化)第一步：设定各属性权w第二步：进行和谐性检验(Concordanee Test)构造指示集(属性序号分类)不失一般性，假设各属性值愈大愈优.J (Xi,Xk) = j | 1< j< n, yj(xj>yj (Xk)J (Xi ,Xk) = j | 1< j < n, yj(Xi)=yj (Xk)J (Xi ,Xk) = j | 1< j < n, yj (xJV yj (xQ2计算和谐性指数n1 ik = (Wj+ w j )/ Wjj Jj Jj 1I ik =W j / Wjj Jj J3选定 0.5VaW 1,若Iik > 1

22、, Iika,则通过和谐性检验a愈大，级别高于关系要求越高第三步 进行非不和谐性检验(non-discordanee test)对各属性间补偿加以限制规定dj j=1,n若对任一 jyj (Xk) -yj ( Xi )> dj 则不承认 Xi Sxk第四步确定级别高于关系若 I ik1, 1 ika 且 对所有 j yj (Xk) -yj (xj< dj则 Xi Sxk四、级别高于关系使用1. 通过方案成对比较确定级别高于关系后，找出最小优势子集。定义i,X1X若对每个x'X1存在x*X1使x*Sx'则称X1为最小优势子集。ii,各方案间不存在级别高于关系最小优势子集称为核若X1足够小，决策人直接进行价值判断，择一实施；若刃1中包含较多方 案，调整a重复上述步骤.五、ELECTRE- II定义高、中、低