初中数学培优竞赛讲座第18讲--乘法公式

1、第十八讲乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2根据待求式的特点，模仿套用公式；3对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式例题【例 1】(1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 (江苏省竞赛题22思路点拨(1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视 (2000 一

2、 a)·(1998 一 a)为整体，由平方和想到完全)平方公式及其变形注：公式是怎样得出来的 ?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律一公式从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、 归纳是发现数学规律最常用的方法乘法公式常用的变形有：(1)a 2b 2(ab) 22ab ， ab( ab )2(a 2b 2 ) (a 2b 2 ) (ab)2(a b)2b) 22a 22b 2 ；22(2)(a(3)(ab) 2(ab) 24ab ；（ 4） ab(a b) 24(a b) 2，

3、 a 2b2c 2(a b c)22(ab bc ac)【例 2】 若 x 是不为0 的有理数，已知M( x 22x1)( x22x1)，N( x 2x1)( x2x 1) ，则M与N的大小是（）AM>NB M<NC M=ND 无法确定思路点拨运用乘法公式，在化简M 、 N 的基础上，作差比较它们的大小【例 3】计算：(1)6(7 十 1)(72 十 1)(74 十 1)(78 十 1)+1 ；(天津市竞赛题 )(2)1.345 × 0.345× 2.691.3452 一 1.345× 0.3452(江苏省竞赛题 )思路点拨若按部就班计算，显然较繁能否

4、用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2) ，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元 )，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征【例 4】(1)已知 x、 y 满足 x2 十 y2 十 5 2x十 y，求代数式xy的值(“希望杯”邀请赛试题)4xy(2)整数 x，y 满足不等式 x 2y 212x2 y ，求 x+y 的值(第 14 届“希望杯”邀请赛试题)(3) 同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为abb，乙商场：两次提价的百分率都是(a>0，b>o)，丙商场

5、：第一次提价的百分率为2b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由(河北省竞赛题 )思路点拔对于 (1)， (2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于 (3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小注：有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件， 使之符合乘法公式的特点，才能使用公式 常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1) a22abb2( a b) 20 ；揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题(2) a 2

6、b22ab应用于代数式的最值问题代数等式的证明有以下两种基本方法：(1)由繁到简，从一边推向另一边；(2) 相向而行，寻找代换的等量【例 5】已知 a、 b、 c 均为正整数，且满足a2b2c2 ，又 a 为质数证明： (1)b 与 c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1) 是完全平方数思路点拨从 a 2b2c 2 的变形入手； a2c2b2 ，运用质数、奇偶数性质证明学力训练1观察下列各式：(x 一 1)(x+1) x2 一 l ；(x 一 1)(x 2+x+1)=x3一 1；(x 一 1)(x 3 十 x2+x+1)=x 4 一 1根据前面的规律可得(x 一 1)(xnn-1(武汉市中

7、考题 )+x+ +x+1)=2已知 a 2b24a2b50 ，则 ab =( 杭州市中考题 )ab3计算：(1)1.2345 2+0.76552 +2.469× 0.7655：；2一195022一 19522222；(2)1949+1951+ +1997 一 1998 +1999 =(3)19991998 219991999 2219991997 24如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b 的恒等式(大原市中考题)5已知 a1a 4a 21(菏泽市中考题 )a5 ，则a2=a 26已知 ab3, b c5 ，则代数式 acbca

8、b 的值为 () A一 15B一 2C一 6D 6(扬州市中考题 )7乘积 (112 )(112 )(112 )(112)等于()231999200019992001C19992001(重庆市竞赛题 )A B4000D 2000200040008若 xy2, x 2y24 ，则 x2002y2002 的值是 ()A 4B 20022C 22002D 420029若 x213x 10 ，则 x41的个位数字是 ()x4A 1B 3C 5D 710如图， 在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形 (a>b) ，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图 )，通过计算两个图形(阴影部分 )的

9、面积，验证了一个等式，则这个等式是()A a 2b 2(ab)(ab)B (ab) 2a 22abb2C (ab)2a 22abb2D (a2b)(a b)a 2ab2b2( 陕西省中考题 )11(1) 设 x+2z 3z，判断 x2 一 9y 2+4z2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由(2) 已知 x2 一 2x=2 ，将下式先化简，再求值：(x 1)2+(x+3)(x 一 3)+(x 一 3)(x 一 1) (上海市中考题 )12一个自然数减去45 后是一个完全平方数，这个自然数加上44 后仍是一个完全平方数，试求这个自然数13观察：123415223451

10、11234561192(1) 请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2) 根据 (1) ，计算 2000× 2001×2002 × 2003+1 的结果 (用一个最简式子表示)( 黄冈市竞赛题 )14你能很快算出19952 吗 ?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5 的自然数的平方，任意一个个位数为5 的自然数可写成 l0n+5(n 为自然数 )，即求 (10n+5) 2 的值，试分析 n=1， n=2 ， n3这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论(1) 通过计算，探索规律152225 可写成 100×1× (1+1)+25

11、 ； 252=625 可写成 100× 2×(2+1)+25 ；352=1225 可写成 100× 3× (3+1)+25 ；452 2025 可写成 100× 4× (4+1)+25 ； 752 5625 可写成；8527225 可写成(2) 从第 (1) 题的结果，归纳、猜想得(10n+5) 2=(3) 根据上面的归纳猜想，请算出2(福建省三明市中者题)199515已知 x 2y 2z22x4 y6 z14 0 ，则 xy z =(天津市选拔赛试题 )332216 (1)若 x+y 10， x +y =100，则 x +y (2)

12、若 a-b=3，则 a3-b3-9ab17 1， 2， 3， 98 共 98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 (初中数学联赛 )18已知 a-b=4， ab+c2+4=0 ，则 a+b=()A 4B 0C 2D一 222，共有 ()组整数解A 6B 7C 8D 919方程 x -y =199120已知 a、 b 满足等式 x a 2b 220, y4(2b a) ，则 x、 y 的大小关系是 ()A x yB xyC x<yD x>y(大原市竞赛题 )21已知 a=1999x+2000 ， b 1999x+2001 ，c 1999x+2002 ，则多项式222一 ab

13、bc-ac 的值为 ()a +b +cA 0B 1C 2D 3(全国初中数学竞赛题)22设 a+b=1， a2+b 2=2，求 a7+b7 的值(西安市竞赛题)23已知 a 满足等式a2-a-1=0，求代数式a87a 4 的值(河北省竞赛题)24若 xyab ，且 x2y 2a 2b2 ，求证： x1997y1997a1997b1997 (北京市竞赛题 )25有 l0 位乒乓球选手进行单循环赛 (每两人间均赛一场)，用 xl ， y1 顺次表示第一号选手胜与负的场数；用 x2， y2 顺次表示第二号选手胜与负的场数；用x10、 y10 顺次表示十号选手胜与负的场数求证： x2x2x 2y2y2y 21210121026（ 1）请观察：2552 ,1225352 ,1122253352 ,11222253335 2写出表示一般规律的等式，并加以证明(2)26 52+12， 53=7 2+22，26× 53=1378， 1378=372+32任意挑选另外两个类似 26、 53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，