2016备考立体几何往届真题分析

1、【2015高考新课标1，理18】如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.又AEEC，EG=，EGAC，在RtEBG中，可得BE=，故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得

2、A（0，0），E(1,0, )，F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 12分【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明

3、该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角.【2014高考新课标1，理19】(本小题满分12分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=BC求二面角的余弦值.【解析】：()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点又，所以平面，故=又 ，故 6分（）因为且O为的中点，所以AO=CO= 又因为AB=BC=，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O- 因为，所以为等边三角形又AB=BC=，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向

4、量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.【2013高考新课标1，理18】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60°.（）证明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】（）取AB中点E，连结CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； 6分（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB

5、，EC面，EC，EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),则=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=，直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 12分【2012高考新课标1，理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2， E是PC上的一点，PE=2EC.（）证明：PC平面BED；（）设二面角A-PB-

6、C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形,所以BDAC,又PA底面ABCD,所以PCBD.设ACBDF,连结EF.因为AC2,PA2,PE2EC,故PC2,EC,FC,从而,.因为,FCEPCA,所以FCEPCA,FECPAC90°,由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB,G为垂足因为二面角APBC为90°,所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB,故AG平面PBC,AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故

7、BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD为正方形,AD2,PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离相等,即dAG.设PD与平面PBC所成的角为,则sin.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2,0,0),D(,b,0),其中b>0,则P(0,0,2),E,B(,b,0)于是(2,0,2),从而·0,·0,故PCBE,PCDE.又BEDEE,所以PC平面BDE.(2)

8、(0,0,2),(,b,0)设m(x,y,z)为平面PAB的法向量,则m·0,m·0,即2z0且xby0,令xb,则m(b,0)设n(p,q,r)为平面PBC的法向量,则n·0,n·0,即2p2r0且bqr0,令p1,则r,q,n.因为面PAB面PBC,故m·n0,即b0,故b,于是n(1,1,),(,2),cosn,n,60°.因为PD与平面PBC所成的角和n,互余,故PD与平面PBC所成的角为30°.【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得

9、到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。【2013高考新课标1，理18】)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。解析1：（）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD所以BD