多元函数的极值与最值1PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值12(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 两个方向上一元函数的极值点，两个方向上一元函数的极值点，可知偏导数为可知偏导数为0(如果存在的话如果存在的话)第1页/共27页3设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yx

2、fy. . 极值的求法极值的求法（称（称驻点驻点） 例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.驻点驻点极值点极值点注意注意：定理定理1（必要条件）（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？第2页/共27页4设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数， 设设 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理定理2 2（充分条件）（充分条件）则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的

3、的条条件件如如下下：令令 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， （1 1）02 BAC时具有极值， 且当时具有极值， 且当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值； （2 2）02 BAC时时没没有有极极值值；（3 3）02 BAC时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 CBBA负定负定正定正定第3页/共27页5, 0),( yxfx0),( yxfy求函数求函数),(yxfz=极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解，得所有驻点求出实数解，得所有驻点.

4、第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点(x0, y0), 求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B 、C.第三步第三步 定出定出AC B2的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.第4页/共27页6求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyx

5、fyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233第5页/共27页7在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC第6页/共27页8及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(

6、0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxzOxyz第7页/共27页9 注注 不是驻点也可能是极值点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑. 但(0 0)不是函数的驻点 例如 函数22yxz在点(0 0)处有极大值 第8页/共27页10函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可

7、达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点偏导数不存在的点偏导数不存在的点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, )(Pf为极小值为极小值)(Pf为最小值为最小值( (大大) )( (大大) )依据依据边界上的最值点边界上的最值点第9页/共27页11求求解解: 第一步第一步 内部求驻点内部求驻点. .得驻点得驻点: (1/2, 0). 此处的函数值为此处的函数值为-1/4.第二步第二步 边界边界.得到边界上的最大值为得到边界上的最大值为9/4,9/4,最小值为最小值为0.0.解方程组解方程组),(yxfx210 x ),(

8、yxfy40y 内的最大值和最小值内的最大值和最小值. .边界上的函数边界上的函数为为22( ,1)2()f xxxx291() .42x 11.x 其其中中2222( , )2( , )|1f x yxyxDx yxy- - 在在区区域域综上可得，综上可得， 函数的最大值为函数的最大值为9/4， 最小值为最小值为-1/4. 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小第10页/共27页12求二元函数求二元函数)4(),(2yxyxyxfz 在由在由直线直线6 yx，x 轴和轴和 y 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域 D 上的上的极值、最大值与最小值极值、最大值与最小值. 解解

9、xyo6 yxD例例9 9先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点， 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域 D 内内惟惟一一驻驻点点)1 , 2(, 解方程组解方程组 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfAxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfBxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfCyy,02 BAC,0 A. 4)1 , 2( 是极大值是极大值所以所以 f第11页/共27页13xyo6 yxD再再求求),(yxf在在 D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf,

10、是是极极大大值值 4)1 ,2( f在在边边界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值, 64)2 , 4( f为最小值为最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 第12页/共27页14 设生产某种商品需原料设生产某种商品需原料A和和B，设设A的单价为的单价为2，数量为，数量为x；而而B 的单价为的单价为1，数量为，数量为y，而产量为而产量为 例例5 5解解，yyxxz52102022 且商品售价为

11、且商品售价为5,求最大利润求最大利润. 利润函数为利润函数为 yxyyxxyxL 2)521020(5),(22第二步第二步 判别判别 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)3. 函数的最值应用问题函数的最值应用问题第13页/共27页15yxyyxxyxL 2)521020(5),(22令令， 0242004810 xLxLyx解得解得惟一惟一驻点驻点 ，2 . 1, 8 . 4 yx惟一惟一驻点驻点为极为极大值大值点点，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( L，yyxx24104851

12、122 ,20,0,10 yyxyxxfCfBfA,02 BAC,0 A即为即为最大值最大值点点，最大利润最大利润为为 第14页/共27页16 注：应用题若已知有最值，注：应用题若已知有最值，又只一个驻点，则唯一的驻点为所求最值点。又只一个驻点，则唯一的驻点为所求最值点。根据实际问题可知最小根据实际问题可知最小(大大)值在定义域内应存在值在定义域内应存在,因此因此可可断定此唯一驻点就是最小断定此唯一驻点就是最小(大大)值点值点. 即即在应用题中，只有唯一的驻点的话，可以不用判别在应用题中，只有唯一的驻点的话，可以不用判别A，B，C，直接改为下面的一句话，直接改为下面的一句话，第15页/共27页

13、17极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制还有其他条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz这种做法的缺点：这种做法的缺点： 1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.有时解出隐函数困难甚至不可能有时解出隐函数困难甚至不可能. 第16页

14、/共27页18 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.方法方法2：拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法其其中中 为为参参数数， 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数),(),();,(yxyxfyxF 令令,0),(0),(),(0),(),( yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx 若这样的点惟一若这样的点惟一,由实际问题由实际问题,可直接确定此即所求的点。可直接确定此即所求的点。第17页/共27页19拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变

15、量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F第18页/共27页20 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为要求容积为V,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 目目标标函函数数：)( 2zxyzxyS , , 约约束束条条件件：x

16、yzV , , 例例7 7解解即表面积最小即表面积最小. ，xyVz xyz目目标标函函数数化化为为：)( 2yVxVxyS , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yVxSxVySyx, , 求得唯一驻点求得唯一驻点3Vyx , ,从而从而3Vz , , 内部唯一驻点内部唯一驻点,且由实际问题且由实际问题S有最大值有最大值,故做成立方体表面积最小故做成立方体表面积最小. 第19页/共27页21 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为要求容积为V,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 例例7 7目目标标函函数数：)( 2zxyzxyS , , 约约束束条

17、条件件：xyzV , , 解解构构作作拉拉格格朗朗日日函函数数 )()( 2VxyzzxyzxyL , , 令令 VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一驻驻点点3Vzyx , , 由实际问题由实际问题,即为最小值点即为最小值点. 设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 xyz第20页/共27页22要设计一个容量为要设计一个容量为0V则问题为求则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件xF02

18、zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz试试问问第21页/共27页23得唯一驻点得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为,340Vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利

19、用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .最省最省,第22页/共27页24某产品的生产函数某产品的生产函数414380),(yxyxQ ， 其中， 其中yx,分别表示投入的劳力数和资本数，分别表示投入的劳力数和资本数，Q是产量。是产量。若每个单若每个单位劳力需位劳力需 600600 元， 每单位资本为元， 每单位资本为 20002000 元， 而劳力和资本元， 而劳力和资本投入的总预算为投入的总预算为 4040 万元，试求最佳资金投入分配方案。万元，试求最佳资金投入分配方案。 例例1010解解目目标标函函数数 414380),(yxyxQ ， 约约束束