极坐标与参数方程教案

1、学习必备欢迎下载1、教材分析2、课时规划3、教学目标分析4、教学思路5、教学过程设计课程名称：极坐标与参数方程教学内容和地位：在高考中主要与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等直角坐标方程结合出题，主要是简答题形式出现教学重点：直角坐标与极坐标的互化；参数方程和普通方程互化。教学难点：极坐标与参数方程的应用课时： 3 课时1、理解极坐标和参数方程的概念2、掌握直角坐标与极坐标的互化，参数方程和普通方程的互化3、会利用直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程解决实际问题1、复习、检查上次课重点知识2、梳理本节课重要知识3、例题精讲4、重点、易错点、常见题型（图形变换）5、常用方法，解题技巧6、课堂总

2、结，课下安排必讲知识点一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设 点P(x,y)是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 , 在 变 换xx(0)对应到点 P ( x , y ) , 称:y(的作用下 , 点 P(x,y)y0)为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 .2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O , 叫做极点 ,自极点 O 引一条射线Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位, 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 .注

3、: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一学习必备欢迎下载一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 .(2) 极坐标设 M是平面内一点, 极点 O 与点 M的距离 |OM| 叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴 Ox 为始边 , 射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M的极角 , 记为 .有序数对 ( , )叫做点 M的极坐标 ,记作M( , ).一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数.特别地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为(0,)( R). 和直角

4、坐标不同 , 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 (,) 表示 ; 同时 , 极坐标 (, ) 表示的点也是唯一确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化5、教学过程设计(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 :(2) 互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是( x, y) , 极坐标是 ( ,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 M直角坐标 ( x, y)极坐标 (,)互化xcos2x2y2y ( x公式ysintan0)x在一般

5、情况下 , 由 tan确定角时 ,可根据点 M 所在的象限最小正角 .4. 常见曲线的极坐标方程学习必备欢迎下载曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径r (02 )为 r 的圆圆 心 为(r ,0),2r cos ()半 径为 r的圆22圆心为(r ,) ,22r sin(0)半 径为 r的圆5、教学过程设计1过极点,(R)或(R)倾斜角为2的直线(0)和(0)过点(a,0),cosa()与极轴垂直的直线过点(a,) ,222sina(0)与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即学习必备欢迎下载(,),( ,2),(,),(,), 都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性

6、明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 , 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程,点M ( ,)可以表示为44(,2 )或(4,2 )或(-,5 )等多种形式, 其中,只有44444(,) 的极坐标满足方程.445、参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函数xf (t ) , 并且对于 t 的每一个允许值 , 由方程组yg (t )所确定的点M ( x, y) 都在这条曲线上, 那么方程就叫做这条曲线的参数方程 , 联系变数x, y 的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而5、

7、教学过程设计言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 . 6、参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数x, y 中的一个与参数t 的关系 , 例如 xf (t) , 把它代入普通方程 , 求出另一个变数与参数的关系yg(t) , 那么xf (t )yg(t)就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致.注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线

8、的参数方程的形式也不同。7、圆的参数如图所示，设圆O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 M 0 出发，按逆时针 方 向 在 圆 O 上 作 匀 速 圆 周 运 动 ， 设M (x, y)， 则学习必备欢迎下载xr cos( 为参数)。yr sin这就是圆心在原点O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中的几何意义是 OM 0 转过的角度。圆心为 (a, b) ，半径为 r 的圆的普通方程是(xa)2( yb)2r 2 ，xar cos它的参数方程为：ybr sin( 为参数)。8、椭圆的参数方程以 坐 标 原 点 O 为 中 心 ， 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为x2

9、y21(a b0), 其参数方程为xa cos为参数 ) ，其中参a2b2y(b sin5、教学过程设计数称 为 离 心 角 ； 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是y2x21(a b0), 其参数方程为xb cos(为参数),其中参a2b2ya sin数仍为离心角，通常规定参数的范围为0 ，2）。注： 椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0 到 2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 0时，相应地也有0，在其22他象限内类似。9、双曲线的参数方程以 坐

10、 标 原 点 O 为 中 心，焦点 在 x 轴 上的 双 曲 线 的标准 议 程 为x2y21(a 0, bxa sec为参数 ) ，其中a2b20), 其参数方程为(yb tan0,2 )且,3 .22y2x2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是2b21(a 0, b 0), 其a学习必备欢迎下载xb cot为参数，其中且参数方程为(0,2 )e.ya csc以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。10、抛物线的参数方程以坐标原点为顶点， 开口向右的抛物线y 2 2 px( p 0) 的参数方程为x2 pt 2(t为参数 ).y2 pt11、直线的参数方程经过点 M 0 ( x0 , y0 )

11、 ，倾斜角为() 的直线 l 的普通方程是2yy0tan(x x0 ), 而过 M 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为的直线 l 的参数方程为xx0t cosyy0(t为参数 ) 。5、教学过程设计t sin注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点M 0 (x0 , y0 ) ，倾斜角为xx0t cos的直线 l 的参数方程为y0(t为参数 ) ，其中 t 表示直yt sin线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点M ( x, y) 为终点的有向线段M0M 的数量，当点M 在 M 0 上方时， t 0；当点 M 在 M 0 下方时， t 0；当点M 与M0重合时， t =0。我们也可以把参数t 理解为以 M 0 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。三、例题精讲四、重点、常见题型（图形变换）1、平面直角坐标系中的伸缩变换2、极坐标与直角坐标的互化3、求曲线的极坐标方程4、极坐标的应用5、把参数方程化为普通方程6、直线、圆、椭圆参数方程的应用7、利用参数方程求值域学习必备欢迎下载五、易错点、常用方法，解题技巧1、