课件-17(直线与圆的位置关系)

1、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页1.1.直线方程的一般式直线方程的一般式为为: :_2.2.圆的标准方程为：圆的标准方程为：_3.3.圆的一般方程：圆的一般方程：_ 圆心为圆心为_)2,2(EDFED42122半径为半径为_Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同时为零不同时为零) )(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(+Dx+Ey+F=0(其中其中D D2 2+E+E2 2-4F0)-4F0)圆心为圆心为 半径为半径为（a a，b)b)r r直线与圆的位置关系直线

2、与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页外离外离内切内切外切外切内含内含相交相交两圆的位置关系图形d与R，r的关系公切线的条数24301dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-r0dR-r公切线长直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页问题问题1 1：你知道直：你知道直线和圆的位置关系线和圆的位置关系有几种？有几种？返回返回结束结束下一页下一页直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系的判断方法: : 一般地一般地, ,已知直线已知直线Ax+By+CAx+By+C=0(A,B=0(A,B不同时为零不同时为零) )和圆和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y

3、-b)2 2=r=r2 2, ,则圆心则圆心( (a,ba,b) )到此直线到此直线的距离为的距离为22|BACBbAaddrdrdrd d与与r r2 2个个1 1个个0 0个个交点个数交点个数图形图形相交相交相切相切相离相离位置位置rdrdrd则例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆 ，判断直线L与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。04222yyx分析：方法一，判断直线L与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。0 xyABCL图4.2-2解法一：由直线L与圆的方程，得

4、消去y ，得 因为 =所以，直线L与圆相交，有两个公共点。063 yx04222yyx0232 xx01214)3(2解法二：圆 可化为 ，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 ，点C（0，1）到直线L的距离d = =所以，直线L与圆相交，有两个公共点由 ，解得 =2 ， 把 =2代入方程，得 ；把 代入方程，得 所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是（，），（，） 04222yyx5) 1(22 yx550232 xx1x2x1x1y2x2y10510255 . 22213|6103|巩固练习：判断直线xy=50与圆 的位置关系如果相交，求出交点坐标 解：因为圆心O（0，0）到直线xy=50的

5、距离d= = 10而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0解方程组 ， 得 切点坐标是（，）5|5000|0435034yxyx68yx10022 yx判断直线xy与圆 的位置关系 解：方程 经过配方，得 圆心坐标是（，），半径长r=1 圆心到直线xy的距离是 因为d=r，所以直线xy与圆相切0222xyx1) 1(22yx15|203|d已知直线L：yx+6,圆: 试判断直线L与圆有无公共点，有几个公共点 解：圆的圆心坐标是（，），半径长r= ，圆心到直线yx+6的距离 所以直线L与圆无公共点55225d0222xyx04222yyx试解本节引言中的

6、问题 解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆方程为轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0 问题归结为圆与直线L有无公共点。点到直线L的距离圆的半径长r=3因为.，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响922 yx5 . 3652865|2800|dxy0AB归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种： 代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即，则相交；若有两组相同的实数解，即，则相切；若无实数解，即，则相离几何法：由圆心到直线的距

7、离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页 将直线方程与圆的方程联立成方程组将直线方程与圆的方程联立成方程组, ,利用消元法消去一个元后利用消元法消去一个元后, ,得到关于另一得到关于另一个元的一元二次方程个元的一元二次方程, ,求出其求出其的值，然的值，然后比较判别式后比较判别式与与0 0的大小关系的大小关系, ,判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与圆的位置关系的方法2 2 ( (代数法代数法):):若若0 0 则直线与圆相交则直线与圆相交若若=0=0 则直线与圆相切则直线与圆相切若若0rdr时，直线与圆相离；当时，直

8、线与圆相离；当d=rd=r时，时，直线与圆相切直线与圆相切; ;当当drdr时，直线与圆相交时，直线与圆相交把直线方程化为一般式把直线方程化为一般式, ,利用圆的方程求出圆利用圆的方程求出圆心和半径心和半径直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页把直线方程与圆的方程联立成方程组把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其求出其的值的值比较比较与与0 0的大小的大小: :当当000时时, ,直线与圆相交。直线与圆相交。二、代数方法。主要步骤：二、代数方法。主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程直线与圆的位置关系直线与圆的位

9、置关系返回返回结束结束下一页下一页 已知直线已知直线l：kx-y+3=0kx-y+3=0和圆和圆C: C: x x2 2+y+y2 2=1,=1,试问：试问：k k为何值时，直线为何值时，直线l与圆与圆C C相交？相交？脑筋转一转 问题：你还能用什么方法求解呢问题：你还能用什么方法求解呢? ?直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页 一只小一只小老鼠在圆老鼠在圆(x-5)(x-5)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=9=9上环上环行，它走到哪个位置时与直线行，它走到哪个位置时与直线l ：3x+4y-2=03x+4y-2=0的距离最短，的距离最短，请你帮小老鼠找请你帮小

10、老鼠找到这个点并计算这个点到直线到这个点并计算这个点到直线l的距离。的距离。 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页例例1 1：直线：直线l过点过点(2,2)(2,2)且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0相切相切, ,求直线求直线l的方程的方程. . 2)2(432xxy或直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系返回返回结束结束下一页下一页例2:一圆与一圆与y y轴相切，圆心在直线轴相切，圆心在直线x-3y=0 x-3y=0上，上，在在y=xy=x上截得弦长为上截得弦长为 ，求此圆的方，求此圆的方程。程。解：设该圆的方程是解：设该圆的方程是(x-3b

11、)2+(y-b)2=9b2， 圆心圆心(3b,b)(3b,b)到直线到直线x-yx-y=0=0的距离是的距离是|22|3|bbbd1)7(222bdr故所求圆的方程是故所求圆的方程是(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9或或(x+3)(x+3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9=9。r=|3b|72判定直线L：3x +4y12=0与圆C：(x-3)2 + (y-2)2=4的位置关系练习：练习：代数法：代数法：3x +4y12=0(x-3)2 + (y-2)2=4消去y得：25x2-120 x+96=0=1202-10096=48000所以方程组有两解，直线L与圆

12、C相交14322|122433 |几何法：几何法：圆心C（3，2）到直线L的距离d=因为r=2,dr所以直线L与圆C相交比较：几何法比代数法运算量少，简便。比较：几何法比代数法运算量少，简便。dr 例例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:(x-3)2+(y-4)2=4 （1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长; （2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长; （3）若圆的方程加上条件x3，直线与圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值范围.培养学生用数形结合的思想培养学生用数形结合的思想优化解题程序，用运动变化的观优化解题程序，用运动变化的观点分析解决问题的能力。点分析解决问题的能力。

13、例2: 在圆（x+1）2+(y+2)28上到直线+=的距离为 的点有_个.2运用点到直线的距离解决直运用点到直线的距离解决直线与圆的关系问题，将学生线与圆的关系问题，将学生思维引向更高层次。思维引向更高层次。在（x+1）2+(y-1)2R2的圆上是否存在四个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于。开放性问题:给出这个问题的用意是开拓学给出这个问题的用意是开拓学生的思维，让学生从多角度思生的思维，让学生从多角度思考问题，培养学生的创新能力。考问题，培养学生的创新能力。直线与圆部分练习题直线与圆部分练习题1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）A

14、. 4 B.62C.5 D. 5.52、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( )A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=03、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（ ）A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是_BCBx+y-5=05、直线 x+y+a=0与 y= 有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）A. 1, ) B.1, C. , -1 D ( , -121x222

15、2D6、一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为 ，求此圆方程。72答： (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9高考荟萃（全国理）过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）. xy3xy3xy33xy33C03422xyx（2002 年全国文）若直线（+a）x+y+1=0与圆相切，则a的值为（ ）0222xyx，D 例例2. 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM),(00yxMyxO.200ryyxx,22020ryx),(0000

16、xxyxyy .1kOM 所求的切线方程是所求的切线方程是因为点因为点M在圆上在圆上, ,所以所以经过点经过点M 的切线方程是的切线方程是解解: :当当M M不在坐标轴上时不在坐标轴上时，设切线的斜率为设切线的斜率为k,k,则则k =k = y0,0 xkOM=.00yxk当点当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.整理得整理得.202000yxyyxx 例例2. 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一，求经过圆上一点点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM),(00yxMyxO 解法二：解法二：当点当点 M 不在坐标轴

17、上时不在坐标轴上时， 当点当点 M 在坐标轴上时，在坐标轴上时，同解法一一样可以验证同解法一一样可以验证.设切线方程为设切线方程为y-y0=k(x-x0) 整理成一般式，利用整理成一般式，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离公式求k,代入所设方程即可代入所设方程即可. 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆，求经过圆上一点上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxMP(x,y),(00yxM由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法三：解法三：利用平面几何知利用平面几何知识，按求曲线方程的一般识，按求曲线方程的一般 步骤求解步骤求解.如图，在

18、如图，在RtRtOMPOMP中中yxOx0 x +y0 y = r2小结小结:1:过圆过圆x2y2r2上一点上一点(xo,yo)的切线方程为的切线方程为xox+yoy=r2 2:过圆过圆(x-a)2(y-b)2r2上一点上一点(xo,yo)的切线方程为的切线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r23:过圆过圆x2y2r2外一点外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为连线的直线方程为xox+yoy=r24:过圆过圆(x-a)2(y-b)2r2外一点外一点(xo,yo)的作圆的切线，的作圆的切线， 两切点的连线的直线方程为两切点的连线的直

19、线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r21.已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2=4上任意一点，求上任意一点，求(1)2x+3 (2)(x-2)2+(y-3)2 (3)y/(x+4)的取值范围的取值范围2.已知一个圆已知一个圆C与与y轴相切，圆心轴相切，圆心C在直线在直线l1:x-3=0上，且上，且 在直线在直线l2:x-y=0上截得的弦长为上截得的弦长为 ,求圆求圆C的方程的方程723.已知圆已知圆C: x2+(y+4)2=4，求在两坐标轴上截距相等的圆，求在两坐标轴上截距相等的圆 的切线方程的切线方程4.已知点已知点P是圆是圆x2+y2=4上一动点，点上一动点，

20、点Q(4,0),求线段求线段PQ中点中点 的轨迹的轨迹5.直线直线l过点过点P(0,2)且被圆且被圆x2+y2=4截得弦长为截得弦长为2，求，求l的斜率的斜率16)2()32(. 122 yx圆圆与与y轴交于轴交于A，B两点，与两点，与x轴轴的一个交点为的一个交点为P，求，求APBAPB的大小的大小2.已知圆已知圆(x-3)2+(y+4)2=4与直线与直线y=kx相交于相交于P,Q两点，则两点，则 |OP|OQ|=|OQ|= . .3.已知已知A(1,2)是圆是圆(x-2)2+(y-4)2=10内的一个点，求过点内的一个点，求过点A 且被且被A平分的圆的弦所在直线平分的圆的弦所在直线l的方程的

21、方程4. 已知圆已知圆C满足满足:截截y y轴所得弦长为轴所得弦长为2;2;被被x x轴分成两段轴分成两段 圆弧，其弧长之比为圆弧，其弧长之比为3:1;3:1;圆心到直线圆心到直线l:x-2y=0l:x-2y=0的距离的距离 为为 ，求这个圆的方程，求这个圆的方程551.若实数若实数x,y满足等式满足等式(x-2)2+y2=3，那么，那么 的最大值的最大值xy2.已知已知P(2,0),Q(8,0)，点，点M到点到点P的距离是它到点的距离是它到点Q的距离的距离的的1/5，求，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0的最小距离的最小距离3.已知已知P

22、(x,y)为圆为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点上的点(1)求求 的最小值的最小值(2)求求x2+y2的最大值与最小值的最大值与最小值xy4.已知圆已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为问：是否存在斜率为1的直线的直线使使l被圆被圆C截得得弦截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程直线方程例例1过点过点P(-2，-3)作圆作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条的两条 切线，切点分别为切线，切点分别为A、B.求：求： (1)经过圆心经过圆心C，切点，切点A、B这三点的圆的方程；这三点的圆的方程； (2)直线直线AB的方程；的方程； (3)线段线段AB的长的长.3.