中考-类比探究专项

1、第六讲几何类比探究（一）几何类比探究是河南中考数学的重点、难点，虽是考试难点，但依然有法可破！【知识点睛 】1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构2. 类比是解决类比探究问题的主要方法往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题3. 常见结构：精品文库【例题精讲】例 1.（2015?潜江 24）已知 MAN=135°，正方形 ABCD绕点 A 旋转（ 1）当正方形 ABCD旋转到 MAN 的外部（顶点 A 除外）时， AM， AN 分别与正方形 ABCD的边 CB， CD的延长线交于点 M，N，连接 MN 如

2、图 1，若 BM=DN，则线段 MN 与 BM+DN 之间的数量关系是； 如图 2，若 BM DN，请判断 中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（ 2）如图 3，当正方形 ABCD旋转到 MAN 的内部（顶点 A 除外）时， AM，AN分别与直线 BD 交于点 M，N，探究：以线段 BM，MN，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由欢迎下载2精品文库例 2. （2015?贵港 26）已知： ABC是等腰三角形，动点 P 在斜边 AB所在的直线上，以 PC为直角边作等腰三角形 PCQ，其中 PCQ=90°，探究并解决下列问题：（ 1）如图，若

3、点 P 在线段 AB上，且 AC=1+ ，PA= ，则：线段 PB=，PC=；222；猜想： PA，PB，PQ三者之间的数量关系为（ 2）如图，若点 P 在 AB的延长线上，在（ 1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（ 3）若动点 P 满足 =，求 的值（提示：请利用备用图进行探求）欢迎下载3精品文库例 3. 在等腰直角三角形 ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线 MN过点 A 且 MN BC以点 B 为一锐角顶点作 Rt BDE，BDE=90°，且点 D在直线 MN上（不与点 A 重合）如图 1，DE与 AC交于点 P，易证： BD=DP（ 1）在图

4、 2 中，DE与 CA的延长线交于点 P，则 BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由（ 2）在图 3 中， DE与 AC的延长线交于点 P，BD与 DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明EMDANPMADNPMDANBECPBC图1BC图 2E图3欢迎下载4精品文库例 4. 在正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点 O；在 Rt PMN中， MPN=90°（ 1）如图 1，若点 P 与点 O重合且 PMAD，PNAB，分别交 AD，AB于点 E，F，请直接写出 PE与 PF 的数量关系（ 2）将图 1 中的 Rt PMN绕点 O顺时针旋转角度 （

5、0°<<45°）如图 2，在旋转过程中（ 1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由如图 3，旋转后，若 Rt PMN的顶点 P 在线段 OB上移动（不与点 O，B 重合），当 BD=3BP时，猜想此时 PE与 PF的数量关系，并给出证明当 BD=m·BP时，请直接写出 PE与 PF的数量关系（ 3）在（ 2）的条件下，当 DPM=15°时，连接 EF，若正方形的边长为 9 3 ，请直接写出线段 EF的长MMMAEAE DDAEDNNFOO(P)FNFO(P)PBCBBC图 1图 2C图 3欢迎下载5精品文库【练习】1、（

6、2015?齐齐哈尔 26（ 8 分）如图 1 所示，在正方形 ABCD和正方形 CGEF中，点 B、C、 G在同一条直线上， M是线段 AE的中点， DM的延长线交 EF于点 N，连接 FM，易证： DM=FM，DM FM（无需写证明过程）（ 1）如图 2，当点 B、C、F 在同一条直线上， DM的延长线交 EG于点 N，其余条件不变，试探究线段 DM与 FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（ 2）如图 3，当点 E、B、C 在同一条直线上， DM的延长线交 CE的延长线于点 N，其余条件不变，探究线段 DM与 FM有怎样的关系？请直接写出猜想欢迎下载6精品文库2.如图，在 RtABC中

7、， ACB=90°， A=30°，点 O 为 AB 的中点，点 P 为直线BC上的动点（不与点 B、点 C 重合），连接 OC，OP，将线段 OP绕点 P 顺时针旋转 60°，得到线段 PQ，连接 BQ（ 1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段BQ 与 CP 的数量关系：_；（ 2）如图 2，当点 P 在 CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（ 3）如图 3，当点 P 在 BC延长线上时，若 BPO=15°，BP=4，请求出 BQ 的长AQAOOAPCBQOCPBCBPQ图1图2图3欢迎下载

8、7精品文库3 如图， ABC中，点 E，P 在边 AB 上，且 AE=BP，过点 E，P 作 BC的平行线，分别交 AC于点 F，Q，记 AEF的面积为 S1，四边形 EFQP的面积为 S2，四边形PQCB的面积为 S3（ 1）若 EP=2AE，则 EF: PQ: BC=_；求证： EF+PQ=BC（ 2）若 S1+S3=S2，求 PE 的值AE（ 3）若 S3- S1=S2，直接写出 PE 的值AEBPEAFQC欢迎下载8精品文库4、在 ABC中， AD 为 BC边上的中线， E 为 AD 上一动点，设 DE=nEA，连接CE并延长交 AB于点 F（1）如图 1，当 BAC=90°

9、， B=30°，DE=EA 时，求 FB 的值；FA（2）如图 2，当 ABC为锐角三角形， DE=EA时，求 FB 的值；FA（3）如图 3，当 ABC为锐角三角形， DE=nEA 时，求 FB 的值FAAFEBD图 1AFEBD图 2AFEBD图 3CCC欢迎下载9精品文库第六讲几何类比探究（二）例 1. 如图 1， QPN的顶点 P 在正方形 ABCD两条对角线的交点处， QPN=，将 QPN绕点 P 旋转，旋转过程中 QPN的两边分别与正方形 ABCD的边 AD和 CD交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D不重合）（ 1）如图 1，当 =90°时， DE， DF

10、，AD之间满足的数量关系是 _；（ 2）如图 2，将图 1 中的正方形 ABCD改为 ADC=120°的菱形，其他条件不变，1当 =60°时，（ 1）中的结论变为DE+DF= AD ，请给出证明；2（ 3）在（ 2）的条件下，若旋转过程中 QPN的边 PQ与射线 AD交于点 E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， DE， DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明BCPFNAQ ED图 1BPACEFQDN图2BACD欢迎下载图3 10精品文库例 2.已知直线 mn，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD与直线m， n 不垂直，点

11、 P 为线段 CD的中点（ 1）操作发现：直线l m，l n，垂足分别为A， B，当点 A与点 C重合时（如图 1 所示），连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB的数量关系： _（ 2）猜想证明： 在图 1 的情况下，把直线 l 向上平移到如图 2 的位置，试问（1）中的 PA与 PB的关系式是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由（ 3）延伸探究：在图 2 的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得 APB=90°（如图3 所示），已知两平行线m，n 之间的距离为 2k求证： PA PBk AB mnmnPDDAPABBlCl(C)图1图2mnlDPACB图 3欢迎

12、下载11精品文库例 3 在 RtACB和 Rt AEF中， ACB=AEF=90°，若点 P 是 BF 的中点，连接PC，PE特殊发现：如图1，若点 E，F 分别落在边 AB， AC上，则结论： PC=PE成立（不要求证明）问题探究：把图1 中的 AEF绕着点 A 顺时针旋转（1）如图 2，若点 E 落在边 CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图 3，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）记 AC，当 k为何值时， 总是等边三角形 （请直接写出k 的值，kCPEBC不必说明理

13、由）？CCFABPPAEBE图 1F图 2CAFPBE图 3欢迎下载12精品文库例 4（ 2017 洛阳一模）（10 分）如图， C 为线段 BE 上的一点，分别以 BC和CE为边在 BE的同侧作正方形 ABCD和正方形 CEFG，M 、N 分别是线段 AF 和 GD 的中点，连接 MN（ 1）线段 MN 和 GD 的数量关系是，位置关系是；（ 2）将图中的正方形 CEFG绕点 C 逆时针旋转 90°，其他条件不变，如图，（ 1）的结论是否成立？说明理由；（ 3）已知 BC=7， CE=3，将图中的正方形 CEFG绕点 C 旋转一周，其他条件不变，直接写出 MN 的最大值和最小值欢迎

14、下载13精品文库例 5（2017 开封）如图所示，平行四边形 ABCD中， B=60°，将一块含 60°的直角三角板如图放置在平行四边形 ABCD所在平面内旋转，且 60°角的顶点始终与点 C 重合，角的两边所在的两直线分别交线段 AB、AD 于点 E、F（不包括线段的端点）（ 1）问题发现：如图 1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段 AE、AF、 AC之间的数量关系，请证明你的猜想（ 2）类比探究：如图 2，若 AB： AD=1：2，过点 C 作 CHAD 于点 H，求 AE： FH的比值；（ 3）拓展延伸：如图 3，若 AB： AD=1：4，请直接写出（ AE+4AF）： AC的比值为欢迎下载14精品文库例 6（2017 新乡）如图 1，过等边三角形 ABC边 AB 上一点 D 作 DEBC交边 AC 于点 E，分别取 BC，DE的中点 M， N，连接 MN（ 1）发现：在图 1 中，=；（ 2）应用：如图 2，将 ADE绕点 A 旋转，请求出的值；（ 3）拓展：如图