华农概率论习题三解答

1、v1.0可编辑可修改习题三解答1:设二维随变量(X, Y)只能取下列数组中的值：(0, 0), (-1 ,1), (-1 ,1/3 ), (2, 0),且取这几组值的概率依次为1/6 , 1/3 , 1/12 , 5/12。求此二维随机变 量(X, Y)的分布列。解：此二维随机变量(X, Y)的分布列是：、丫X01/31-101/121/301/60025/12002袋中有四个球，它们依次标有数字1, 2, 2, 3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X, 丫分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求(X, Y)的概率分布。解：由题意得

2、：(X, 丫)的可能取值为：(1, 2), (1, 3), (2, 1) (2, 2), (2,3), (3, 1), (3, 2)。则由概率的乘法公式得：PX=1,Y=2=(1/4) X (2/3)=1/6PX=1,Y=3=(1/4) X (1/3)=1/12PX=2,Y=1=(2/4) X (1/ 3)=1/6PX=2,Y=2=(2/4) X (1/3)=1/6PX=2,Y=3=(2/4) X (1/3)=1/6PX=3,Y=1=(1/4 X (1/3)=1/12PX=3,Y=2=(1/4) X (2/3)=1/6而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以 PX=1,Y=1=0, PX

3、=3,Y=3=0。则（X, Y）的联合分布列为:YX123101/61/1221/61/61/631/121/603在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次 取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，丫如下X0表示第一次取出的是正品1表示第一次取出的是次品丫0表示第二次取出的是正品1表示第二次取出的是次品解：（1）所求联合概率分布为:01025/365/3615/361/36（2）所求联合概率分布为:X01045/6610/66110/661/663v1.0可编辑可修改4.设二维随机变量（X，Y的概率密度为f (x, y)=ke(

4、3x 4y),x 0,y00,其他（1）确定常数k; (2)求(X, Y 的分布函数；(3)求 P0 v X< 1, 0v Y<2。解：（1）由概率密度函数的性质知f (x, y)dxdyke (3x 4y)0 0dxdy3x |e dx4ydy1(1005k*-3=1即 k=12.（2）由定义，有F(x, y)f (u,v)dudvF(x,y)f (u,v)dudvx0dudv 0当x 0,y0时xF (x, y) 12 du(3u121 e33x0 0x3u |04v)dvy4ve4y于是F (x, y)3Xe )(1e4y)y 0,x其它v1.0可编辑可修改21(3) P 0

5、 X 1,0 Y 2 dy 12e (3x 4y)dx00=(1 e3)(1 e 8)5.随机变量（X,Y）的分布密度为f (x, y)C(R . x2 y2),0,x2y2R2（1）求系数C;（2）求随机变量解：（1）由f(x,y)dxdyR2(X,Y）落在x2 y2 r2（r R）内的概率。（利用极坐标运算）得,r2 rdrCRfcfd18C R313 于是 c鲁（2）利用极坐标运算得:3r2R3(1-3R)6.求出在D上服从均匀分布的随机变量（X,Y）的分布密度及分布函数,其中D为x 轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域.解：由于面积S =1/4，所以（X,Y）的联合密度函数为f(

6、x, y)4 (x,y) D0 其它分布函数分区域讨论（1）当x从而F(x,y)=（2）当-1y1或 y0,f(x,y)=02xf(x,y)dxdy=y x0dxdy=0(3)(4)(5)F(x,y)=F(x,y)=当 0x,0yF(x,y)=当 0x,1F(x,y)=综上可得:F (x, y)0,或 0<y 2xxf(x,y)dxdy=0,2x 1 yxf(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy=xf(x,y)dxdy=4xy y22y2x1,y x20 dy y-14dx=4xy+2y-yx1 dx2y0dy2x+14dy=0y-1 4dx=1 -20dx22x+14dy=1x1 8

7、x+4 dx222x 11-y1212x 0,0 yx 0,2xx,0 y0x,1 y2x 17.设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x, y)x2 眷0 x 1,0 y 20,其他解：P X+Y 1=1P X+Y<1(x2xy)dy=7537211 x=1 - dx0 0&设二维随机变量(X,Y)要区域D上服从均匀分布，其中D是曲线y=x2和y=x所围成，试求(X, Y)的分布密度及边缘分布密度。解：面积Sd1 x1dxdy dx dyD0 x2x2 dx -6f (x, y)6 (x, y) D0 其他(a)关于x的边缘概率密度fx(X)f (X, y)dyx6dyx2fx(

8、x)所以fx(x)0 x 1其他(b)关于丫的边缘概率密度fY(y)f(x, y)dxfY(y)0所以fY(y)6 y y 0 y 10其他9. (1)第1题中的随机变量X和丫是否相互独立(提示：考虑事件X=-1 , y=1)(2)第6题中的随机变量X与丫是否相互独立(提示：考虑事件4-C115r、，丄c1C50 ，P Y 100123123121,Y 113解：(1)P X 1而 P XP X 1,丫 1 P X 1 P 丫 1根据定义得：X与丫不相互独立。由第6题得，4,( x, y)0,其他12f(x, y)PX1 -,Y4(2)PXPY12PX121丫412142PX1PY4X与丫不相

9、互独立10已知二维随机变量(X，丫)的概率密度为:f(x, y)6xy(2 x y),0 x 1,0 y 10,其它求边缘概率密度fX x与fY y ；(1)fX y (xy)， fY|X(y |x)(2)问X和丫是否相互独立解：(1) fx(X)f(x, y)dy当Owx< 1时,1fx x06xy(2 x y)dy4x3 x2其它，f(x,y) 0,所以fx X所以关于X的概率密度为fx(X)24x 3x ,0 x 10,其它类似地,fY yf (x, y)dx当 Ow yw 1,fY y1o 6xy (2 x y)dx 4y3y2其它， f(x, y) 0所以fY y24y 3y

10、,0 y 10,其它(3)故由条件概率密度的定义可知,fxiY(x| y)f(x, y)fY(y)6x(2 x y) 04 3y ,0,其它1,0 y 1fYix (y I x)f(x, yfx (x)6x(2 x y) 04 3x ,0,其它1,0 y 1(3) x=1,y=1 时,fx(x) X fy(y) =( 4y-3 y2) (4x-3 x2)=1f (x, y) 0此时 fx（x） fY（y） f（x,y）所以X和Y不相互独立。11. （1）如果（X, Y）在以原点为中心，边长为2的正方形内服从均匀分布，问 X和丫是否相互独立（2）如果（X，Y）在以原点为中心，R为半径的圆内服从均

11、 匀分布，问X和丫是否相互独立解：（1）因为（X, 丫）服从均匀分布，故1 x 1, 1 y 1其它1f (x,y)40当 x<-1 或 x>1 时，f(x,y)=0所以fX (x)0dy 0当1 x 1时，1 11fx(x) f(x, y)dy 1dy -142于是得关于X的概率密度为fx(x)21 x 1其它同理可得关于丫得概率密度为fY(y)1 y 1其它fx（x） fy（y）f （x, y），故X和丫是相互独立（2）因为（X, 丫）服从均匀分布，故2 2 2f(x,y)R2 x y Ro其它当x< R或x>R时,f (x, y)0，所以 fx (x)0dy 0当

12、Rx R时，心2R x12 R22 xfx (x)J 、22dy2_ -R xRR2 . R22 x即 fx(X)R2R x R0其它同理得：R2 y21R22y«(y) R2 y2R2dxR2R y R0其它fx(x) fY(y) f (x, y),故X和丫不相互独立。12. 设X和丫相互独立，它们的概率密度分别为fx(x)1, 0 x 1，o,其他，fY(y)e y, y 0,o, y o,求z=x+ 丫的概率密度.解：因为X和丫相互独立，所以有fz(z)fx(x)fY(z x)dx当0z 1时fz(z)舄 X Zz1 e dx 1 e0当z1时fz(z)101exzdx (e

13、1)e z1 e z 0 z 1, fz(z) (e 1)e z z 1,当z>0时，Fz(z)f (x, y)dydx再用极坐标来求积分_r* 1 2_r22z12泛 12d r 2e2 dr r 2 e2 dr 0 0 2 2 0 2求导得 fZ z所以0,0其他，14设(X，Y)的分布密度为v1.0可编辑可修改f(x, y)(X y)e，x 0,y00,其他求Z=l 的概率密度。2解：Z的分布函数为X YFz(z) P(z)f(x,y)dxdy2x y 2z当 z 0 时，FZ z 0;当z 0时，Fz(z)ye(xy)dxdy 1 2ze2z e2z所以fz(Z)Fz(z)4ze

14、2z220综上得fz4ze2z z 0kxy, f(x,y)©x 0,1, y 1,3其他求k值。解：由概率密度f(x,y)的性质f(x,y)dxdy F(由题意得，15设(X,Y)的联合分布密度为)1,31f (x, y)dxdy 1 dy 0 kxydx2k 1,所以k= 1v1.0可编辑可修改16求15题中X和Y的边缘分布。解 (1)因为当 x<0 或 x>1 时，f(x,y)=O,所以23fx(X)Ody 0x 1时,fx(X)f(x,y)dy：£xydy 1 xy2131242x(2)因为当 y<1 或 y>3 时，f(x,y)=O,所以fY(y)Odx 0y 3时,fY(