电动力学4教案

1、第四章 电磁波的传播本章重点：1、电磁场的波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系，偏振 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式本章难点：1、振幅的位相关系 2、导体内电磁波的运动 3、波导管中电磁波解的过程引 言随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况，在真空与介质，介质与介质，介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等，这些本质上是边值问题。电磁波传播问题在无线电通讯、

2、光信息处理、微波技术、雷达和激光等领域都起着重要的作用。§1 平面电磁波电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。一电磁场的波动方程1自由空间电磁场的基本方程自由空间指，的空间，麦氏方程为：2真空中的波动方程 真空中， 同理： （其中）3介质的色散，（对均匀各向同性介质）的现象称为介质的色散。电磁波动在介质中时一般频率成分不是单一的，可能含有各种成分。一般情况下，对于一种成分： ， 成立；但是若具有各种成分的波，则： ， 。实际上具有各种成分的电磁波可以写为： 其中、是电磁场量在频率域中的表示形式。由此可知，由于以及，而不能将真空中的波动方程简单地用代、代转

3、化为介质中的波动方程。4时谐波（又称定态波）及其波动方程 定态波是指以单一频率做正弦（或余弦）振荡的电磁波（又称为单色波或者时谐电磁波）。这种波的空间分布与时间无关，时间部分可以表示为，因此有以下关系成立： ， ； ， 。在这种情况下，由于是单一频率的波，则、成立，介质中波动方程为： 二、定态波的亥姆霍兹方程对定态波 ，所以， （或者）。又因为，由， 可得。由于， 令， 则 称为定态波的亥姆霍兹方程（其中称为波矢量）。 同理，可以导出另外一组方程 。三、平面电磁波亥姆霍兹方程有多种解：平面波解，球面波解，高斯波解等等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。研究平面波解有两个意义：简单、直观、物理

4、意义明显；一般形式的波都可以视为不同频率平面波的迭加。1平面波解的形式 解的形式：，2平面电磁波的传播特性（1）波的传播方向平面波：波前或等相面为平面，且波沿等相面法线方向传播。（2）波长与周期波长： 。 （3）横波： 所以 ，同理可得 。（4）与的关系：证明：几点说明：a)与同位相；b)，构成右手螺旋关系；c)，振幅比为波速（因为相互垂直，）。（5）波形图 假定在某一时刻（），取的实部。4平面电磁波的能量和能流能量密度： 因为 ，所以 ，说明电场能等于磁场能，则。能流密度： （为方向上的单位矢量） ，其平均值为；，平均值为 （计算公式： ，）（例题或者作为补充习题）例一、有一平面电磁波，其电

5、场强度为 （1）判断电场强度的方向和波传播的方向；（2）确定频率、波长和波速；（3）若介质的磁导率，求磁场强度；（4）求在位时间内从一个与平面平行的单位面积通过的电磁场能量。解：（1）沿轴方向振荡，沿方向传播。 （2）， 。 （3），所以，从而 所以（与同位相同频率，与垂直且与垂直，故它在轴方向）。（4）考虑：单位时间垂直通过单位横向截面的能量， 。例二、两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿轴传播，一个波沿方向偏振，另一个沿方向偏振，但其相位比前者超前，求合成波的偏振。 解：设两个电磁波分别为， 合成波为 令复矢量的实部也用表示，即 其中为轴方向上的单位矢量。有一平面电磁波，其电场强度为讨论

6、平面上振动的合成： 可见，的平面波，沿轴比轴波超前位相，合成左旋圆偏振波；反之，一个左旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的线偏振波，且沿轴波比轴波相位超前。§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射l 电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象(如光入射到水面、玻璃面)。l 反射、折射定律有两个方面的问题：入射角、反射角和折射角之间的关系问题；入射波、反射波和折射波振幅和位相的变化关系。反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论导出反、折射定律，间接证明麦氏方程的正确性。一、反射和折射定律1 电磁场的边值关系2 反射、折射定律的导出过程（1）仅讨论单色平面电磁波入射问题反射、

7、折射电磁波也为平面电磁波，设为介质，为介质，平面电磁波由，介质分界面设为无限大平面，法线为。（2）设入射、反射和折射电磁波的电场强度分别为、和，波矢分别为、和，它们与轴夹角分别为、和，则有： 下面我们只讨论时刻的情况。（3）波矢量分量间的关系： ，并且、和在同一个平面内（、和一般不相同）证明：由，且 ， 所以， 即 。 在界面上，任意， 两边除以，得 两边对x求偏导得 则有因为 任意，要使上式成立，只有，。同理，可以证明。设入射波在平面，因为，必有，反射、折射波矢也在 平面。（4）波矢与轴夹角之间的关系对于 有 ； ，设、为平面电磁波在两种介质中的相速，且，。 因为 （反射定律） 所以（折射定

8、律）相对折射率为、的函数（取）。二、振幅和位相的关系1入射面（平面）假定：平面向外（沿的反向），并设，与同方向，则方向同时确定，由边界条件： 可得 且 又因为 即，而所以有代入式，并考虑，所以，介质1用，介质2用，则得到： 由 、联立解出 <> （利用）2入射面（）假设，与方向相同；与入射面平行。 由边值关系可得：同样方法可以解出<> 3在任意方向，则可以分解为。与、满足<>式，与、满足<>式，<>、<>式为入射、反射和折射波电矢量的振幅关系即菲涅尔公式。 4位相关系分析 （1），从光疏煤质到光密煤质 因为，所以 ，则，并

9、且。但是总是与总是同位相。（2），从光密煤质到光疏煤质，但是总是与总是同位相。从以上分析可知：入射波与折射波位相总相同，没有位相突变；但入射波与反射波之间在一定条件下有位相突变。对于垂直入射情况：由于按假定方向，与同方向，即同位相；若与假定反向，与反方向，即位相差，这种现象被称为半波损失（在一般斜入射时，有分量，、与方向不同，谈不上半波损失）。5偏振问题 （1）入射为自然光：（两种偏振光的等量混合，在各个方向上均相同） 即，由菲涅尔公式， 这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各个方向上大小不完全相同）。 （2）布儒斯特定律：若则反射波，即反射波只有分量； 若为自然光入射时，则反射波变为完全线

10、偏振波。6正入射（）的菲涅尔公式 ， §3 有导体存在时电磁波的传播引言：（1）真空或介质中电磁波传播可视为无能量损耗，电磁波无衰减（能量）；（2）电磁波遇到导体，导体内自由电子在电场作用下运动，形成电流，电流产生焦耳热，使电磁波的能量不断损耗，因此在导体内电磁波是一种衰减波，电磁能热能；（3）导体中电磁波传播过程：交变电磁场与自由电子运动相互作用，使它不同于真空或介质中的传播形式。一导体内的自由电荷分布1 静电场中导体上的电荷分布：静电平衡时，电荷仅分布在表面上，导体内部无电荷，且，导体表面的电场表面。2变化场情况下的电荷分布：在有变化电磁场情况下，导体不再处于静电平衡状态，必然有

11、体电荷分布，分布变化形成电流，产生附加变化电磁场，形成导体内总电磁场分布，又影响。仅讨论均匀导体：由电荷守恒定律和、及导出： （其中为导体的电导率，为导体的介电常数（静电场下）。 解为：为特征时间或驰豫时间，表示减小到所需时间。3良导体条件：（）或者特性：导体内，电荷仅分布在导体表面一薄层内。二导体内的电磁波1基本方程（导体内部） 对于良导体，但是可考虑，但一般良导体下也只分布在导体表面一薄层内；若考虑，则边值关系中面电流，若，则。对于一定频率的电磁波入射到导体上：、成立。对于定态波： 与介质中定态波方程相比，仅多了一项。2导体中的平面波解 （1）引入复介电场数 ，则。 （推导过程：）（：实部

12、为位移电流的贡献；虚部是传导电流的贡献，它引起能耗，耗散功率） 因此，定态波方程组与介质中定态波方程组形式上完全一样。 （2）直接写出亥姆霍兹方程 ， （3）平面波解仍可写作 ，与介质中不同， 为复矢量，可以定义为。3、的意义及表示式（1）平面电磁波解改写为：描述波振幅在导体内的衰减程度衰减常数；：描述波空间传播的位相关系传播常数（波实际沿方向传播，）。（2）、与间的关系式 由 由于一般与方向不同，仅由这两个式子还不能解出、。 （3）平面波从介质入射到导体表面设介质中波矢为，导体中为，则，并设在平面，即；上节（2.4）式仍然适用，即，由 （即分界面指向导体内部，波沿方向衰减）由 解出： 令与轴

13、夹角为，由得，从而定出。，相速为。对良导体情况： ，、几乎同方向。（推导过程：因为，则，又，所以。）对于正入射：， 与均沿轴方向；介质中，所以，。良导体情况下：（）。三穿透深度和趋肤效应1穿透深度：波幅降至原值的传播距离（用表示）。 在导体中的平面波为（情况下） 所以当时，波幅为，从而，且对于良导体。2趋肤效应：对于良导体，当电磁波频率为交变频率时，电磁场及交频电流集中在导体表面薄层。例如，当兆赫，铜 。3导体内磁场与电场的关系 由对于良导体 且，因此，电场与磁场有的位相差。 振幅比： 则有 ；在真空或介质中；两个振幅比相比较，可见导体中磁场比真空或介质中磁场重要的多，金属中电磁能主要是磁场能

14、量。四导体表面上的反射真空正入射时，反射系数为 §4 谐振腔一有界空间中的电磁波1无界空间中横电磁波（TEM波） TEM波：电场和磁场在垂直传播方向上振动的电磁波。 平面电磁波在无界空间中传播时就是典型的TEM波。2有界空间中的电磁波边值问题上节已讨论金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射，穿透深度，因此，如果空间中良导体（金属）存在时，它构成了电磁波存在的边界，特别是电磁波在中空的金属管中传播，金属边界制约管内电磁波的存在形式，在这种情况下，亥姆霍兹方程的解不再是平面波解。二理想导体边界条件 我们讨论的理想导体，一般金属接近于理想导体。假定它的穿透深度（）。1一般边值关系：（由于边

15、界为理想导体，故认为导体内），只有面电流分布） 设为导体的电磁场量，为真空或绝缘介质中的电磁场量， 。2理想导体内部： ，令代替，则在界面上：；在介质中，应用到界面上，而在界面上。 2 综合理想导体为边界的边值问题3 定态波：在求解中主要用到三谐振腔1谐振腔：用来产生交频振荡电磁波的一种装置。一般用几个金属板或反射镜（光学）构成。低频电磁波可采用回路振荡器产生，频率越高，辐射损耗越大，焦耳热损耗越大。（因为，越小，电容电感不能集中分布电场和磁场，只能向外辐射；又趋肤效应，产生焦耳热损耗。）2矩形谐振腔的驻波解的形式 （1）由6个金属壁构成的空腔称作矩形谐振腔 6个面在直角坐标中表示为 （2）设

16、为腔内或的任意一个直角分量 所以每个分量都满足，其中。 （3）分离变量法求解 令代入 ，得到 ， ， 解之得 ： 该解称为矩形腔中的驻波解。 3由边界条件确定常数 假定 （1）考虑 对，沿该壁法线， ； 同理，；，。 从而 （） （2）考虑， ， ，。 对于、，同样方法可得：， 再由，因此只有两个常数未定。4 谐振波型（本征振荡）（1）解： 两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定。 （2）谐振频率（本征频率）： （3）讨论l 给定一组，解代表一种谐振波型（本征振荡, 在腔内可能存在多种谐振波型的迭加）；只有当激励信号频率时，谐振腔才处于谐振态。l 不存在中两个为零的波型，若，则。l 对每一组值

17、，有两个独立偏振波型，这是因为对于确定的可以分解到任意两个方向。l 最低频率的谐振波型 假定，则最低谐振频率为 该波型为（1，1，0）型， 所以 ，为横电磁波。 但是在一般情况下，。§5 波导管一高频电磁波能量的传输线 1低频电路情况虽然能量都在场中传播，但在低频时，场在线路中的作用可由一些参数（电压、电流、电阻和电容等）表示出来，不必直接研究场的分布，用电路方程即可解决。对于低频电力系统一般用双线传输，有时也采用同轴线传输（为了避免电磁波向外辐射的损耗及周围环境的干扰，但是频率变高时，内线半径小，电阻大，焦耳热损耗严重，趋肤效应也严重）。2高频情况场的波动性明显，电容、电感等概念一般不再适用，线路中电流与位置有关，也具有波动性，电压概念一般也不再适用于交频情况，电路方程求解一般也不适用。在有线通讯中，交频电磁波若用双绞线或同轴线传输，能量因热损耗损失严重，因此，一般用一根空心金属管（波导管）传输电磁波，多用于微波范围。（）二矩形波导中的电磁波1矩形波导管四个壁构成的金属管，四个面为一般情况下让电磁波沿轴传播2解的形式满足方程， 其中满足亥姆霍兹方程 。令代表电磁场量的任意一个直角坐标分量，它也必然满足上述方程，分离变量 ，则有 特解为：。3边界条件定常数边