7年级春季班05-对顶角、邻补角和垂直-教师版

1、七年级春季班初一数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号05课型复习课课题邻补角、对顶角及垂线教学目标1 .理解和掌握邻补角和对顶角的概念；2 .理解和掌握邻补角和对顶角的性质，并灵活运用于几何运算；3 .理解和掌握垂线（段）及点到直线的距离概念，并灵活运用.教学重点1 .邻补角及对顶角的性质及运用；2 .垂线的性质及运用.教学安排版块时长1邻补角的意义和性质20min2对顶角的意义和性质15min3垂线（段）的意义和性质30min4随堂检测25min5课后作业30min10 / 22邻补角、对顶角及垂线对顶角的定义及性质邻补角、对顶角及垂线邻补角的定义及性质垂线段的意义及性质模块一：邻补角的

2、意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点.2、邻补角的意义两个角有一条公共边， 它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.例题解析【例1】 如图，直线 AB、CD相交于点 O, /AOD =35 / BOD=; / BOC=.【难度】【答案】145 , 145 , 35 .【解析】AOD和 AOC互为邻补角，BOD和 AOD , BOC和 BOD互为邻补角.【总结】考察邻补角的定义.【例2】经过两点可以画 条直线，两条直线相交，有且只有

3、个交与 八、【难度】【答案】1, 1.【解析】考察两点确定一条直线以及相交的意义【例3】 如图，/ BOF的邻补角是（）.A. / AOE B. /AOF 和/BOE【难度】【答案】B【解析】考察邻补角的意义.【例4】把下图中邻补角分别写出来.【难度】【答案】AFE和 BFE , BOD和 AOD , BOD和BOC , AOC 和 AOD , AOC 和 BOC .【解析】考察邻补角的意义【例5】已知/ 1=/2, /【难度】1与/3互余，/ 2与/4互补，则/ 3Z4.【解析】Q 1+ 3=90 （互余的意义），又Q 1= 2 （已知），9032+ 4=180 （互补的意义），1804 （

4、等式性质）.43 90 （等式性质），34 .【总结】考察互余，互补的概念以及利用简单的运算比较大小.【例6】 已知，AB与CD相交于。点，若/ AOD比/ AOC大40° ,则/ BOD=若/ AOD=2/AOC,则/ BOD=,若/ AOD = /AOC,则/ BOD=.【难度】【答案】70 , 60 , 90 .【解析】设 AOC x,则 AOD x 40 , x x 40 180 （邻补角的意义），解得：x 70 ,所以x 40 110 ,所以 BOD 70 （邻补角的意义）；设 AOC x,则 2x x 180 解得：x 60 ,所以2x 120 ,所以 BOD 60 （邻

5、补角的意义）；设 AOC x,则 2x 180 ,解得：x 90 ,所以 BOD 90 .【总结】考察平角的意义以及邻补角的定义.【例7】 如图所示，O是直线AB上任意一点，以 O为端点任意做一条射线 OC,且OD平分/BOC, OE平分/AOC,求/ DOE的度数.【难度】【答案】90 .【解析】因为OD平分 BOC , OE平分 AOC （已知）所以 BOD COD , COE AOE （角平分线的意义）因为 BOD COD EOC AOE 180 （平角的意义）所以2 EOC 2 COD 180 （等量代换）所以 EOC COD 90 （等式性质）即 DOE 90【总结】主要考察平角的意

6、义，角平分线的意义的综合运用.O,/ COD=90° ,【例8】 如图，射线 OA、OB、OC、OD有公共端点 O,且/ AOB=90 /AOD=2/BOC,求/ BOC 的度数.4【难度】【答案】80 .【解析】因为/ AOD = 9/BOC,所以设 BOC X,则 AOD 4因为 AOB AOD COD BOC 360o （周角的意义）又/AOB=90° , / COD =90° （已知）所以x 5x 180 （等式性质） 解得：x 80 , 即BOC 800 . 4【总结】考察周角的概念，以及利用设未知数的思路求解角的度数.例9（1）已知/ 1和/ 2互为邻

7、补角，且/ 1比/ 2的3倍大20° ,求/ 1和/ 2的度数；（2） 一个角的补角比这个角的余角的2倍大15° ,求这个角的度数.【难度】【答案】（1）1 140 ,2 40 ; （2） 15 .【解析】（1）因为/ 1和/ 2互为邻补角，所以12 180 （邻补角的意义）.因为1 3 2 20 （已知），所以4 2 20 180 （等量代换），所以 2 40 ,1 140 （等式性质）；（2）设这个角为X,则根据题意可得：180 x （90 x） 2 15 , 解得：x 15 , 即这个角的度数为15 .【总结】考察补角，余角以及邻补角的概念及其综合运用.【例10如图，

8、直线 AB、CD相交于点 O,且/ AOC=54° , / 1比/ 2小10求/ 1、/ 2的度数.【难度】【答案】22 , 32 .【解析】因为直线 AB、CD相交于点O （已知），所以 AOC BOD 54 （对顶角相等）.设 1 x,则 2 x 10, 故x x 10 54 , 解得：x 22 ,所以 x 10 32 , 即 1 22°,2 32°.【总结】考察对顶角的意义及角的和差的综合运用.【例11 如图，直线 AB、CD、EF相交于点 O,且/ AOF=3/BOF, / AOC=90（1）求/ COE的度数；（2）说明OE、OF分别是/ AOC、/ B

9、OD的平分线的理由.【难度】【答案】（1） 45 ； （2）略.【解析】（1）因为 AOF BOF 180 （邻补角的意义）又 AOF 3 BOF （已知）所以4 BOF 180 （等量代换）所以 BOF 45 （等式性质）因为直线AB、EF相交于点O （已知）所以 BOF AOE （对顶角相等）因为 AOC 90 （已知）所以 COE 90 BOF 45 （等式性质）（2）因为 AOC 90 , COE 45 （已知）所以 AOE 45 （等式性质）所以AOECOE（等量代换）因为BOFAOE（对顶角相等）所以AOEBOF45 （等量代换）同理 DOF 45所以OE、OF分别是/ AOC、/

10、 BOD的平分线（角平分线的意义）【总结】考察邻补角的意义，角平分线的意义以及相应的计算，综合性较强，注意认真分析 题目中的条件.模块二：对顶角的意义和性质知识精讲1、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角.2、对顶角的性质对顶角相等.【例12】 下列说法中，正确的是（）A.有公共顶点的两个角是对顶角B.对顶角一定相等C.有一条公共边的两个角是邻补角D.互补的两个角一定是邻补角【难度】【答案】B【解析】A错误，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角才叫做互为对顶角；B正确；C错

11、误，有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线； D错误，互补的两个角不一定是邻补角.【总结】考察邻补角和对顶角的概念.【例13】把下图中对顶角分别写出来.【难度】【答案】AOB和 COD , BOC和 AOD .【解析】考察对顶角的定义.【例14 （1）如果以点 。为端点画四条射线 OA、OB、OC、OD,且OA、OC, OB、 OD互为反向延长线，那么/ AOB和/ COD互为;（2）如果以点。为端点画三条射线 OA、OB、OC,且射线OA、OC互为反向延长线， 那么/ AOB和/ COB互为.【难度】【答案】对顶角，邻补角.【解析】考察对顶角和邻补角的定义.【例15如图，共有对顶角（）A

12、. 4对 B. 5对 C. 6对【难度】【答案】D【解析】CJA和 KJG , CJK和 AJG ,D. 8对BIJ 和 EIF ,CGF 和 BGD , CHF 和 EHD ,CHE 和 FHDCGB 和 FGD ,BIE 和 JIG ,均互为对顶角.【总结】本题主要考察对顶角的概念.【例16】 下列说法：对顶角相等；相等的角是对顶角；如果两个角不相等，那么这 两个角一定不是对顶角； 如果两个角不是对顶角， 那么这两个角不相等. 其中正确的 说法是（）A.B.C.D.【难度】【答案】B【解析】（1）正确；（2）错误，相等的角不一定是对顶角；（3）正确，对顶角一定是相等的，（4）错误，不是对顶

13、角也可以相等.【总结】主要考察学生对对顶角的理解，相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，不是对顶角的两个角也可以相等.【例17】a、b、c两两相交，/ 1=60° ,【解析】因为2 （对顶角相等）所以60（等量代换）因为2:3: 2 （已知），因为（对顶角相等）所以所以435 120 （等式性质）所以,1因为180 （邻补角的意义）【总结】考察邻补角和对顶角的意义及综合运用.【例18】如图，直线AB、CD交于点O,则(1)若/2=3/1,贝U/ 1 =(2)若/2: / 3=4: 1,则/ 2=(3)若/2 71=100° ,贝U/ 3=144【解析】（1）因为12 1

14、80 （邻补角的意义）又2 3 1 (已知)所以4 1 180（等量代换）, 所以1 45（等式性质）；(2)因为 23 180（邻补角的意义），/2: Z 3=4: 1 (已知)所以设 2 4x贝 U4x x 180（等量代换）解得：x 36 ,4x 144（等式性质），即 2 144°；（3）因为12 180（邻补角的意义）,/ 2 / 1=100° (已知)所以 2 1401 40（等式性质），所以3 40 （对顶角相等）【总结】考察学生对于邻补角知识点的掌握，同时还考察学生对于二元一次方程组的计算, 设未知数列式计算等.【例19】a、b、c交于点O,两条直线相交，/

15、 2=/1, / 3: / 1=8:1 ,求/ 4的度数x【难度】【答案】36 .【解析】设 12 x,则 3 8x,故x解得：x 18 （等式性质），所以1 所以4 36 （对顶角相等）【总结】考察学生对邻补角和对顶角的意义及综合运用.【例20】 已知直线 AB、CD相交于点 O, OE平分/ BOD , OF平分/ COE, Z2: Z 1=4: 1 ,求/ AOF的度数.【难度】【答案】135 .【解析】因为OE平分/ BOD （已知）所以1 DOE （角平分线的意义）设 1 x ,贝U DOE x ,2 4x,因为x x 4x 180 （平角的意义），所以x 30 （等式性质）即DOE

16、 30°,所以 COE 150 （邻补角的意义）因为OF平分/ COE （已知）， 所以 COF EOF （角平分线的意义）所以 COF EOF - COE 75 （等式性质） 2因为 EOF 1 BOF （角的和差）所以 BOF 45 （等式性质）因为 AOF BOF 180° （邻补角的意义）所以 AOF 135 （等式性质）【总结】考察学生对邻补角，角平分线的意义的概念的理解以及简单的运算，综合性较强, 注意认真分析条件.【例21】（1）两条直线相交，有几对对顶角 ？有几对邻补角？（2）三条直线相交，有几对对顶角 ？有几对邻补角？（3） n条直线两两相交，最多会形成多

17、少对对顶角？几对邻补角？（不含平角）【难度】【答案】（1） 2对，4对；（2）最多有6对对顶角，12对邻补角，最少有 4对对顶角，8 对邻补角；（3） n（n 1）对对顶角，2n（n 1）对邻补角.【解析】考察学生对对顶角和邻补角的内容的理解和掌握.七年级春季班模块三：垂线(段)的意义和性质知识精讲1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2、垂直的符号记作： U”，读作：“垂直于"，如：ABLCD,读作“ AB垂直于CD” .注：垂直是特殊的相交.3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线

18、的垂线可以作一条，并且只能作一条.简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线 l的距离为零.例题解析【例22】“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置( )A.在直线的上方B.在直线的下方C.在直线上D.可以任意位置【难度】【答案】D【解析】考察对垂直公理的理解及运用.【例23如图，OALOB于O,

19、直线CD经过点【难度】【答案】125 .【解析】QOA OB （已知）AOB 90 （垂线的意义）Q AOD 35 （已知）BOD 55 （互余）BOC 125 （邻补角的意义）【总结】考察垂线的意义以及互余的意义及综合运用.【例24】下列说法中正确的是（）A.有且只有一条直线垂直于已知直线B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离C.互相垂直的两条线段一定相交D.直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm,则点A到直线c的距离是3cm【难度】【答案】D【解析】A错误，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；B错误，垂线段的长度；C错误，互相垂直的两条直

20、线一定相交；D正确.【总结】考察垂直公理，点到直线的距离以及垂线段的性质等内容.【例25】列说法正确的个数是（） 直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；过直线l上一点A和直线l外一点B的直线，使它与直线l垂直；从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； 过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离.A. 1B. 2C. 3D. 4【难度】【答案】C【解析】（1）错误，在同一平面内；（2）错误；（3）错误，点到直线的距离是指垂线段的长 度，故选C.【总结】考察学生对基本概念的理解.【例26如图，点A到直线BC的距离是线段 的长;线段CH的长

21、表示点C到直线 的距离；点A到点C的距离是线段 长.【难度】【答案】AE, AD, AC.【解析】考察点到直线的距离的概念的理解及运用.【例 27如图，ACBC, C 为垂足，CDAB, D 为垂足，BC=8, CD=4. 8, BD=6. 4, AD=3. 6,AC= 6,那么点C到AB的距离是 ，点A至ij BC的距离是 点B到CD的距离是, A、B两点的距离是.【难度】【答案】4.8, 6, 6.4, 10.【解析】点C到AB的距离是线段 CD的长，即4.8;点A到BC的距离是线段 AC的长，即6;点B至ij CD的距离是线段 BD的长，即6.4; A、B两点的距离是线段 AB的长,即1

22、0.【总结】考察点到直线的距离的内容.【例28作图题:【难度】【解析】考察垂线的画法过点P分别画直线a、b的垂线，垂足分别为 M、N.【例29按下列要求画图并填空:(1)过点B画出直线AC的垂线，交直线 AC于点D,那么点B到直线AC的距离是线段 的长.(2)用直尺和圆规作出 ABC的边AB的垂直平分线 EF,交边AB、AC于点M、N,联结CM.那么线段CM是 ABC的.(保留作图痕迹)【难度】【答案】(1) BD； (2) AB边上的中线AC【解析】考察垂线的画法.B«【例30】一辆汽车在直线形的公路上由 A向B行驶，M、N分别是位于公路 AB两侧的两个 学校；(1)汽车行驶时，会

23、对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来.(2)当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对M学校影响逐渐减小而对 N学校影响逐渐增大？【答案】见解析.【解析】(1)如右图所示，至U C点时对M影响最大,(2)由A向C时，对两学校影响逐渐增大;N对N影响增大.到D点时对N影响最大;由D向B时，对两学校影响逐渐减小； 由C向D时，对M影响减小, 【总结】本题主要考察对点到直线的距离的概念的理解及在实际问题中的运用.27 / 22【习题1】到一条直线的距离等于 2的点有（）A. 1个B. 0个C.无数个D.无法确定【难度】【

24、答案】C【解析】到直线的距离等于 2的点有无数个，这些点组成两条直线.【总结】考察点到直线的距离.【习题2】下列说法错误的是（）A.两点之间，线段最短B.和已知直线垂直的直线有且只有一条C.过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线【解析】B错误，有无数条.【总结】考察学生对垂线的意义和性质的理解.【习题3】如图，过 ABC三个顶点A、B 符号表示出来.【难度】【答案】、p匕一岐、A / R/ D【解析】考察垂线段的作法.3、C,分另1作BC、AC、AB的垂线，并用 U”,。 BC【习题4】下列说法正确的个数有（）（1）直线外一点与直线上各点的所有连接

25、线中垂线段最短；（2）画一条直线的垂线可以画无数条；（3）在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【难度】【答案】C【解析】（4）错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选C.【总结】本题主要考查点到直线的距离及垂线的相关概念等.【习题5】若/ =54。，/的两边与/两边互相垂直，则/ 【难度】【答案】54或126 .【解析】/ 和/ 是相等或者互补的关系.【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论.【习题6】平面上三条直线两两相交，最多有 m个交点，最少

26、有n个交点,贝U m n =.【难度】【答案】4.【解析】最多有3个交点，最少有1个交点.m 3 , n 1 , m n 4 .【总结】考察学生的作图分析能力.COE,当/ COE=70° ,求/ BODCBE【习题7】如图，直线AB、CD、EF相交于点O, OA平分/ 的度数，当/ DOE=110°时，求/ BOD的度数.【难度】【答案】35 , 35 .【解析】因为OA平分 COE , Z COE=70° （已知）1所以 AOC AOE - COE 35 （角平分线的意义）2所以 BODAOC 35 （对顶角相等）同理， BOD 35【总结】考察学生对邻补角和

27、对顶角知识点的掌握和简单应用.OD 平分/ AOB, OE 在/ BOCx y 702y 3x 180解得:x 40y 30，【习题8】已知AB，l, BC±l, B为垂足，问：A、B、C三点共线吗？为什么？【难度】|A 【答案】共线.【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.C 【总结】考察垂线段意义和性质，注意对三点共线的理解.B【习题9】如图已知O是直线AC上一点，OB是一条射线, 内，/ BOE = 1 / EOC, / DOE=70° ,求/ EOC 的度数.2【难度】【答案】80 .【解析】因为OD平分/ AOB （已知）所以 AOD BOD （角平分

28、线的意义）设 BOE x , BOD y,【解析】如图.所以 / EOC = 2x 80【总结】这一题考察学生对角平分线的内容理解，对补角的知识点的掌握以及二元一次方程 组的列式和计算等.【习题10 如图，已知/ AOB,画射线OCLOA,射线ODLOB,你能画出几种符合要求的图形？并猜想/ COD与/ AOB的数量关系，并说明理由.【难度】【答案】相等或互补【总结】主要考察多解问题，是对学生发散思维的要求.【作业1】下列语句中正确的是（）A.有一条公共边且和为 180。的两个角是邻补角B.互为邻补角的两个角不等C.两边互为反向延长线的两个角是对顶角D.交于一点的三条直线形成 3对对顶角【难度

29、】【答案】C【解析】A错误，另一边互为反向延长线；B错误，不一定，有可能相等；D错误，6对.【总结】考察邻补角，对顶角的内容.【作业2】直线AB上有一点P和此直线外的一点 Q的距离为3cm,则Q到直线AB的距离()B.大于或等于3cmA.等于3cmC.小于或等于3cmD,都不对【难度】【答案】C【解析】考察点到直线的距离的知识点及其运用.【作业3】直线AB与直线CD相交于点O, EOLAB于O,则图中/ 1和/2的关系是【难度】【答案】互余.【解析】考察对顶角的性质以及互余的意义及运用.【作业4】 从钝角/ AOB的顶点。在/AOB内弓|射线OC使OCLOA,若/ AOC:/COB=3:1,

30、求/ AOB的度数.【难度】【答案】120 .【解析】因为OC OA （已知），所以 AOC 90 （垂线的意义）因为/ AOC: / COB=3: 1 （已知）所以 COB 30 （等式性质）所以 AOB 120 （等式性质） 【总结】考查学生画图能力，并且学会分析题目.【作业5】 如图：AOLBC于点O, OA平分/ DOE, / COE=64 ° ,求/ AOD的度数.【难度】 【答案】26 【解析】因为AO BC （已知）所以AOC90（垂直的意义）因为COE64（已知）所以AOE26（等式性质）因为OA平分/ DOE （已知）所以AODAOE 26 （角平分线的意义） 【总

31、结】考察学生对简单几何题的分析，注意互余，角平分线等概念的理解及运用.【作业6】作图：已知线段 AB上一点Q及线段外一点P.IP| ！ LI - cAM or N（1）过点Q作线段AB的垂线；（2）过点P作线段AB的垂线.【难度】【答案】如右图.【解析】注意标注垂直符号，以及字母的标注.【总结】画图一定要写结论.【作业7】（1）用三角尺画一个 30°的/ AOB,在边OA上任取一点P,过P作PQLOB, 垂足为Q,量一量OP的长，你发现点 P到OB的距离与OP长的关系吗？（2）若所画的/ AOB为60。，重复上面的测量，你会发现什么11-OP , OQ -OP .1【答案】(1) P

32、QOP;(2) PQ2【解析】画图，测量，猜想结论.【总结】考察学生的作图能力，并且量出相应的长度，从而得出结论.【作业8】 如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O,OG平分/ BOF ,且CD，EF , / AOE=70AF求/ DOG的度数.【难度】【答案】55 .【解析】因为 BOF AOE （对顶角相等）又 AOE 70 （已知）所以 BOF 70 （等量代换）因为OG平分/ BOF （已知）所以 FOGBOG 35 （角平分线的意义）因为CD EF （已知）所以 EODFOD 90 （垂线的意义）所以 DOG 903555 （互余的意义）【总结】考察角平分线，垂线的意义，对顶角的内容等等.【作业9】如图所示，O为直线AB上一点，/ AOC =1/BOC, OC是/ AOD的平分线3（1）求/ DOC的度数；（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由.【难度】【答案】（1） 45 ； （2）垂直.【解析】（1）因为 AOC BOC 180 （邻补角的意义）又/ AOC=1 / BOC (已知)， 31所以BOC BOC 180 （等量代换）， 3所以 BOC 135 （等式性质），所以 AOC 45 （等式性质）因为OC是/ AOD的平分线（已知），所以AOCDOC45（角平分线的意义）（2）垂直.因为AOCDOC45（已知），所以AOD 90 （等