2010大学生年数学建模大赛优秀论文解析

1、- 1 - 输油管的布置 摘要 本文主要研究了在不同的情况下如何铺设输油管线，使铺设费用最省的问 题。 问题1要求我们在考虑炼厂间距离及炼厂到铁路距离不同和共用管道与非 共用管道费用相同及不同的情况下，给出最优的管线设计方案。对此， 我们分 共用管道与非共用管道费用相同和不同两种情况， 建立了两个模型对这一问题进 行了研究。 1） 、当共用管道与非共用管道费用相同时， 我们利用几何方法给出最小铺设 费用求解模型一， 推导出了两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离在 3种不 同条件，管道铺设最省方案，结果参见论文 14页。 2） 、当共用管道与非共用管道费用不相同时， 我们将最小铺设费用求解问题

2、转化成势能最小原理进行求解，建立了模型二。推出了两炼油厂到铁路线距离和 两炼油厂间距离在4种不同情形下的最优管道铺设最省方案，（其中3种情形需 要共用管道，1种不需要共用管道）。结果参见论文 14页及图1.51.8 。 问题2要求我们在考虑管线费用相同和城区拆迁附加费用的情况下， 求解最 小铺设费用及相应的铺设方案。为此， 考虑车站位于城区和郊区两种情况下， 以铺设费用为目标函数，建立了优化模型三。当车站设在郊区时，目标函数 z城二AF FP BP PM 7.2 FP BP PM e ;当车站设在城区时，目标 函数 z郊-（BF FP AP PM） 7.2 BF e。根据 e 的取值范围 e2

3、0,24，借 助lingo编程求得城郊最小铺设费用波动区间分别为 370.4463,408.1822】和 275.1343,295.28881，由此知，车站的合理位置在郊区。考虑到三家公司估算的 拆迁附加费用可信度不同，我们又建立一个层次分析模型给出该费用合理估算值 e=21.4，相应的最省费用为 z = 282.1934 万元，管线铺设布置图为图2.4。 针对问题3,我们采用与问题2类似方法，建立了模型四，求得车站在城区 和郊区时最小费用波动区间分别为 333.8273,371.5632和244.3865,264.5867】， 当 e=21.4时，车站位于郊区，最省费用为 z=251.463

4、3 万元，管线铺设图为图 - 2 - 3.3。 关键词：最省方案函数方程势能最小原理优化模型 一、问题重述 计划在铁路线一侧建造两家炼油厂， 同时在铁路线上增建一个车站， 用来运 送成品油。建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，以及是 否需设共用管道，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或 不同的情形，根据这些不同的情形，设计出方案。 2.若两炼油厂的具体位置由下图所示， 其中A厂位于郊区（图中的I区域）， B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各 字母表示的距离（单位：千米）分别为

5、 a = 5，b = 8, c = 15，l = 20。 0 A I 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 i a 1 I 1 1 il J 0 b 1 .-J 若所有管线的铺设费用均为7.2万元/每千米。但铺设在城区的管线还需增 加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询 公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。 估算结果如下表所示： 工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20 请给出管线布置方案及相应的费用，使得所用费用最少。 3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力

6、，选用相 适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A厂成品油的每千米5.6万元, 输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米 7.2万元，拆迁等附 加费用同上。请给出管线最佳- 3 - 布置方案及相应的费用。 二、问题分析 问题一： 通过分析题目条件可知，问题一主要让我们在当非共用管道与共用管道费用 相同和不同两种情况下，讨论两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离不同情 形，找车站的位置使车站到两炼油厂的输油管的铺设费用最省。 ：当非共用管 道与共用管道费用相同时，那么找车站到两炼油厂最短路径，即是输油管的铺设 费用最省，再讨论是否需要共用管道，若要，从那点开始使用共用管道；：

7、当 非共用管道与共用管道费用不相同时，通过势能最小原理，找到平衡点，确定 A、 B 厂和铁路线关系，是否需要共用管道使输油管的铺设费用最省。 问题二： 两炼油厂有了具体的位置，但涉及到城市与郊区之分，考虑到在城市设立在 郊区增加了附加费用，所以要把城市与郊区分开讨论。具体过程如下图： 图：问题二流程图 但附加费用不确定，所以设计院在确定附加费用时，聘请了三家工程咨询公 司，其估- 4 - 算具有随意性，其费用在一定范围内波动，为更加精确其估算值，用层 次分析确定其值。结合附加费和铺设费得出其总费用，最后求极值。 冋题三： 问题三只在第二问的基础上将各个运输管道的费用区分开来， 具体求解类似 于

8、问题二。 三、 问题假设 1、 两家炼油厂生产的是同一种成品油。 2、 输油管在两地间是沿直线铺设的。 3、 管线铺设没有浪费。 四、 符号说明 z :铺设管道的总费用 P x,k :输油管汇集点 P 的坐标 A 0,% :炼油厂 A 的坐标 B x2, y2 :炼油厂 B 的坐标 yo :问题二和三中输油管分界点 F 的纵坐标 e :拆迁和工程补偿等附加费用 n:共用管道的费用 m :非共用管道的费用（注：n! n ） s :总铺设管线的长度 五、模型的建立与求解 问题一的模型及求解： 问题一要求我们针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同 情形，提出最优设计方案。 由于共用管道和

9、非共用管道的费用有相同和不同两种情况， 因此分共用管道 和非共用管道的费用相同和共用管道和非共用管道的费用不相同两种情况来讨 论。 模型一：共用管道和非共用管道的费用相同 假设 A 厂在 B 厂的左边，以铁路线为x轴，以过 A 点并且垂直于x轴的直 线为 y 轴，建立如图1.1所示的坐标系，设 A、B 两厂的位置即坐标为：A（0,yJ， - 5 - B（X2, y2），不妨设： ： y2，设P点为共用管和非共用管道交汇点 坐标为：（x, k）, P 到x轴的距离为 k。PA、PB 为非共用管道距离， PC 为共用管道距离, PA PB PC 为共用和非共用管道总距离。 图1.1： A、B 点在

10、坐标轴中位置图 过P点作y轴的垂线记为直线h ： y = k，P点在直线h : y = k上移动。直线h 位置有如下三种情况： （1） k y时，即直线 h 在 A 厂上方。此时管道总长度 PA PB PC 取得 的不是最小值。所以 此种情况舍去。 （2） 0 k O C B1 (y2 ,0) x 图1.2:最短路径示意图 为了便于计算，我们先把 k 值看成是定值。A的坐标为(0,2% -k) 记 PA PB PC，根据三角形两边之和大于第三边易证： s = PA PB PC = PA PB PC _ AB PC =：x； (2kyiy2)2 k -Y2)2 k (0 乞 k EyJ。对 f

11、(k)求导得: f(k)：呻沖一妙 1 Jx2 +(2k - yi - y2 )2 令f(k) =0，解得: ，“宁于(由 *yi，此值舍去)。 由 0 辽-yi 得: 0y2 一 3X2 “ 2 6 化简得： 3(y2 - yj 虫x2 虫；3(% y2) (1) 当0 ： x2 ：、3(y2-yj时，经计算得出f (k) ： 0，那么 f (k)在区间 0,yi上单调减。当 k = yi时，f (k)min 二 f(yi) = yix22 (力 - y?)2。此种情 况下得到 P 点的坐标为(0,yj。即 P 点与 A 点重合时，s值最小，此种情况有共 用管道，最省费用为：Zmin = n

12、Smin = n( X；，( % - 丫2 )。令 f (k)二；x； (2k - y! - 7 - (2) 当.3(y? - yj _ X2 _ .3(% 曲时，经计算得出函数f (k)在区间 0, yi . y2 _ ,3X2上单调减函数。在区间 2 6 yi 3xo 力+丫 2+丘2 =f ( )= 2 6 当 k 二生2 一仝时，A的坐标为(0,y2 一旦)。 2 6 3 那么直线A(B的方程为：讨二3 x y2 3 x2， 3 3 直线h：y=k的方程为：八企竺一旨， 2 6 联立上述两个方程解得：x 二-3(yy2)X2，yi y 3X2 。 2 2 6 所以当点 P 的坐标为(3

13、(yi -比)x2,_ 一仝)时，s值最小。计算 2 2 6 APB - APC - BPC =120，那么 P 点是费马点即此种情况有共用管道使用 (3) 当x2 、3(yj y2)时，经计算得出f (k) 0，即 f (k)在区间0, y1 上 单调增。所以当 k=0 时，f (k)最小，f (k)mi f (0 x22 (y1 y2)2。此时, P 点在铁路线上，即在x轴上，为直线AiB与x轴交点 P ,0)，s值最小。 yi + y2 此种情况没有共用管道，最省费用为： Zmin二 nsmin二 n.x； (y1 y2)2。 穿-冷上单调增。所以 f ( k ) min 得出 PA 的

14、斜率为 3 PB 的斜率为 所以有 此时最省费用为: min nsmin y2 - 3x2 =n - 8 - 模型二：共用管道和非共用管道的费用不相同 由假设2：输送 A、B 两厂成品油的非共用管道的铺设费用相同，设非共用管 道的费用每千米为n万元,，设共用管道的费用每千米为ni万元。那么n和ni有如 下关系: n ni （1） 引汕（2 ）， 证明（2）:假如2n : ni，说明单个共用管道比两个非共用管道费用还多， 这种情况下，使用共用管道比使用非共用管道的费用还高， 不符合题目的最省的 要求。所以2n ： ni不成立。因此2n ： 口成立。根据三角形三边性质，以n， n， ni为三边定能

15、构成三角形。 那么铺设输油管道的总费用为：Z二n PA nPB n fC。为求 P 点位置，使总费 用最小。如下图1.3过 P 点做 y 轴垂线为直线11，过 P 点做x轴垂线为直线 PC 且 PC 与 PA，PB 的夹角分别为：3，二2 图1.3： P 点受力分析图 参考文献【2】和【3】，我们可以把求该铺设输油管道的总费用 Z =nPA nPB n-jPC的最小问题看作求独立系统势能最小问题。 - 9 - 定理：（独立体系势能最小原理）当独立系统势能最小时，系统达到平衡状 态，系统所受合力为零。该定理结论如图 1.4所示： 图1.4:势能最小原理图 由图1.4所示，三个物体 q、q2、q3

16、和线段 PA、PB、PC 构成势能系统； 只有当系统稳定时，势能最小，此时系统所受合力为 0o 针对本问题，把图1.3中n、n、口看成图1.4三个物体q、q?、q3 ；图1.3 中线段 PA、PB、PC 对应图1.4中线段 PA、PB、PC o 用力学平衡原理对点 P 进行受力分析， 沿x轴方向受力分析为： nsin 片二 nsinv2 （1） ;沿 y 轴方向受力分析为： ncost ncosv2 二厲（2）。 联立（1），（ 2）式可以得到： 3 72 （3）， cos 齐二 cos，2 巴（4） 2n 因为.OAP -片， 由余弦定理得： cosd = k （ 5） （如 _k）2 +x

17、2 由正切定理得：tan 齐二一x （6）， tan 2 = 2X （ 7） y1 -k y2 -k 联立（3）、（ 4）、（ 5）、（ 6）、（ 7）式可以得到方程组：- 10 - yi ， yi y2 4n2 -n； 此时点 P 在X轴上坐标为： (yi ,0)，此种情况没有共用管道，最少费用管道 yi y2 % -k ni 解得x , k 分别为：x = ! J (yi - k) yi - y2 2x2 2 x2 2n x X2 x y, _k y2 -k ni yi y2 nix2 ni 4n2 - n： = O 、 对x , k 值分如下进行情况讨论: (i)当 k =0 时，推算出

18、丄上 ni X2 2 2 n - ni 进而计算出 x的值为: yi - y2 . ni 2x2 ni 最省费用为: yi 、 2+yfJ f yi 、2 lyi + y2 / ， 4n2 2 一罷汀宁弋2竽，此种情况下，P点在 A 与 B 之间，并且有共 用管道，最省管道示意图如下： 2 2*4n2 -n,2 总结以上两大情况： 一：当共用管道和非共用管道的费用相同时 (1) 若 A， B 厂坐标之间满足0 ： x2 ： 3(y2 - yj时，在 P 点(0, yi)处用共 用管道，共用管道长度为yi，最省费用为：Zmin =n Smin FX；山- 丫2)2)。 - 15 - 图1.8:最

19、少费用管道铺设示意图 最省费用为: Zmin y, 2 + y2 y, + n ,X2 |屏+y2丿 、2 2$4n2 _n,2 =n yi -yi 2 - 16 - (2) 若 A , B 厂坐标之间满足. 3(y2 - yj _ x2 _ 3(y1 y2)时，在 P 点 (3(yY2)X2,yi 3X2)处共用管道，并且 P 点为费马点，共用管道长 6 度为_仝，最省费用为：Zmin Smin - - 2 费用为：Zmin =nSmin 二 n , x| (yi y2 )2。 :当共用管道和非共用管道的费用不相同时 (3)若 A , B 厂坐标之间满足 X2 3(yi y2)时，不需要共用

20、管道，最省 (1)若 A，B 厂坐标之间满足yi y2 ni X2 n；时，不需要共用管道，P 点在(yi y2 f 2 / 、2 yi 2 + yi +吋 yi + 屏+ y2丿 X2 - yi + y2 (2)若 A，B 厂坐标之间满足 上y 0时，需要 X2 2x2 共用管道，P 点与 A 点重合为：(0, yj，共用管道长度为 yi，最省费用为: Zmin =n .X； 仏-力)2 niYi min (3)若 A，B 厂坐标之间满足 ni yi - y2 (2X2-1)n 时 X2 需要共用管道，P 点与 B 点重合为：(X2,y2)，共用管道长度为 y2，最省费用为: Zmin =n

21、. X； - (yi - Y2)2 niY2 min ni Z min 二 n 2 y 。 - 17 - (4)若 A，B 厂坐标之间满足. ni x2 ni % -丫2 . (2x2 -1)ni _ 4n2 -n； x2 4n2 -n： 时，需- 18 - 用管道长度是屮+厂， 最省费用为: 2、4n2n 模型三：问题二的模型建立及求解 本问题在问题一的基础上添加了城区与郊区的区别，各管线的费用仍然相 同，但在城区铺设管线需要增加附加费用，所以只需要对车站建在城区和郊区 分开来考虑。 情况一：将车站设在郊区内。 建立如图2.1所示的管线铺设模拟图：以铁路为x轴，AC 为 y 轴，线段 BF

22、是在城区铺设的管线，P 点为两种管线的交接点，M 点为需要建立的车站，虚 线是城区与郊区的分界线。 根据上图可以得出总费用z的目标函数为： z =(BF FP AP PM ) 7.2 BF e 2 yi X2 + ji+y? 丿 / yi 2 -小* niX2 屏+y2 1 2 2J4n2 一 n + n1 x2 Zmin = n yi - y2 2 2$4n2 ni2 n 2 ni X2 图2.1 :问题二中情况一的管线铺设模拟路线 - 19 - 根据勾股定律可以求得每一条管线的长度，分别为: BF - 25 （8_y。）2 , FP j(15x)2 (y k)2 , AP .x2 5 -

23、k $ , PM =k , 总费用为： z = x2 亠 i5 -k $ . y - k j 亠门5 - x 亠门8-y 亠25 k 7.2 亠；8 _y 丨亠 25 e 约束条件： 0 _x _15 I 0 zk 空 8 0 yo 8 虽然三家工程咨询公司对附加费用 e的估算都不一样，且三家公司的资质也 不一样，但是可以得出附加费用的范围是 e 120,241，然后得到铺设管线的费用 的范围。 将 e=20,e=24 对入目标函数，结合约束条件，用lingo解得铺设管线的费 用的范围是：275.1343,295.2888 万元。 为了得到一个较为准确的费用值，我们根据所咨询的三个公司画出图

24、2.2的 层次图，用层次分析法对三家公司求取权重值，然后得到较为合理的附加费用。 图2.2：层次图 我们对这三个公司重要性进行比较，得出判断矩阵为:- 20 - T W2 二(0.6,020.2) 致性指标: 根据表2.1可知随机一致性指标 RI =0.58 表2.1： 19矩阵的平均随机一致性指标 阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 致性比率: 小 CI 0 CR 0 RI 0.58 通过一致性检验，我们可以知道该判断矩阵为完全一致性矩阵, w1 = 0.6， w2 = 0.2， w3 =

25、0.2 o 然后得到铺设在城区管线的附加费用： e=21 0.6 24 0.2 20 0.2 =21.4 （万元 / 千米）。 再将 e=2.14 代入目标函数，结合约束条件，用lingo解得: lx =5.4513 I k =1.8527 ， y0 =7.3656 铺设的总费用 z = 282.1934 万元。 情况二：若将车站设在城区内，管线模拟布置路线如图 2.3所示: 在此情况下的管线铺设费用的目标函数为： 用matlab求得最大特征值为 屁=3，对应的正规化向量: CI 0 3-1 从而得出这三个公司的权重值分别为: - 21 - z = .、225 (y。-5)2 7.2 ( .

26、(x-15)2 (k - y。)2 . (20 -x)2 (8-k)2 k) (e 7.2) 约束条件为： 15 _x _20 I 0 乞 k 乞 8 ， 0 乞 y。乞 8 将 e=20,e=24 对入目标函数，用lingo解得铺设管线的费用的范围是： 370.4463,408.18221万元。 然后在将 e =2.14 代入目标函数，结合约束条件，用lingo解得： x =15 k =0 ， y =3 10 最省的费用 z =383.6539 万元。 通过比较情况一与情况二可知， 情况一的费用较省， 所以按照情况一的方案 进行铺设管线，铺设管线的费用为 282.1934万元。 管线的布置方

27、案为：B 炼油厂首先在城区铺设 BF 管线，然后与A炼油厂铺 设的管线在P(5.4513,1.8527)处连接，然后共用管线 PM 到达车站 M。 具体铺设路线如图2.4所示：- 22 - 图2.4:问题二的管线铺设路线 模型四：问题三的模型建立及求解 因为本问题相比问题二只是对铺设的管线的价格进行了改动， 所以类比问题 二的两种情况进行考虑。 情况一：当车站 M 在郊区的时候，其模拟图如图3.1所示 根据模拟路线得出铺设管线费用的目标函数为： zf；x2 (5-k)2 5.6 .(y -k)2 (15-x2) . (8 -y0) 25 6.0 k 7.2 . (8-y0)2 25 e 约束条件： 0 Ex 乞 15 *0 Wk 兰 8 ， 0 y0 8 将 e=20,e=24 对入目标函数，用lingo解得铺设管线的费用的范围是： - 23 - 1244.3865,264.5867万元。 然后在将 e =2.14 代入目标函数，结合约束条件，用lingo解