2022年华科版《相似三角形的性质定理、及应用3》公开课教案

1、22.3 相似三角形的性质第1课时相似三角形性质定理1、2及其应用教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,提高分析和推理能力.【过程与方法】在对性质定理的探究中,学生经历“观察猜测论证归纳的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.2.通过学生之间的合作交流使

2、学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.重点难点【重点】相似三角形性质定理的探究及应用.【难点】综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比.教学过程一、复习回忆师:相似三角形的判定方法有哪些?学生答复:师:相似三角形有哪些性质?生:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.师:三角形有哪些相关的线段?生:中线、高和角平分线.二、共同探究,获取新知教师多媒体课件出示:如图,ABCA'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应高.求证:=k.师:这个题目中了哪些条件?生:ABC和A

3、9;B'C'相似,这两个三角形的相似比是k,AD、A'D'分别是它们的高.师:我们要证明的是什么?生:它们的高的比等于它们对应边的比,等于这两个三角形的相似比.师:你是怎样证明的呢?学生思考,交流.生:证明ABD和A'B'D'相似,然后由相似三角形的对应边成比例得到=.师:你怎样证明ABD和A'B'D'相似呢?学生思考后答复:因为ABC和A'B'C'相似,由相似三角形的对应角相等,所以B=B',ADB=A'D'B'=90°.根据两角对应相等的两个三角

4、形相似得到ABD和A'B'D'相似.师:很好!现在请大家写出证明过程,然后与课本上的对照,加以修正.学生写出证明过程.证明:ABCA'B'C',B=B'.BDA=B'D'A'=90°,RtABDRtA'B'D',=k.师:现在我请两位同学分别板演下面的两道练习题,其余同学在下面做.1.:如图,ABCA'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应的中线.求证:=k.证明:ABCA'B'C',B=B',=k.

5、又AD和A'D'分别是ABC和A'B'C'的中线,BD=BC,B'D'=B'C',=k,ABD和A'B'D'相似(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),=k.2.:如图,ABCA'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'分别是BAC和B'A'C'的平分线.求证:=k.证明:ABCA'B'C',B=B',A=A'.又AD和A'D'分别是BAC和B'A'C

6、9;的平分线,BAD=BAC,B'A'D'=B'A'C',BAD=B'A'D',BADB'A'D'(两角对应相等的两个三角形相似),=k.师:于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理.教师板书:定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.探究:如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系?如果是两个相似多边形呢?学生小组自由讨论、交流,达成共识.让学生答复结果,给出评价.设ABCA1B1C1,相似比为k,那么=kAB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1=k.由此

7、我们可以得到:相似三角形的性质2:相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法,还可以得出:相似多边形的性质:相似多边形周长的比等于相似比.三、例题讲解,应用新知【例1】如图,AD是ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SRAD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?解:SRAD,BCAD,SRBC,ASR=B,ARS=C,ASRABC(两角分别相等的两个三角形相似),=(相似三角形对应高的比等于相似比),即=.当SR=BC时,得=,解得DE=h.当SR=BC时,得=,解得DE=h.【例2】如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80cm,高AD=60cm.要把

8、它加工成矩形零件使矩形的长、宽之比为21,并且矩形长的一边位于边BC上,另外两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.师:请同学们思考一下这个问题.学生思考,计算,交流.师:我们要怎样用辅助线呢?教师找一生答复.生:加工成的矩形边SR在BC上,顶点P、Q分别在AB、AC上,把ABC的高AD与PQ的交点记为E.教师作图.师:作出了辅助线后该怎么做呢?我们都了哪些条件?生:BC的长、AD的长和矩形零件的长、宽比.师:你打算怎样由这些条件求出这个零件的长和宽呢?生:因为PQBC,所以APQ和ABC相似,然后根据相似三角形的对应边成正比例得到一个等量关系,设矩形零件的宽为xcm,长就为2x

9、cm,代入那个等量关系式,就得到了关于x的一个方程,解方程即可求出x的值,即矩形的宽,然后根据长宽的比求出零件的长.师:很好!你的思路很清晰.现在请同学们写出求解过程.解:如图,矩形PQRS为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P、Q分别在边AB、AC上,ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm,那么PQ为2xcm.PQBC.APQ=ABC,AQP=ACB,APQABC.=,即=.解方程,得x=24,2x=48.答:这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.例3 如图,在ABC和DEF中,AB=2DE,AC=2DF,A=D,ABC的周长是24,求DEF的周长.解:ABC和DEF中,AB

10、=2DE,AC=2DF,=.又A=D,ABCDEF,相似比为.DEF的周长=×24=12,四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?学生答复.教学反思在本节课的教学过程中,我先让学生回忆了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,相似三角形周长的比等于相似比为后面的证明做了铺垫.在已有知识的根底上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活泼,尤其是我让学生板演使学生有时机展示他们的学习所得,做到了将课堂回归给学生,学生的主体地位得到了很好的表达.此外,教师的肯定、赞扬和鼓励会使学生保持高昂的学习热情,使学生

11、在探究性学习、创造性劳动中获得成功的体验.第2课时百分率和配套问题教学目标1学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题；2进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程。教学重难点【教学重点】根据题中的各个量的关系，准确列出方程组。【教学难点】 借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，那么今年的总产值是_万元；(2)假设该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，那么今年的总支出是_万元；(3)假设该厂今年的利润为780万元，那么由(1)，(2)可得方程_二、合

12、作探究探究点一：列方程组解决百分率问题【类型一】列方程组解决增长率问题例1 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习(1)如果按小学每年收“借读费500元、中学每年收“借读费1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费；(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工

13、子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人那么解得20%x680，30%y480，500×6801000×480820000(元)82(万元)答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费；(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(120%)4080(人)，在中学就读的民工子

14、女有1600×(130%)2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2(2080÷40)×3360(名)答：一共需配备360名中小学教师方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率(增长后的量原量)÷原量【类型二】列方程组解决利润问题例2 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购置甲、乙商品各1件，共付款538元，商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元解析：此题中所含

15、的等量关系有：甲商品的售价乙商品的售价538元；甲商品的利润乙商品的利润88元解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得化简，得解得答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润售价进价，售价标价×折扣，售价进价利润等探究点二：列方程组解决配套问题例3 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？解析：此题有两个未知量制盒身、盒底的铁皮张数问题中有两个等量关系：(1)制盒身铁皮张数制盒底铁皮张数190；(2)制成