初探圆锥曲线中的定点和定值问题

1、    初探圆锥曲线中的定点和定值问题    圆锥曲线中的定点与定值问题，这类问题是高考的热点问题，近年来高考较多以解答题形式出现，这部分知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高，也综合考查了各种解题技能和思想方法.关键词：圆锥曲线；定点；定值；参数處理定点定值问题，常用两种解答思路：一是先研究特例下的定点或定值，下一步论证一般情况也成立；二是由已知条件列出方程或方程组，通过消参，确定定点或定值。一、 定点的探究与证明例1（2017·全国卷） 已知椭圆c：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点p1（1，1），p2（

2、0，1），p3-1，32，p41，32中恰有三点在椭圆c上.（1） 求c的方程；（2）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点.若直线p2a与直线p2b的斜率的和为-1，证明：l过定点.解： （1） 略解c的方程为x24+y2=1。（2） 证明：设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2。如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t0，且|t|<2，可得a，b的坐标分别为t，4-t22，t，-4-t22，则k1+k2=4-t2-2t-4-t2+22=-1，得t=2，不符合题设.从而可设l：y=kx+m（m1）.将y=kx+m代入x24+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-

3、4=0。由题设可知=16（4k2-m2+1）>0。设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1。而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2。由题设k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，即（2k+1）·4m2-44k2+1+（m-1）·-8km4k2+1=0，解得k=-m+12。当且仅当m>-1时，>0，于是l：y=-m+12x+m，即y+1=-m+12（x-2），所以l过定点（2，

4、-1）。定点问题小结：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点，再进行一般性证明。二、 定值的探究与证明例2（2017·全国卷）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2+mx-2与x轴交于a，b两点，点c的坐标为（0，1）。当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现acbc的情况？说明理由。（2）证明过a，b，c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。解：（1）不能出现acbc的情况，理由如下：设a（x1，0），b（x2，0），则x1，x2满足x2+mx-2=0，所以x1x2=-2。又c的坐标为（0，1），故ac的斜率与bc的斜率之积为-1x1·-1x2=-12，所以不能出现acbc的情况。（2）证明：bc的中点坐标为x22，12，可得bc的中垂线方程为y-12=x2x-x22。由（1）可得x1+x2=-m，所以ab的中垂线方程为x=-m2。联立x=-m2，y-12=x2x-x22又x22+mx2-2=0，可得x=-m2，y=-12。所以过a，b，c三点的圆的圆心坐标为-m2，-12，半径r=m2+92。故圆在y轴上截得的弦长为2r2-m22=3，即过a，b，c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。定值问题小结：求证或判断某几何量是否