高级宏观经济学之索罗增长模型

1、12/8/2021整理ppt1 一国若想从最低级的野蛮状态一国若想从最低级的野蛮状态过渡到最高程度的丰饶，所需要的过渡到最高程度的丰饶，所需要的仅仅是和平、轻松的税收和可以容仅仅是和平、轻松的税收和可以容忍的公正原则的执行，其他一切都忍的公正原则的执行，其他一切都可以从事物的自然进程中产生。可以从事物的自然进程中产生。亚当亚当.斯密斯密12/8/2021整理ppt2问题提出问题提出o什么因素决定了经济增长？什么因素决定了经济增长？o经济增长的一般趋势是什么？经济增长的一般趋势是什么？o为什么国家或地区之间存在着收入差异？为什么国家或地区之间存在着收入差异？o穷国能否赶上富国？穷国能否赶上富国？

2、12/8/2021整理ppt3一、索罗模型简评一、索罗模型简评o几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。o索罗模型的主要结论：索罗模型的主要结论： 长期人均产出惟一来源于技术进步；长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。o主要缺陷：主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作

3、不存在无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在（如资本产生正的外部性）。（如资本产生正的外部性）。12/8/2021整理ppt4o以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡结构：结构：o家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自主决策。主决策。o企业雇佣投入品进行生产。企业雇佣投入品进行生产。o家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。12/8/2021整理ppt5二、索罗模型的假设二、索罗模型的假设1 1、投入与产出、投入与产出 索罗模型关注四个变量：产出索罗模型关注四个变量：产出Y

4、、资本、资本K、劳动、劳动L，以及知，以及知识或劳动的有效性识或劳动的有效性A。o生产函数：生产函数： Y(t)=F(K(t),A(t)L(t) 式中式中t表示时间。表示时间。oAL被称为被称为有效劳动有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步。以劳动力增加的形式引入的技术进步被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。12/8/2021整理ppt6二、索罗模型的假设二、索罗模型的假设1 1、投入与产出、投入与产出思考：思考：o如果知识进入的形式不是如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性哈罗德中性），），而是而是Y=F(AK,L

5、)（索洛中性索洛中性）或）或Y=AF(K,L)（希克斯中希克斯中性性），结果会有何不同？），结果会有何不同？ o可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致相一致12/8/2021整理ppt7o第一，每种投入的边际产品为正且递减。第一，每种投入的边际产品为正且递减。o第二，规模报酬不变。第二，规模报酬不变。F(K,AL)= F(K,AL)o第三，稻田条件：第三，稻田条件：o满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。因此，索罗增长模型又被称为新古典

6、增长模型。00limlimlimlim0KLKLKLKLFFFF 2、关于生产函数的假设、关于生产函数的假设12/8/2021整理ppt8o根据规模报酬不变假设可以得到根据规模报酬不变假设可以得到o于是生产函数可以写出以下集约形式（于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： 其中其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有单位有效劳动的资本效劳动的资本模型的集约形式模型的集约形式)/() 1 ,/(),(ALKfALALKFALALKF12/8/2021整理ppt9o稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际稻田条件意味着，在资本存量充

7、分小时资本的边际产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。其作用在于确保经济的路径不发散。即其作用在于确保经济的路径不发散。即o根据假设根据假设1得到：得到：0)(0)(0)0(kfkff 假设的含义假设的含义0lim()kfk lim()0kfk 12/8/2021整理ppt10边际产出边际产出)()/(),(kfKALKALfKALKFMPK)()(),(kf kkfALALKFMPAL)()(),(kf kkfALALKFMPL资本的边际产出资本的边际产出有效劳动的边际产出有效劳动的边际产出劳动的边际产出劳动的边际产出如果市场是完全竞争的，并

8、且不存在外部性，资本获得其边际产出如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出每单位有效劳动的资本获得的总产出是每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf(k)12/8/2021整理ppt11曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）表示消费）kf(k)0新古典生产函数新古典生产函数f(k)sf(k)f(k)sf(k)c图形表示图形表示12/8/2021整理ppt12o资本、劳动和知识的资本、劳动和知识的随时间的变化而变化。随时间的变化

9、而变化。o瞬时增长率的定义：瞬时增长率的定义：dtxdxxxdtdxgxln/ntLtL)()(gtAtA)()(nteLtL)0()(gteAtA)0()()()()(tKtsYtK劳动增长率为劳动增长率为n：技术进步率为技术进步率为g：t时劳动力：时劳动力：t时技术存量：时技术存量：产出在消费和投资之间分割，那么储蓄产出在消费和投资之间分割，那么储蓄等于投资。储蓄率等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本为外生且不变，资本折旧率为折旧率为。资本变化投资折旧。资本变化投资折旧。3、生产投入的演化、生产投入的演化12/8/2021整理ppt13三、模型的动态学三、模型的动态学1、k的动态学的动态学

10、o在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重点分析资本的变化。点分析资本的变化。o单位有效劳动资本存量的变化：单位有效劳动资本存量的变化：)()()()(tkgntksftk每单位有效劳动每单位有效劳动的实际投资的实际投资有效折旧：为保持有效折旧：为保持k在现有水平所必在现有水平所必须进行的投资。须进行的投资。0)(tk0)(tk0)(tkk增加增加k下降下降k不变不变12/8/2021整理ppt142、稳态、稳态稳态：稳态：如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的状况，即状况

11、，即 平衡增长（平衡增长（balanced growth):如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态的路径也是平衡增长的路径。的路径也是平衡增长的路径。( )0k t12/8/2021整理ppt152、稳态、稳态单位有效劳动资单位有效劳动资本存量的变化：本存量的变化：kf(k)f(k)sf(k)(ng+)kk*0k A索洛斯旺模型索洛斯旺模型在在A点，实际投资与有点，实际投资与有效折旧相等，资本存量效折旧相等，资本存量不

12、变，经济达到稳态：不变，经济达到稳态：单位有效劳动的单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为：固定不变。消费为：c*f(k*)-sf(k*) =f(k*)-(n+g+）k*)()()()(tkgntksftk12/8/2021整理ppt162、稳态、稳态稳态均衡图示稳态均衡图示因为因为 )( gnkksf/ )(k* k )(tkk* k 0)( )(/ )(/ )(22kFskkkfkfsdkkkfdsdkkksfdAL12/8/2021整理ppt173、稳态时的增长：平衡增长、稳态时的增长：平衡增长*)(*kfy ALyYALYy*/*LAyYlnln*lnlngnAALLYYg

13、nKKALkKALKk*/*在稳态，在稳态，k收敛于收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变，单位有效劳动的产出也不变：根据单位有效根据单位有效工人产出的定工人产出的定义可以计算出义可以计算出总产出的增长总产出的增长速度：速度：同样方法可以计算出每个工人的产出同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均、人均资本资本K/L和人均消费和人均消费C/L具有相同的增长率：具有相同的增长率：g。资本增长率资本增长率消费消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同，因此，消费和产出具有相同的增长率，等于的增长率，等于n+g。结论：索罗模结论：索罗模型意味着，无型意味着，无论起点在何处，论起点在何处，经济总

14、会收敛经济总会收敛于一个于一个：模型：模型中的每个变量中的每个变量都以一个不变都以一个不变的速率增长。的速率增长。12/8/2021整理ppt183、稳态时的增长：平衡增长、稳态时的增长：平衡增长当当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？时，模型中的各个变量将如何变动？变量变量含义含义平衡增长速度平衡增长速度备注证明备注证明绝绝对对量量K资本存量资本存量n+gk=K/ALL劳动力劳动力nA知识或技术知识或技术gAL有效劳动有效劳动n+gY总产出总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费总消费n+gC=(1-s)Y相相对对量量k(Y/AL)有效劳动的平均资有效劳动的平均资本本0K

15、/L人均资本人均资本gy(Y/AL)有效劳动的人均产有效劳动的人均产出出0y=f(k)=Y/ALY/L人均产出人均产出gc(Y/AL)有效劳动的人均消有效劳动的人均消费费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费人均消费gK/Y资本产出比资本产出比012/8/2021整理ppt19四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响下面考察政策控制变量下面考察政策控制变量s s的变动的影响的变动的影响: :o对稳态均衡的影响；对稳态均衡的影响；o两个稳态均衡之间的动态路径；两个稳态均衡之间的动态路径；o对长期增长的影响程度；对长期增长的影响程度；o对长期增长的影响持续时间。对长期增长的影响持续时间。12/8/

16、2021整理ppt20四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致实际投资大于有效折旧，因此，实际投资大于有效折旧，因此，k持续上升到新的稳态值（不是立即持续上升到新的稳态值（不是立即跳跃到）。跳跃到）。kksf/ )(kkfs/ )()( gnk1*k2*k1储蓄率变化的比较静态均衡储蓄率变化的比较静态均衡 12/8/2021整理ppt21四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响2储蓄率变化的动态影

17、响储蓄率变化的动态影响 (1) 对对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。kt12/8/2021整理ppt22四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响2储蓄率变化的动态影响储蓄率变化的动态影响 (2) 对对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。速度。 Y/L增长率增长率 t12/8/2021整理ppt23四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响(2) 对对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。速度。

18、ln(Y/L)t结论：结论：(1) 储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。(2) 只有技术进步率的变化有增长效应。只有技术进步率的变化有增长效应。(3) 政策含义：投入驱动的增长不会持续。政策含义：投入驱动的增长不会持续。12/8/2021整理ppt24四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响(3) (3) 对消费的影响对消费的影响o在稳态，在稳态，c*= f(k*)-(n+g+）k*o当当MPK= n+g+时，消费达时，

19、消费达到最大。到最大。o使消费达到最大化的资本存使消费达到最大化的资本存量被称为资本的黄金律。量被称为资本的黄金律。f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*12/8/2021整理ppt25黄金律和动态无效率黄金律和动态无效率 过度储蓄的经济被过度储蓄的经济被称为称为，因为降低储蓄率不因为降低储蓄率不仅提高了稳态消费，仅提高了稳态消费，也提高了转移过程也提高了转移过程中的消费，即原来中的消费，即原来的人均消费路径在的人均消费路径在所有时点都位于另所有时点都位于另一条可行的路径之一条可行的路径之下。下。k0(n+g+)kf(k)s1f(k)k1*c1*sgf

20、(k)kg*cg*动态无效率区域动态无效率区域12/8/2021整理ppt26黄金律和动态无效率黄金律和动态无效率ssgoldcgoldc*纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平。使人均纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平。使人均稳态消费最大时的储蓄率被称为黄金律储蓄率，以稳态消费最大时的储蓄率被称为黄金律储蓄率，以sgold表示。表示。12/8/2021整理ppt27四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响*)(*kfy skkfskkkfsy*)(*)(*)(1*)(*kkyssyKK*)(*)(*)(*kfkfkYKKYkkkK稳态时，人均资本和人均产出不变稳态时，人均资本

21、和人均产出不变储蓄率变化储蓄率变化对产出的长对产出的长期影响期影响变化得到产出变化得到产出的储蓄率弹性的储蓄率弹性产出的资产出的资本弹性本弹性 3.储蓄率变化对产出的长期影响储蓄率变化对产出的长期影响 产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。12/8/2021整理ppt28四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响在多数国家，支付给资本的收入份额约为在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的。则产出的储蓄率弹性约为储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加当储蓄率增加10%时，人均产出长时，人均产出长期内仅变化期内仅变化5%。因此，储蓄的显

22、著变化只会对平衡路径上的产出产生中度因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度的影响。的影响。12/8/2021整理ppt29四、储蓄率变化的影响四、储蓄率变化的影响4储蓄率变化的影响时间储蓄率变化的影响时间注意注意“收敛系数收敛系数” 与与s无关。无关。举例：假设举例：假设 ，=1/3，则，则=4%（表示（表示k和和y向向k*和和y*每每年移动剩余距离的年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需始收入差距）的一半约需18年时间。年时间。因此，当储蓄率增加因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化时，

23、人均产出长期内仅变化5%。第。第1年增长年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长年后增长0.5(5%)=2.5%。结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。)(1 (gnK%6gn12/8/2021整理ppt30五、绝对收敛与条件收敛五、绝对收敛与条件收敛o资本的边际产出递减意味着有着更低人均资资本的边际产出递减意味着有着更低人均资本的经济趋于在人均项上更快的增长。本的经济趋于在人均项上更快的增长。o绝对收敛：绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因穷国有着更快的人均增长率，因此穷国趋于追上富国。此穷国趋于追上富国。o条件收敛：条件收敛：一个经

24、济离其自身的稳态值越远，一个经济离其自身的稳态值越远，增长越快。增长越快。o巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。12/8/2021整理ppt31五、绝对收敛与条件收敛五、绝对收敛与条件收敛o非稳态图示非稳态图示k*k增长率增长率0增长率增长率0增长率增长率0kk*这表明这表明k离离k*越远，其增长越远，其增长率（正或负）越大，率（正或负）越大，k 0。可以证明索洛模型中的其他可以证明索洛模型中的其他变量变量X的非均衡动态增长率的非均衡动态增长率（ X ）与）与k保持比例或线保持比例或线形关系，例如形关系，例如 /( ) /( )( )/( )ykKky yf k k

25、 f kkf kf k gnkK结论（索洛模型的收敛性）结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。身的稳态值越远，其增长率就越快。12/8/2021整理ppt33五、绝对收敛与条件收敛五、绝对收敛与条件收敛o条件收敛的图示：条件收敛的图示：结论结论：当穷国人均：当穷国人均初始资本存量较小，初始资本存量较小，而富国的储蓄率较而富国的储蓄率较高时，富国会比穷高时，富国会比穷国有更高的增长率。国有更高的增

26、长率。因此，一旦控制了因此，一旦控制了稳态的决定的情况稳态的决定的情况下，条件收敛将成下，条件收敛将成立。立。kkfspoor/ )(kkfsrich/ )()( gn k(0)poor k(0)rich k*poor k*rich 12/8/2021整理ppt34五五、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛每单位效率工每单位效率工人资本变化：人资本变化：*( ) ()(*)(*)()*(0)*(1)()kk kktk sf kx nkkk kk kk tkkk ex n 围绕围绕k*的一阶的一阶泰勒展开式：泰勒展开式：上式的解析解意上式的解析解意味着味着k与稳态值与稳态值k*之间的距离以之间的

27、距离以的速度减少。的速度减少。o收敛速度：收敛速度：12/8/2021整理ppt35五五、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛在稳态的邻域内，产出和资本具有相同的增长速度。在稳态的邻域内，产出和资本具有相同的增长速度。可以证明可以证明*)0(*)()(1 (yyeytytgnK举例：假设举例：假设 ，=1/3，则，则=4%（表示（表示k和和y向向k*和和y*每年移动剩余距离的每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。证明：年时间。证明：%6gn5 . 0et1804. 0/2ln

28、/ )5 . 0ln(to收敛速度：收敛速度：12/8/2021整理ppt36六、索罗模型与增长理论的核心问题六、索罗模型与增长理论的核心问题o索罗模型中人均产出索罗模型中人均产出(Y/L)(Y/L)差别的两个来源：差别的两个来源：o人均资本（人均资本（K/LK/L）的差异）的差异o劳动效率或技术劳动效率或技术A A的差异的差异o索罗模型的核心结论：索罗模型的核心结论：资本积累的差异不能解释收入资本积累的差异不能解释收入的巨大差别。的巨大差别。o直接解释：直接解释：如果两国人均产出差别为如果两国人均产出差别为X X倍，则人均资本倍，则人均资本差别为差别为X X倍。这与现实不符。倍。这与现实不符

29、。o间接解释：间接解释：在竞争市场，资本的收入等于其边际产出，在竞争市场，资本的收入等于其边际产出，人均资本的差别意味着资本报酬的巨大差别，即穷国人均资本的差别意味着资本报酬的巨大差别，即穷国的资本报酬远远高于富国，资本将流向穷国。这与现的资本报酬远远高于富国，资本将流向穷国。这与现实不符。实不符。12/8/2021整理ppt37数学证明数学证明KKXkkkkXXydkdXyyydkdydKdYdYKdKdYKKyyK11212112lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln1211(1)/221112211(,)()( )( )1ln( )lnln1ln( )0ln()1lnl

30、n( )()()( )F K ALKALf kkfkkyfkydfkdyfkyfkyfkyfky12/8/2021整理ppt38数学证明数学证明举例：举例：(1) 根据根据C-D生产函数，生产函数，y=f(k)=k,一般的一般的=1/3，设穷，设穷国变量带国变量带*，若，若y/y*=X=10,求解：求解：k/k*=?(2) 若若y/y*=X=10 ， =1/3，求解：，求解：MPK/MPK*=?12/8/2021整理ppt39七、增长因素分析法七、增长因素分析法1)()(),()(LKLKRLLKKYYtLtAtKFtYRLLKKLLYYK)(对生产函对生产函数进行全数进行全微分可以微分可以得到产出得到产出增长率的增长率的决定公式决定公式R为索罗残值为索罗残值生产率增长率等生产率增长率等于产出增长率减于产出增长率减去劳动力增长率去劳动力增长率12/8/2021整理ppt40八、对索洛模型的总结和评论八、对索洛模型的总结和评论 1主要结论主要结论（1）无论从任何一点出发，经济向