ch可导与连续关系四则运算和反函数求导法则PPT学习教案

1、会计学1ch可导与连续关系四则运算和反函数求可导与连续关系四则运算和反函数求导法则导法则1、函数可导的充要条件 .0,000时的无穷小时的无穷小是是其中其中处可导的充要条件是处可导的充要条件是在点在点函数函数 xAxxxfxfxyxxfy 由函数与极限的关系知Axyx 0lim结论显然成立.第1页/共30页定理23：若函数证)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x ,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf .,00处处连连续续必必在在则则处处可可导导在在xxxfxxxf 第2页

2、/共30页连续函数不存在导数举例 0,0,)(xxxxxxf , 100lim00 xxfx注意: 该定理的逆定理不成立.在例1 讨论函数xy 0 x处的可导性。解 , 100lim00 xxfx 00 ff所以xy 在0 x处不可导。第3页/共30页例2.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处处连连续续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处处

3、不不可可导导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx第4页/共30页右导数:3.单侧导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 定理24第5页/共30页如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.?,1,1,1,)(2应应取取什什么么值值处处可可导导为为了了使使函函数数在在设设函函数数baxxbaxxxxf xfx01lim 例3解：201lim

4、 xx xfx01lim )(lim01baxx 1 ba 1 xf第6页/共30页 所以所以处连续处连续在在所以函数所以函数处可导处可导在在因为函数因为函数,1,1 xxfxxf1 ba又 11lim11 xfxffx211lim21 xxx 11lim11 xfxffx11lim1 xbaxx 1lim1 xbabaxxaax 1lim1 所以所以处可导处可导在在因为函数因为函数,1 xxf,2 a,11 bba知知又由又由.1,2 ba所以所以第7页/共30页 00011xxexxfx求 0 .f 解解：xe1中当 0 x01xe0 xxe1所以，尽管在 x = 0 的左右两侧 f (x

5、)的表达式一样， 0 f仍需要用充要条件去判别。xexxx01lim10 xxe1011lim1 0 fxexxx01lim10 xxe1011lim0 0f 不存在0)0(f第8页/共30页解解: 因为 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx) 1 ()1 (lim21001(1 ()(1)lim2xfxfx 1) 1 (21f第9页/共30页)(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在，证明:在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0

6、 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.xfxfx)0()(lim0)0(f 故)(xf第10页/共30页不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.第11页/共30页步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例4.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第12页/共30页例5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求

7、求设函数设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 第13页/共30页例6.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地)(.)(1Rxx )( x例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第14页/共30页例7.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解haaaxhxhx 0lim)(h

8、aahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 第15页/共30页例8.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa 第16页/共30页 前面我们利用导数的定义推出了一些常用函数的导数，如0 C1)( xxaaaxxln)( xxee )(xxcos)(sin xxsin)(cos 第17页/共30页定理25并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们

9、的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 如果求函数的导数都用定义来求未免太麻烦，所以要引入导数的四则运算法则，利用已知函数的导数来求其它函数的导数.第18页/共30页证(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxu

10、h)()()()(lim0 证(1)、(2)略.第19页/共30页hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf第20页/共30页推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf第21页/共30页例9.sin223的导数的导数求求xxxy 解

11、23xy x4 例10.ln2sin的导数的导数求求xxy 解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 第22页/共30页例11.tan的导数的导数求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得第23页/共30页例12.sec的导数的导数求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .t

12、ansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得例13.sinh的导数的导数求求xy 解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 第24页/共30页例14).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 第25页/共30页,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(

13、0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf第26页/共30页三、反函数的求导法则定理26.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.第27页/共30页证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(x