高中数学高初中衔接读本

1、第一讲 数与式1.1 数与式的运算例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可变为，即4，解得x0，又x1，x0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；若，不等式可变为，即4， 解得x4又x3，x4综上所述，原不等式的解为 x0，或x413abx04cdxp|x1|x3|图111解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点p到坐标为1的点a之间的距离|pa|，即|pa|x1|；|x3|表示x轴上点p到坐标为2的点b之间的距离|pb|，即|pb|x3|所以，不等式4的几何意义即为|pa|pb|4由|ab|2，可知点p 在点c(坐标为0)的左侧、或点p在点d(坐标为4)的右侧 x0

2、，或x4练 习1填空：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.2选择题：下列叙述正确的是 （ ）（a）若，则 （b）若，则 （c）若，则 （d）若，则3化简：|x5|2x13|（x5）习题11a 组1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_b 组1填空： （1），则_ _；（2）若，则_ _；2已知：，求的值c 组1选择题：（1）若，则 （ ） （a） （b） （c） （d）（2）计算等于 （ ）（a） （b） （c） （d）2解方程3计算：4试证：对任意的正整数n，有第二讲 函数与方程2.1

3、一元二次方程一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例1 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范围是a4a 组1选择题:（1

4、）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （a）3 （b）3 （c）2 （d）2（2）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（a）0 （b）1 （c）1 （d）0，或12填空:（1）方程kx24x10的两根之和为2，则k （2）方程2x2x40的两根为，则22 （

5、3）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数b 组1选择题:若关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为 （ ） （a）1，或1 （b）1 （c）1 （d）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3

6、a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值c 组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （a） （b）3 （c）6 （d）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的两个根，则的值为 （ ） （a）6 （b）4 （c）

7、3 （d）（3）如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根，则的取值范围为 （ ） （a） （b） （c）1 （d）1 （4）已知a，b，c是abc的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是 （ ） （a）没有实数根 （b）有两个不相等的实数根（c）有两个相等的实数根 （d）有两个异号实数根2填空：若方程x28xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，则m 3 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k

8、2，试求的值4已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x25若关于x的方程x2xa0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2x2的图象先列表：x3210123x294101492x

9、2188202818yx2y2x2图2.2-1xoy从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图21所示），从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系图2.2-2xyo1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函

10、数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象（如图22所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)

11、2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当

12、a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y xyoxa图2.2-3xyoxa图2.2-4上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2.2.2 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其

13、形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例1 求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式解：二次函数y2x24x3的解析式可变为 y2(x1)21，其顶点坐标为(1，1)（1

14、）把函数y2(x1)21的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x3)22（2）把函数y2(x1)21的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x1)222对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其

15、形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题xyox1a(1,1)a1(3,1)图2.27例2 求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x1；（2）直线y1解：（1）如图227，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为a(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为a1(3，1)，所以，二次函数y2x24x1的图象关于直线x1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x3)21，即y2

16、x212x17xyoy1a(1,1)b(1，3)图2.28（2）如图228，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为a(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为b(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y2x24x1的图象关于直线y1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x1)23，即y2x24x1二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过4

17、0g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0x100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20x40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数这个函数的解析式为x(克)y(分)o图2.29 20 40 60 80 10040032024016080 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图229所示acbdp图10例4如图9

18、2所示，在边长为2的正方形abcd的边上有一个动点p，从点a出发沿折线abcd移动一周后，回到a点设点a移动的路程为x，pac的面积为y（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围分析：要对点p所在的位置进行分类讨论解：（1）当点p在线段ab上移动（如图2210），即0x2时，yx；当点p在线段bc上移动（如图2210），即2x4时，y4x；当点p在线段cd上移动（如图2210），即4x6时，yx4；当点p在线段da上移动（如图2210），即6x8时，abcdp acbdp acbdp adbcp 图2.210y8x综上所述，函数f（x）的解析式为（2）函数y的图

19、像如图2211所示xyo22468图11（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0y2练 习1选择题：（1）把函数y(x1)24的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ） （a）y (x1)21 （b）y(x1)21 （c）y(x3)24 （d）y(x3)21（2）把函数y2(x3)23的图象关于直线x1对称后，所得图象对应的函数解析式为 （ ） （a）y2 (x1)23 （b）y2 (x1)23 （c）y2 (x1)23 （d）y2 (x1)23 （3）把函数y2(x3)23的图象关于直线y2对称后，所得图象对应的函数解析式为 （ ） （a）y2 (x1)23

20、（b）y2 (x3)23 （c）y2 (x3)21 （d）y2 (x3)23 2填空：（1）已知函数 则当x4时，y ；当x4时，y （2）把二次函数y2x2+4x1的函数图象向 平移 单位后，得到的图象所对应的解析式为y2x27；再向 平移 个单位后，得到的图象所对应的解析式为y2x21；再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为y2x253已知点p是边长为1的正方形abcd的顶点a出发，顺次经过b，c，d移动一周后回到点a，设x表示点p的行程，y表示线段pa的长，试求y关于x的函数习题22a 组1选择题：（1）把函数y(x1)24的图象的顶点坐标是 （ ） （a）（1，4） （b）（

21、1，4） （c）（1，4） （d）（1，4）（2）函数yx24x6的最值情况是 （ ） （a）有最大值6 （b）有最小值6 （c）有最大值10 （d）有最大值2（3）函数y2x24x5中，当3x2时，则y值的取值范围是 （ ） （a）3y1 （b）7y1 （c）7y11 （d）7y11 2填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于a(2，0)，b(1，0)，且过点c（2，4），则该二次函数的表达式为 （2）已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 3把已知二次函数y2x24x7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式4已知某二

22、次函数图象的顶点为a（2，18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式b 组1填空：（1）将二次函数y2x24x7的图象关于直线x1对称后，所得图象对应的函数表达式为 ；再将该图象关于直线y2对称，所得图象对应的函数表达式为 （2）函数yx24x2在0x3上的最大值为 ，最小值为 （3）函数y=x2+4ax+2在x6时，y随着x的增大而减小，则a的取值范围是 25432某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5km以内，票价2元； （2）5km以上，每增加5km，票价增加1元（所增加的里程，不足5km的按5km的按5km计算）已知两个相邻的公共汽车站间相距1km，如果沿途（

23、包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象c 组第2题1已知二次函数ya(x)2+25的最大值为25，且方程a(x)2+250两根的立方和为19，求函数表达式2如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？3把二次函数y2x24x3的图象向下平移3个单位后，所得图象记为c1；再把c1向右平移2个单位的图象再将c2沿着直线y2对称得图象c3；最后，再将c3以原点为对称中心作其中心对称图形得到c4分别求出c1，c2，c3，c4所对应函数的表达式2.3 方程

24、与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解例1 解方程组 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式注意到方程是一

25、个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题解：由,得 x2y2， 把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21 把y10代入, 得 x12； 把y21代入, 得x20 所以原方程组的解是 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解例2 解方程组 解法一：由，得 把代入，整理，得解这个方程，得把代入，得；把代入，得所以原方程的解是 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来

26、求这个方程组的是一元二次方程的两个根，解这个方程，得，或所以原方程组的解是练 习1下列各组中的值是不是方程组的解?（1） （2） （3） （4） 2解下列方程组:（1） （2）（3） （4）2.3.2 一元二次不等式解法二次函数yx2x6的对应值表与图象如下：x32101234y60466406xo23yx2x6yy0y0y0图2.31由对应值表及函数图象(如图2.31)可知当x2，或x3时，y0，即x2x60；当x2，或x3时，y0，即x2x60；当2x3时，y0，即x2x60这就是说，如果抛物线y= x2x6与x轴的交点是(2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x

27、23；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集 那么，怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解xyox1x2xyox1= x2yxo图2.32我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别

28、为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 （2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点

29、，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式例3 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4x

30、x20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解为 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解为 x12，x23所以，原不等式的解为 x2，或x3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式对任意实数x都成立，原不等式的解为一切实数（4）整理，得 (x3)20.由于当x3时，(x3)20成立；而对任意的实数x，(x3)20都不成立，原不等式的解为 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解为一切实数例4 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即 由于，所以不等式可变为 ，即 整理，得 所以，不等式的解是

31、x1，或x说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题例5 解关于的一元二次不等式为实数).分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式, 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论. 解: , 当 所以,原不等式的解集为 或； 当0，即a±2时，原不等式的解为 x； 当为一切实数 . 综上,当a2，或a2时，原不等式的解是 或；当为一切实数 例6 已知函数yx22ax1(a为常数)在2x1上的最小值为n，试将n用a

32、表示出来分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论 解：y(xa)21a2， 抛物线yx22ax1的对称轴方程是xa （1）若2a可知,当xa时，该函数取最小值 n1a2； (2)若a可知, 当x-2时，该函数取最小值 n4a+5； (2)若a1可知, 当x1时，该函数取最小值 n-2a+2. 综上,函数的最小值为 图2.33yo21xaxxyo21xaxyo21xa练 习1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20 x的不等式x22x1a20（a为常数）习题23a 组1解下列方

33、程组：（1） （2）（3）2解下列不等式： （1）3x22x10； （2）3x240； （3）2xx21； （4）4x20b 组1取什么值时,方程组有一个实数解?并求出这时方程组的解2解关于x的不等式x2(1a)xa0（a为常数）c 组1已知关于x不等式2x2bxc0的解为x1，或x3试解关于x的不等式bx2cx402试求关于x的函数yx2mx2在0x2上的最大值k第三讲 三角形与圆3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-

34、2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 d、e、f分别为三边bc、ca、ab的中点，求证 ad、be、cf交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结de，设ad、be交于点g，d、e分别为bc、ae的中点，则de/ab，且，且相似比为1：2，.设ad、cf交于点，同理可得，则与重合， ad、be、cf交于一点，且都被该点分成.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三

35、边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知的三边长分别为，i为的内心，且i在的边上的射影分别为，求证：.证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，同理，bd=bf，cd=ce.即.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 o为三角形abc的重心和内心.求证 三角形abc为等边三角形.证明 如图，连ao并延长交bc于d.o为三角形的内心，故ad平分，（角平分线性质定理）o为三角形的重心，d为bc的中点，即bd=dc.，即.同理可得，ab=bc.为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在

36、三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，ad与be交于h点.求证 .证明 以ch为直径作圆，在以ch为直径的圆上，.同理，e、d在以ab为直径的圆上，可得.，又与有公共角，即.过不共线的三点a、b、c有且只有一个圆，该圆是三角形abc的外接圆，圆心o为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2 （1） 若三角形abc的面积为s，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边

37、长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由.332 点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上

38、面对圆的讨论，可以得出：（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.例3 o过两个已知点、，圆心的轨迹是什么？画出它的图形.分析 如图3.3-11，如果以点为圆心的圆经过点、，那么；反过来，如果一个点到、两点距离相等，即，那么以为圆心，oa

39、为半径的圆一定经过、两点.这就是说，过、点的圆的圆心的轨迹，就是到、两点距离相等的点的轨迹，即和线段两个端点距离相等的点的轨迹.答：经过、两点的圆的圆心o的轨迹是线段的垂直平分线.练习21画图说明满足下列条件的点的轨迹：（1） 到定点的距离等于的点的轨迹；（2） 到直线的距离等于的点的轨迹；（3） 已知直线，到、的距离相等的点的轨迹. 2画图说明，到直线的距离等于定长的点的轨迹.a组1 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）a b c3 d42 在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）a b c d3 ab为o的直径，弦，e为垂足，若be=6，ae=4，则cd等于（ ）

40、a b c d4 如图3.3-12，在o中，e是弦ab延长线上的一点，已知ob=10cm,oe=12cm，求ab。b组1 如图3.3-13，已知在中，以c为圆心，ca为半径的圆交斜边于d，求ad。2 如图3.3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦ab的长。3 如图3.3-15，内接于o，d为的中点，于e。求证：ad平分。4 如图3.3-16，c、d是的三等分点，ab分别交oc、od于点e、f，求证：ae=bf=cd。5 已知线段.画出到点的距离等于的点的轨迹，再画出到点的距离等于的点的轨迹，指出到点的距离等于，且到点的距离等于的点，这样的点有几个？参

41、考答案第一讲 数与式1.1.1绝对值1（1）； （2）；或 2d 33x18习题11a组1（1）或 （2）4x3 （3）x3，或x321 3（1） （2） （3） b组1（1） （2），或 24c组1（1）c （2）c 2 34提示：第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程练习1 （1）c （2）d 2 （1）3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x22x303k4，且k041 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9习题21a 组1 （1）c （2）b 提示：和是错的，对于，由于方程的根的判别式0，所以方程没有实数根；对于，其两根之和应为 （3）c 提示：当a0时，方程不是一元二次方程，不合题意2 （1）2 （2） （3）6 （3）3当m，且m0时，方程有两个不相等的实数根；当m时，方程有两个相等的实数根；当m时，方程没有实数根4设已知方