数值分析所有常考例题及详细答案

1、1第二章第二章 线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法 .2第三章第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 .7第五章第五章 非线性方程和方程组的数值解法非线性方程和方程组的数值解法 .10第六章第六章 插值法与数值微分插值法与数值微分 .14第七章第七章 数据拟合与函数逼近数据拟合与函数逼近 .19第八章第八章 数值积分数值积分 .23第九章第九章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 .282第二章第二章 线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法1、用 LU 分解法求如下方程组的解（1）， （2）3351359059171 3235220330127X 解：（1）133511

2、24522133AL U4(101)(1,1,)339(, 2)22TTTL YYUXYX（2）132332352222012333301271313b 15521133371311yy 3235121123321313XX 32、对 4 阶矩阵进行 LU 分解242649615269186151840A解：24261242649615211232691812136615184033211A3、用高斯列主元素消去法解线性方程组12312312231425427xxxxxxxx1231231231132323110221xxxxxxxxx 解：对增广矩阵进行初等行变换3221315()+(-2)

3、r81()22131213121314254041204121207531372100022284rrrrr 同解方程组为1232332314272184xxxxxx回代求解得(9, 1, 6)TX 此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法2121311()21()4425421314254142542131021212071207350624rrrrrr 432344254102127210084rr得同解方程组1232334254121272184xxxxxx 回代求解得(9, 1, 6)TX 212131112312323111011323231110523523111011323

4、032323122112215747012323rrrrrr323252()57231110231110574757470101232323235235193223030023235757rrrr 得同解方程组12323323110574701232319322300()5757xxxxxx 回代得(0.212435,0.549222,1.15544)TX 54、用 Jordan 消去法解矩阵方程，其中：AXB，112221111A011001B解：容易验证，故 A 可逆，有 .因此，写出方程组的增广矩阵，0A 1XAB对其进行初等变换得1111011110111101220101111011

5、11211100313000263100211002110111101022330013001322121122332XAB5、用 LU 分解法求解如下方程组12325610413191963630 xxx解：100256210037341004ALU12312311021193413010,19201,34304(10, 1,4)TLybyyyyyyy (1)解得即6123321(2)25610371441,2,3(3,2,1)TUxyxxxxxxx 解解得：所以方程组的解为。7第三章第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法1、113112132aaaAaaorAaaRaaa若 Ja

6、cobi 迭代收敛，求的范围a解：（1） 、时的 Jacobi 迭代矩阵111aaAaaaa000aaBaaaa 2(2 )()aaEBaaaaaaaJacobi 迭代收敛2111( )1122aBaa （2） 、Jacobi 迭代矩阵131232aAaa131102320aBa1321211213233232aaaaaaEBaaaaaaaaaa=222241 16323()()()aa aaa aa 22222484()()aaa 123220iiaa 8Jacobi 迭代收敛12312( )11121Biaa 2、讨论的 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的收敛性AXb其

7、中，122111(1,1,0)221TAb 解：Jacobi 迭代法的迭代矩阵110221()1011220JBIA则30()01JJIBBJacobi 迭代收敛Gauss-Seidel 迭代矩阵1102210220221101110102122104210086G SB 22(44)0()22 21G SIBB Gauss-Seidel 迭代发散3、讨论下列迭代法的收敛性的 G-S 迭代AXb211131125A(1)( )KkXBXb0.10.20.30.10.50.10.20.10.020.30.20.30.50.10.20.05B解：100.50.511()066110306DLUB9

8、21(30101)030EB12 3102002 301=1iGaussSeidel 故（B) m ax迭代收敛，故 B 的谱半径，由迭代法收敛的充分必要|0.91B( ) |1BB条件知该迭代格式收敛10第五章第五章 非线性方程和方程组的数值解法非线性方程和方程组的数值解法1、给定函数，设对一切，存在且( )f xx( )fx0( )mfxM证明：，迭代过程均收敛于的根20M 1()kkkxxf x( )0f x 证明：的等价形式为( )0f x ( )xxf x则对应的迭代函数1()kkkxxf x( )( )xxf x( )1( )xfx0( )0( )20( )2111( )11mfx

9、MmfxMmfxMmfxM ( )1( )max 1,11xfxmM易证有根，故迭代过程收敛于的根( )0f x 1()kkkxxf x( )0f x 2、证明：所产生的序列收敛于的01,cos(0,1,2)kkxRxx k由cosxx根证：考虑区间1,11,1,( )cos1,11,1,( )sinsin1 1xxxxxx 所得序列收敛于的根011,1coskkxxx 由cosxx，将看作新的迭代初值，则由知序列010,cos1,1xRxx 1x必收敛于的根cosxx3、利用适当的迭代格式证明112lim2222kk 个证：考虑迭代式则102(0,1,2,)0kkxxkx12222222kx

10、xx显然0,2kx 记迭代函数1( )2,0,2( )2 2xxxxx则:10,2x 有( )0,2x 221( )(0)12x由迭代法的全局收敛定理（压缩映像原理）知所产生序列收敛于的根010,22kkxxx由( )2xxx在上解方程得惟一根 x=2。0,22xxlim2kkx4、研究求的牛顿公式a11(),0,0,1,2kkkaxxxkx证明：对一切，且单调递减，从而收敛。1,2,kkxa kx分析，令22,0,0,( )xa xxa xf xxa则令由牛顿公式21()1()()22kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx证：00,0,0,(1,2,)kaxxk故12111()222

11、kkkkkaaxxxaxx 121(1)12kkkxaxx单调递减有下界，必收敛 kx5、设，应如何选取 才能使迭代式具有局部收敛2( )(3)xxc xc1()kkxx性解：迭代格式210()(3)0,1,2,kkkkxxxc xkx给定局部收敛，设迭代序列的极限值为，则有2(3)c得33 或( )12xcx 当由局部收敛定理知1( 3)1,12 31,03cc即即时,迭代格式局部收敛于1()kkxx3当由局部收敛定理知131,12 3103cc（）即，即时,迭代格式局部收敛于1()kkxx36、给出计算的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明1111x 512x解：令12111,1,111

12、1111 11nxxx 其中，中有 n 条分数线nx则：11,lim1nnnnxxxx且13令11( )()1nnf xxf xx则显然，0110,(0,1),1 ,2,3,2kxxxk我们不妨在上讨论迭代式的收敛性1,121()nnxf x：111,1 ,( ),1212xf xx ：2114,1 ,( )12(1)9xfxx ：112,121( )1fxCx 由全局收敛定理（压缩映像原理）所得序0111,1 ,()21kkkxxf xx列必收敛于方程的根。1( )1xf xx解方程得11xx512x51lim2nnx即：151121114第六章第六章 插值法与数值微分插值法与数值微分1、设

13、，且，求证2( ),f xca b( )( )0f af b2()max( )max( )8a x ba x bbaf xfx 证：以为插值节点进行线性插值，其插值多项式为, a b1( )( )( )0 xbxaL xf af babba由插值余项定理1( )( )( )()()( , )2!ff xL xxa xba b2( )1( )()()max( ) max ()()2!21() max( )8aba x ba x bff xxa xbfxa xbbafx 2、试构造一个三次 Hermite 插值多项式，使其满足：(0)1,(0)0.5,(1)2,(1)0.5HHHH解：（法一）首先

14、构造如下的基函数表则：2211( )()(1)( )(21)(1)xaxb xxxx2222( )() (0)( )( 23)xaxbxxxx 2211( )(1)( )(1)H xax xH xx x函数值导数值01011( )x10002( )x01001( )H x00102( )Hx0001152222( )(1)( )(1)Hxa xxHxxx222211( )(21)(1)2( 23)(1)(1)22H xxxxxx xxx（法二）：令则230123( )H xaa xa xa x2123( )23H xaa xa x23012323012321232123000111122030

15、0.521 310.5aaaaaaaaaaaaaa 0123131122aaaa 2313( )122H xxxx 3、确定一个不高于四次的多项式 H(x)，使得：(0)(0)0,(1)(1)(2)1HHHHH解：（法一）首先构造如下的基函数表则：22002221122222251( )()(1) (2)( )()(1) (2)42( )()(2)( )(2)1( )(1)( )(1)4xaxb xxxxxxxaxb xxxxxxa xxxxx 220022111( )(1)(2)( )(2)(1)2( )(1)(2)( )(1)(2)xa xx xxx xxxa xxxxxxx 函数值导数值

16、012010( )x100001( )x010002( )x001000( )x000101( )x0000116012012222222( )0( ) 1( ) 1( )0( ) 1( )1(2)(1)(1)(2)41(3)4H xxxxxxxxxxxxxxx（法二）令23401234( )H xaa xa xa xa x则231234( )234H xaa xa xa x2340123402340123423401234231234123123400000011111222212030400021 31411aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 得2342222931( )4

17、2411(96)(3)44H xxxxxxxxx4、求三次多项式，使得3( )P x3333(0)(0)0,(1)1,(2)3PPPP解：令230123( )P xaa xa xa x则2123( )23P xaa xa x230123021231230123232301232300000203000111112223483aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2323511( )()(5)444P xxxxx 5、求一个次数3 的多项式，使得，)x(P31)0(P32) 1 (P321) 1 (P)0(P33解：令230123( )P xaa xa xa x则2123( )23P xa

18、a xa x235414aa 17230123212323012321230001(1)20300.5(2)1112(3)21 310.5(4)aaaaaaaaaaaaaa 由（1）得01a 由（2）得10.5a 由（3）得 （5）01232aaaa由（1）得 （6）123230.5aaa把、代入（5） 、 （6）得01a 10.5a 、21.5a 31a 23( )1 0.51.5P xxxx 6、给出概率积分的数据表如下：202( )xxy xedxx0.460.470.480.49( )y x0.4846550.4937450.5027500.511668试用拉格朗日插值法计算时，该积分

19、值等于多少？0.427x 解：记123412340.460.470.480.490.4846550.4937450.5027500.511668xxxxyyyy将看成的函数，以为插值节点作的 3 次插值多yx( )yy x1234,x x x x( )y x项式:1831122334423413412121314212324( )( )( )( )( )()()()()()()()()()()()()L xy l xy lxy l xy lxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxx 12312434313234414243()()()()()()()()()()()()xxxxxx

20、xxxxxxyyxxxxxxxxxxxx3(0.472)(0.472)0.023263440.426595680.1085940.0163733760.495582864yL 当时，概率积分0.472x 20.47202(0.472)xyedx0.4955828647、利用在处函数值计算的近似值并估计误差.yx012100,121,144xxx115解： 过点（100，10） 、 （121，11） 、 （144，12） ，yx令001122100,10,121,11,144,12,xyxyxy则的二次 Lagrange 插值多项式yx20 01 12 2( )( )( )( )(121)(14

21、4)(100)(144)1011(100 121)(100 144)(121 100)(121 144)L xy lxy l xy lxxxxx(100)(144)12(144 100)(144 121)xx2115(115)(115)10.722756( )|(115)| |(115 100)(115 121)(115 144)|100,1443!yLyR5252313|15 6 29|3! 81310015 6 29681.63125 10 19第七章第七章 数据拟合与函数逼近数据拟合与函数逼近1、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合2yabx解：（法一）建立超定方程组2

22、222219.01932.32549.03173.33897.844ababababab即：2222219.011932.312549.013173.313897.8144ab 解2222222222119125111111311925313844138144ab 2222211111192531384419.032.349.073.397.8得55327271.453277277699369321.5ab 0.9726060.0500351ab（法二）利用公式建立正规方程组ix1925313844iy19.032.349.073.397.820555211155522221111iiiiii

23、iiiiiiixyabxxxx y 55327271.453277277699369321.5ab 0.9726060.0500351ab2、求形如的经验方式，使它能和下表数据相拟合( ,0)bxya ea ba为常数且解：对经验方式作变换，有，令bxya e lnlnyabx，为了用最小二乘法求出转化为ln ,ln ,yyAayAbx则,( ,)iiA bx y将( ,)iix y（法一）建立超定方程组1.6291.001.7561.251.8761.502.0081.752.1352.00AbAbAbAbAb即：11.001.62911.251.75611.501.87611.752.00

24、812.002.135Ab ix1.001.251.501.752.00iy5.105.796.537.458.46ix1.001.251.501.752.00iy1.6291.7561.8762.0082.13521得正规方程组11.0011.251111111.501.001.251.501.752.0011.7512.00Ab 111111.001.251.501.752.001.6291.7561.8762.0082.135即：5552111555221111iiiiiiiiiiiixyAbxxx y 57.59.4047.511.87514.422Ab 解之得：0.50561.122

25、40.50563.07223.0722AxAbaeye3、解超定方程组24113532627xyxyxyxy解：由得正规方程组2411353126217xy 24112312352312345211245216217xy 22即：1835134648xy 解之得3.0409,1.2418xy23第八章第八章 数值积分数值积分1、用复化梯形求积公式求的近似值，问要将分成多少等分才能保10 xe dx0,1证结果有四位有效数字，若用复化抛物线公式呢？解：要求结果有四位有效数字此处误差411022( ,)( )0,11211 01( )nxbaR f Th fbabahfxehn 要使2422111

26、( ,)( )101212122nhR f Tfenn只需24110,40.8416nnn即若用复化抛物线公式，则44(4)4411( ,)( )102880288028802nbahR f Sh fen 2n故：用复化梯形求积公式至少需要 41 等分才能保证结果有四位有效数字，而用复化抛物线公式只需 2 等分就可以保证结果有四位有效数字。2、对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式计算所需节31sinxexdx610点数是多少？解：6( )sin 1,3,102, xf xexabbahnn则22312(,)( )( )( )1212nbaR f Thffn 22() 1,33fn ( )

27、2sin()4( )2cosxxfxexfxex2431313max( )max 2cos2xxxfxexe 3322214( ,)233neR f Tenn要使，只需( ,)nR f T3243en即：3342105175.0133eene5176n 取要使误差小于，至少要取 5176 个节点6103、用 Romberg 方法求，使误差不超过10 xIe dx51102解：k( )0kT(1)1kT(2)2kT(3)3kT01.859140911.75393111.718861221.72722191.71831881.718282731.72051861.71828421.71828181

28、.7182818(0)(0)753219 10102TT 4、用 Romberg 求积法求积分的近似值要求误差不超过12041Idxx41102解：，则(1)( )( )11244( )01141mkkkmmmmTTf xabTxix( )if x04.000000012.00000000.53.20000000.253.76470590.752.56000000.1253.93846150.6252.8764045250.8752.2654867按公式计算如下：k( )0kT(1)1kT(2)2kT(3)3kT03.000000013.10000003.133333323.13117653.

29、14156783.142117633.13898853.14159253.14159413.141585843.14094163.14159273.14159273 |3.1459263.1415858|102RR故为所求近似值122043.14159261dxRx5、分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分，并比较它们的精121cosxxdx度，准确值为 0.478267254解：设2( )cos ,(1)( 1)0.540302305,(0)0f xxxfff则由抛物线（辛普森）公式12122cos( 1)4 (0)(1)0.540302305630.3602015

30、37xxdxfff由三点高斯公式12153853cos()(0)()95995xxdxfff而33()()0.428821915,(0)055fff故12153cos2()0.47646879595xxdxf 与准确值比较知：Simpson 公式的计算结果无有效数字；三点高斯公式有两位有效数字。6、确定如下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出代数精度111( )( 1)2 ( )3 ( )3f x dxfff26解：当时，左边( )1f x 1112dx 右边112 1 3 123 左边=右边 当时，左边( )f xx110 xdx 右边11233 当时，左边2( )f xx121

31、23x dx 2221( 1)233右边要使求积公式具有 2 次代数精度，当且仅当221( 123 )0312(123)33 即22231231得或1116532 6152216532 615将代求积公式得11(,) 1111632 6( )( 1)2 ()3 ()3515f x dxfff当时，左边3( )f xx1310 x dx右边33311632 6( 1)2 ()3()03515 左边右边，故此时求积公式具 2 次代数精度；将代入求积公式得22(,)1111632 6( )( 1)2 ()3 ()3515f x dxfff27当，左边3( )f xx时1310 x dx右边31163

32、2 612()3()03515 左边右边，故此时求积公式具 2 次代数精度综上：时，所得求积公1632 61632 6,515515或式具最高代数精度 2。28第九章第九章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法1、用 Euler 预估校正格式求解初值问题2sin0(1)1dyyyxdxy要求步长，计算的近似值0.2h (1.2)(1.4)yy及解：设2000( , )sin ,1,1,1 0.2nf x yyyxxyxxnhh Euler 预估校正式为1111(,)(,)(),2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy212211110.2(sin)0.1(sinsin)n

33、nnnnnnnnnnnnyyyyxyyyyxyyx由计算得：01y 110.631706(1.2)0.715489yyy220.476965(1.4)0.526112yyy2、用欧拉法解初值问题10 (1)(01.0)(0)0yxyxy取步长，保留 5 位有效数字，并与准确解相比较0.1h 251xye 解：0.1,0,1,2,10ihxihi25( , )10 (1)( )1xf x yxyy xe 欧拉公式如下：10( ,)10(1)0iiiiiiiyyhf x yyhxyy即：1(1)0,1,90iiiioyxxyiy计算结果如下表所示29iixiy( )iy x( )iiy xy10.

34、100.0487710.04877120.20.100000.181270.08126930.30.280000.362370.08237240.40.496000.550670.05467150.50.697600.713500.01589560.60.848800.834700.01409970.70.939520.913710.02581480.80.981860.959240.03713290.90.996370.982580.013792101.00.999640.993260.0063783、对初值问题步长为时，用梯形公式得近似解，(0)1dyydxy h2()2nnhyh时，收敛

35、于准确解0h ny解：lnx cdyyydxyxCyey 又，故（准确值）(0)1yxye0, ,xR x-0考虑区间 0, x , 步长为h时，等分数为n，显然有h=n由梯形公式( , )f x yy 1111(,)(,)22nnnnnnnnnhyyf xyf xyhyyy21110222()()2222()2nnnnnnhhhyyyyhhhhyh30000022limlim()lim()022nnnhhhxhnyxhn11221111122222211lim()lim(1)lim(1)lim(1)112222111lim(1)lim(1)lim(1)1111222nnnnxxnnnnnnxxxxxxnnnxxnnxxnnnnxxeennnxxx 4、取，用改进 Euler 法