曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

1、. . jz* 212005 51146dr rdr5、计算(sin)(cos)xxleymy dxeym dy，其中l为圆222()(0)xayaa的上半圆周，方向为从点(2 ,0)aa沿l到原点 o。解： 添加从原点到点a 的直线段后，闭曲线所围区域记为d，利用格林公式(sin)xpeymy，cosxqeym，cosxpeymy，cosxqeyx于是(sin)(cos)xxleymy dxeym dy(sin)(cos)xxoaeymy dxeym dy22dm amdxdy而(sin)(cos)xxoaeymy dxeym dy20000adx，于是便有(sin)(cos)xxleymy

2、 dxeym dy22m a6222222()()()lyzdxzx dyxydz，其中l为球面2221xyz在第一卦限局部的边界，当从球面外看时为顺时针。解： 曲线由三段圆弧组成，设在yoz 平面的圆弧ab的参数方程0cossinxytzt，t从2变化到 0。于是222222()()()abyz dxzx dyxydz0222sin( sin )cos (cos )tttt dt43由对称性即得222222222222()()()3()()()4labyzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydz7(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy，其中为平面1,0,xyzx0,y0z所围立

3、体的外表的外侧。解： 记1为该外表在xoy 平面的局部，2为该外表在yoz 平面的局部，. . jz* 3为该外表在xoz 平面的局部，4为该外表在平面1xyz的局部。1的方程为0,01,01zyxx，根据定向，我们有1(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy1(1)zdxdy010112xyxdxdy同理，21(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy31(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy4的方程为1,01,01zxyyxx，故4(1)zdxdy01012(2)3xyxxy dxdy，由对称性可得4(1)xdydz42(1)3ydzdx，故4(1)(1)(1)

4、2xdydzydzdxzdxdy于是所求积分为1123228计算曲面积分：()2sin()(3)xysxyz dydzyzx dzdxzedxdy，其中s为曲面1xyz的外侧。解： 利用高斯公式，所求积分等于1(123)uvwdxdydz=1 16 83 2=8 9. 计算 i=sxzdxdyyzdzdxxydydz，其中 s为 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的外表外侧解： 设 v 是 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体由 gass公式得 : i=vdxdydzzyx)(=yxxdzzyxdydx101010)(=81. . jz* 10计算 i=yd

5、zxdyzydxx2233,其中是从点 a(3, 2, 1)到点 b(0, 0, 0) 的直线段ab 解： 直线段 ab 的方程是123zyx；化为参数方程得：x=3t, y=2t, z=t, t 从 1 变到 0，所以：i=ydzxdyzydxx223303221(3 )33 (2 )2(3 )2 ttttt dt48787013dtt11. 计算曲线积分i=amoxxdyyedxyye,)2cos()2sin(其中amo是由点a(a,0)至点 o(0, 0) 的上半圆周axyx22解： 在 x 轴上连接点o(0, 0), a(a, 0) 将amo扩大成封闭的半圆形amoa 在线段 oa 上

6、, oaxxdyyedxyye0)2cos()2sin(从而amooaamoaamo又由 green 公式得 : amoaaxyxxxadxdydyyedxyye2242)2cos()2sin(212. 计算曲线积分dzydyxdxzl333其中 l 是 z=2)(22yx与 z=322yx的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解： 将 l 写成参数方程: x=cost, y=sint, z=2 t: 02于是 : dzydyxdxzl333=20420cossin8tdtdtt=43另证：由斯托克斯公式得dzydyxdxzl333=dxdyxdxdzzdydzy)03()03()03(22222

7、:2,1zxy上侧，那么：2221333232001333cos4lxyz dxx dyy dzx dxdydrdr13.设曲面 s为平面 x+y+z=1 在第一卦限局部，计算曲面s的面积 i 解： s在 xoy 平面的投影区域为：10,10),(xxyyxdxy. . jz* i=sds=dxdyxyd310103xdydx23)1(310dxx14. 计算曲线积分lyxdyyxdxyx22)()(其中l 是沿着圆1)1()1(22yx从点a(0,1)到点 b(2, 1)的上半单位圆弧解： 设22),(yxyxyxp，22),(yxyxyxq当022yx时，22222)(2yxxyxyxqy

8、p故：所求曲线积分在不包围原点的区域与路径无关那么：lyxdyyxdxyx22)()(=abyxdyyxdxyx22)()(=202)11(dxxx=21ln5-arctan2 15. 确定的值，使曲线积分2124d62dcxxyxxyyy在xoy平面上与路径无关。当起点为0,0，终点为3,1时，求此曲线积分的值。解： 由，2124,62pxxyqxyy；由条件得pqyx, 即12461,3xyx, 3,13,1232232230,00,014d62d2263xxyxx yyyxyx y16. 设曲面 s为球面4222zyx被平面 z=1 截出的顶部，计算i=dszs1解： s的方程为：224

9、yxzs在 xoy 平面的投影区域为：3),(22yxyxdxyi=dxdyyxxyd22422030242drrrd2ln417. 计算 i=dxdyzyxxzdzdxyzdydz)(，其中是2222)(aazyx，. . jz* az0，取下侧解： 作辅助曲面1: z=a，)(222ayx取上侧设为2222()xyzaa,za所围闭区域xyd为平面区域222ayx11()()iyzdydzxzdxdzxyz dxdy=dxdydzxyddxdyayx)(=332axyddxdyaxyddxdyyx)0)(=331a18.l为上半椭圆圆周cossinxatybt，取顺时针方向，求.lydxx

10、dy解：0 sin(sin )cos( cos )lydxxdybtatatbtdt0.abdtab19计算曲面积分2(2 )xdydzydzdxzz dxdy，其中为锥面22zxy与1z所围的整个曲面的外侧。解：由高斯公式，可得21100(1 122)22.2izdvzdvddzdz20计算曲线积分()(3)xyliye dxxedy，其中l是椭圆22221xyab的正向。解： 令xpye, 3yqxe, 那么2qpxy。设l所围成的闭区域为d，那么其面积ab。a bxy0. . jz* 从而由格林公式可得()(3)222xylddiye dxxedydxdydxdyab. 21设为柱面22

11、2xza在使得0 x，0y的两个卦限被平面0y及yh所截下局部的外侧，试计算ixyzdxdy。解：将分成1与2，其中1：22zax取上侧，2：22zax取下侧，1与2在xoy面上的投影为: 0, 0 xydxayh，故12222222220032()221.3xyxyxyddahdxyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxy ax dxdyxyaxdxdyxy ax dxdydxx axydya h22计算曲面积分2iz ds，其中是柱面224xy介于06z的局部。解 ： 设1为在 第 一 卦 限 的 局 部 曲 面 。212:4,04xyxxyyzy， 得222214xxdydzdsdyd

12、zyzy。1在yoz面上的投影域为:02, 06yzdyz。故1226222220021448288.44yzdzz dsz dsdydzdyz dzyy23. 计算曲面积分2()izx dydzzdxdy，其中是旋转抛物面221()2zxy介于0z及2z之间局部的下侧。解： 利用高斯公式，取1:2z且224xy。取上侧，与1构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为，1对应的xyd为：224xy。. . jz* 111212222222200()()()(1 1)222222880.xydrzx dydzzdxdyzx dydzzdxdyzx dydzzdxdydvdxdydvdxdyddrrdz24

13、计算曲线积分22ddcyxxyxyixy，其中c是自点2,1a沿曲线cos2yx到点2,1b的曲线段。解：222222222222,0 xyyxpxxyyqpqxyxyxyyxxy, 取小圆周22:,cxy充分小 ,取逆时针方向,那么由 green 公式可得 : 222211()d()dd22arctan21cxiyxxyxyxx25用高斯公式计算xy dxdyyz xdydz，其中:柱面221yx及平面0,3zz围成封闭曲面的外侧。解：,0,pyz x qrxy,0,0pqryzxyz原式 =sinyz dvrz rdrd dz=213000sindrdrrz dz=2120093sin2d

14、rdrr=209sin4d=92. . jz* 26 计 算 曲 面 积 分281 d d4d d2d dixzy zyz z xyzx y， 其 中是 曲 面221zxy被平面3z所截下的局部，取下側。解： 补2212:3xyz,取上侧 ,11i, 而13311( )ddd d(1)d2d zvzx yzz,其中22( ):1d zxyz1(18)d dxydyx y18d d36xydx y, 38i27计算曲线积分ldyyxdxxyx)()(223，其中 l 是区域 0 x1，0y 1的边界正向。解： 利用 green 公式ldyyxdxxyx)()(223=ddxxdyxdxdy101

15、02128、计算曲面积分dxdyzdxdzydydzx222，其中为平面方程x+y+z=1 在第一卦限的上侧。解：dxdyzdxdzydydzx222=ddxdyyxyx41)1(222或由对称性：222x dydzy dzdxz dxdy，而2112z dxdy，故14i。或3dsdxdydydzdzdx可知。29. 计算lxdyyydxxsincos，其中 l是由点 a0， 0到 b， 2的直线段。解： ab的方程20,yxx2dydx0cossincos24 sinlxydxyxdyxxxx dx430、设)(xf可微，1)0(f且曲线积分lxdyxfydxexf)()(22与路径无关。

16、求)(xf。. . jz* 解：22,xpqfxfxeyx因该项积分与路径无关，所以2,2xpqfxfxeyx有。令( )yfx，得微分方程22xyye，解得2 xyxce， 2分代入条件1)0(f得 c=1 从而有21xyxe31、计算对面积的曲面积分2222,: ,12dszzyyxz其中。解:2222,xyxyzzyyxx曲面在 xoy 平面上的投影为2214yx22222222112xyyxzzyyxx原式 =2222xydxdyyyxd=2225012sinddrr=22101162sin2624r=21 2232、计算曲面积分2xz dydzzdxdy，其中是曲面22zyx在1z的

17、局部的下侧。解： 补充曲面1:1z且取上侧，又3pqrxyz，由高斯公式11222xz dydzzdxdyxz dydzzdxdyxz dydzzdxdy=2213yxdxdydzdxdy=2211003322rdrdrdz四、综合题1、证明在整个xoy 平面上，(sin)(cos)xxeymy dxeymx dy是某个函数的全微分，求这样的一个函数并计算(sin)(cos)xxleymy dxeymx dy，其中l 为从(0,0)到(1,1)的任意一条道路。解： 令( , )sinxp x yeymy，( , )cosxq x yeymx，那么有. . jz* cosxpqeymyx，故知(sin)(cos)xxeymy dxeymx dy是某个函数的全微分。取路径(0,0)( ,0)( , )xx y，那么一个原函数为( , )u x y( , )(0,0)(sin)(cos)x yxxeymy dxeymx dy(0,)( ,)(0,0)(0