2019高中数学第1章导数及其应用1.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修2-2

1、133导数的实际应用课帀呈目际Rlk KE CHENG MU BIAO VIN HANG1 学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题 涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域.2学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用.rCHU ZHl SHI SHU Li求实际问题中的最值的主要步骤(1) 列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系(2) 求函数的导数f (x)，解方程 _；(3) 比较函数在区间 _ 和使f (x) = 0 的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值.名师点拨丨rxv(1) 求实际问题的最大(小)值

2、时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的 理论值应舍去；(2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f (x) = 0 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3) 在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表 示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.【做一做 1 1】R3A 和尹47C. R和R55【做一做 1 2】重倍难倍*(1)审题建模(3) 解模y=f(x)；内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为().D.以上都不对面积为S的所有矩形中，其周长最小的是理解题意的基础上把实际问题抽

3、象成数学问题.抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型； 研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，再利用数学知识对数转化成数学问題数学问题数学解歩回到实际问题数学问题的结论阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系;将文字语言转化成数学语言， 利用数学知识建立相应的数学模型；把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；B.数学化实际问题如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、是从实际冋题出发， 模型进行分析、 路如下：2(4) 对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义

4、区间内只有一个点使f的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大 值这里所说的也适用于开区间或无穷区间.冏里例题-题型一利用导数求实际问题的最小值(x) = 0(小)3【例题 1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔 热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用kC(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：qx)=或亍(0 0)，进而得到梯形面积S= 2(x+r) J1 2-x2.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f(x) = 0 的情形时，

5、若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值.题型三易错辨析易错点：在运用导数解决实际问题的过程中， 常常因为忽略实际问题中函数的定义域而 造成结果求解错误. 解决问题的主要措施为： 在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际 问题的定义域范围内求出问题的最优解.【例题 3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为 0.5 万元.但每生产 100 台, 需要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为500 台，销售收121把利润表示为年产量的函数；2年产量是多少时，工厂所得利润最大？(112191错解：(1)y= F(x) C(x)

6、 = i5x x (0.5 + 0.25x)=尹 + 才x?(0wxw5).=x+ 字,令y= 0,得x=譽 4.75 ,年产量为 475 台时，工厂利润最大.SLTI TANG LI AX XI GONG1 将 8 分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为().A. 2 和 6 B . 4 和 44入(单位：万元)函数为R(x) = 5x2x(0wxw5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台). 4.75 必为最大值点.5C. 3 和 5 D .以上都不对2 用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相 等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所

7、做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为().A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cm D. 12 cm3 某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20 m 长的墙壁，则应围成长为_m，宽为_ m 的长方形才能使小屋面积最大.4 做一个容积为 256 的方底无盖水箱，当它的高为 _ 时，最省材料.答案：基础知识梳理(2)f (X)= 0(3)端点【做一做 1 - 1】B 设矩形的一边长为x，则另一边长为 2R2-X2,周长I= 2x+ 4 .氏一X2S【做一做 1 - 2】以S为边长的正方形设矩形的一边长为 X,则另一边长为 二周长f(x)x=2x+S，厂(x) = 2 1 孕，

8、令f(x) = 0，得x= -.S,易知当x= .S 时，f(x)有极小值,也就是最小值.典型例题领悟k【例题 1】解：(1)设隔热层厚度为xcm,由题设，每年能源消耗费用为qx) = 3%+5，又CO) = 8,k= 40,因此 Qx)=厂门，而建造费用C(x) = 6x,从而隔热层建造费用与3X十 520 年的能源消耗费用之和为40800f(x) = 20C(x)十C(x)= 20Xx 十 6x= 十 十 6x(0 x 0,故 5 是f(x)的最小值点， 对应的最小值为f(5) = 6X5十；|% = 70,即当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值15+ 570 万元.【例题 2】

9、解：(1)依题意，以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标2 2X y系(如图所示)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程卩十2= 1(y0)，即y=(0vxvR),I舍去)，当 OvxvI取最大值，即矩形周长最62r2x2(0vxvr).71S=2(2x+2r)其定义域为x|0vxvr.(2)记f(x)=4(x+r) (r-x),0vxvr,则f(x) = 8(x+r)2(r 2x).1令f(x) = 0,得x=尹因为当 0vxv2 时，f(X) 0;故梯形面积S的最大值为jr2.【例题 3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在 台)，应有x5 的情况，错解忽

10、视了此种情况，就出现了错误.正解：(1)利润y=R(x) C(x)x气2 丿r；5x 5；J2- 0.25x x.?(2)0 x5 时，y= 12 0.25xv12 0.25X5= 10.75(万元).年产量是 475 台时，工厂所得利润最大.随堂练习巩固1. B 设其中一个数为x,则另一个数为 8 x,y=x3+ (8 x)3, 0 x 8,y= 3x23(8 x)2，令y= 0 即 3x2 3(8 x)2= 0,得x= 4.当 0 xv4 时，yv0;当 4vx 0.所以当x= 4 时，y最小.2.B 设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意，得V=x(48 22x) (0vxv24),V=12(24x)(8x).r当 2,厂2+ 4.75X%13 322r8令 V= 0,则在区间(0,24)内有解x= 8，故当x= 8 时，V有最大值.3.10 5 设长为xm,宽为ym,贝Ux+ 2y= 20,y= 10 x.S=xy=x10 号；=10 x2x ,2,S=10 x,令 S= 0,得x= 10,