数列分组求和法6页

1、分组求和法典题导入例1(2011·山东高考)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前2n项和S2n.自主解答(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an2·3n1.(2)因为bnan(1)nln an2·3n1(1)nln(2

2、83;3n1)2·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln 2ln 3)123(1)2n2nln 32×nln 332nnln 31.由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若anbn±cn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和以题试法1(2013·威海模拟)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p

3、，q的值；(2)数列xn前n项和Sn的公式解：(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2) 由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.2.数列1，3，5，7，的前n项和Sn为()An21 Bn22Cn21 Dn22解析由题意知已知数列的通项为an2n1，则Snn21.答案C3.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意，得解得an2n1

4、.(2)bn2an2n·4n2n，Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n·4nn2n.4.设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列anbn的前n项和Sn.解析(1)设q为等比数列an的公比，则由a12，a3a24得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，因此q2.所以an的通项为an2·2n12n(nN*)(2) Snn×1×22n1n22.5.求和Sn1.解和式中第k项为ak12.Sn22(111()22n2.6.数列an的前n项和为Sn

5、，a11，a22，an2an1(1)n (nN*)，则S100_.答案2 600解析由an2an1(1)n知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k2k.S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.7.求和：(1)Sn；(2)Sn222.解(1)由于ann，Sn(123n)1.(2)当x±1时，Sn4n.当x±1时，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n.Sn8.已知数列an中，a160，an1an3，则这个数列前30项的绝对值的和是_答案765解析由题意知an是等差数列，an

6、603(n1)3n63，令an0，解得n21.|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)(a21a30)S302S20(606063)×20765.9.数列an的前n项和Snn24n2，则|a1|a2|a10|_.答案66解析当n1时，a1S11.当n2时，anSnSn12n5.an.令2n50，得n，当n2时，an<0，当n3时，an>0，|a1|a2|a10|(a1a2)(a3a4a10)S102S266.10.数列an的通项公式为an(1)n1·(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200 B200 C400 D400答案B解析S100(4

7、×13)(4×23)(4×33)(4×1003)4×(12)(34)(99100)4×(50)200.11.(2012·课标全国)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)102642

8、2341 830.12.已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S2 013等于 ()A1 B2 010 C4 018 D0答案C解析由已知得anan1an1 (n2)，an1anan1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，2 008，2 009，1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S60.2 0136×3353，S2 013S34 018.13.设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求的值为A B C D解：由于，则原式，选A14.数列的前项和为 ，满足：，其中， 且（）求证：数列是等比数列；（）设数列的公比为，数列满足求的通项式.（）记求证：解（）当时， ,得： （）又，解得： , 是首项为1，公比为的等比数列。（） , 则（）15.的值是A2525 B5050 C10100 D20200解：原式，选B16.等差数列an的公差不为零，a47，a1，a2，a5成等比数列，数列Tn满足条件Tna2a4a8，则Tn_