2020年海南省新高考数学模拟试卷(3月份)

1、2020年海南省新高考数学模拟试卷（ 3 月份）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1（ 5分）已知集合 A x| 3 x 4， B x|4x 6 ，则 (eR A)I B ()A x | 4 x 6B x| 4 x3Ux |4 x6Cx| 4, x 6D x | 4 x剟3Ux |4 x62（5 分）若复数 z的虚部小于0,|z| 5，且 zz4 ，则 iz ()A1 3iB 2 iC1 2iD1 2i3（5 分）“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D既不充分也

2、不必要条件24（ 5分）已知函数 f（x） x2 mx 5在 （2,m 的取值范围为 （A4 ，)B2 ，)C (， 45（5 分） （2x 31） 的展开式的中间项为 （ x)A 40B 40x2C40） 上单调递增，则D ( ， 2D 40x26（ 5分）现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是 （ ）ABCD127（5 分）如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点 （D 靠近点 B） ，过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F ，则 uAuFur （3 uuur1 uuur2 uuur1 uuurA AB1 ACB AB1 AC555

3、58 uuur 4 uuur D AB AC15 15第1页（共 20页）8( 5 分)已知函数xf (x)224xx,x1,x, 0若关于 x的方程 (f (x)0,1)(f (x) m) 0恰有 5个不同的实根，则 m的取值范围为()A (1,2)B (1,5)C (2,3)D (2,5)二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0分9( 5分)如图所示的曲线图是 2020年 1月 25日至 2020年 2月 12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确

4、的是 ( )6第2页(共 20页)A1月 31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了3B1月 25日至 2月 12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C2月 2日后到 2月 10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例D2月 8日到 2月 10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月 6日到 2月 8日的增长率 10(5 分)已知函数 f (x) sin2x sin(2 x ) ，则 ( )3A f (x)的最小正周期为B曲线 y f(x)关于 ( ,0) 对称3C f (x) 的最大值为 3D曲线 y f(x) 关于 x 对称6x211(5分)已知 P是椭圆 C:

5、6y2 1上的动点， Q是圆 D:(x 1)2 y2 1 上的动点，则530B C 的离心率为 30()AC 的焦距为 5C 圆 D 在 C 的内部D| PQ|的最小值为 2 5512（5 分）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AB 2AA1， E， F 分别为 AB， BC的中点，异面直 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m ，则 （ ）第5页（共 20页）ACB直线 A1E 与直线 C1F 共面D直线 A1E与直线 C1F 异面三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分.13（5 分）若 lgx lgy 0，则 4x 9y 的最小值为 214（5 分）已知 P为

6、双曲线 C:x2 y 1右支上一点， F1， F2分别为 C 的左、右焦点，且4线段 A1 A2 ，B1 B2分别为 C 的实轴与虚轴 若 |A1A2 |，|B1B2 | ，| PF1 |成等比数列， 则|PF2 | 15（5 分）四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上， AB，AC ，AD两两垂直，且 AB 1，AC 2， AD 3 ，则四面体 ABCD 的体积为 ，球 O 的表面积为16（5 分）若曲线 y xex m （x 1）存在两条垂直于 y轴的切线，则m 的取值范围为 x1四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.3 2 517（

7、 10 分）在 cosA， cosC ，csinC sin A bsin B， B 60 ，c 2，5519（12 分）某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表购买金额（元 ）0 ， 15)15， 30)30， 45)45， 60)60 ， 75)75 ， 90人数101520152010（1）根据以上数据完成 2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为 购买金额是否少于 60 元与性别有关不少于 60 元少于 60 元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠

8、方案， 购买金额不少于 60元可抽奖 3 次，每次中奖 概率为 p（每次抽奖互不影响， 且 p的值等于人数分布表中购买金额不少于60 元的频率），中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元若游客甲计划购买 80 元的土特产， 请列出实际付款数 X（元 ）的分布列并求其数学期望2附参考公式和数据： K 2 n（ad bc ）， n a b c d （a b）（ c d）（ a c）（b d）附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P(K 2k0)0.1500.1000.0500.0100.00520( 12 分)在数列 an ，bn 中，a1b

9、11，an 13anbn3n1，bn13bnan3n1 等差数列 cn 的前两项依次为 a2， b2 1）求 cn 的通项公式；2）求数列 （an bn）cn的前 n项和 Sn221（12 分）如图，已知点 F 为抛物线 C:y2 2px（p 0）的焦点，过点 F 的动直线 l与抛物 线 C 交于 M ， N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45 时， | MN | 16 （1）求抛物线 C 的方程（2）试确定在 x轴上是否存在点 P ，使得直线 PM ，PN 关于 x轴对称？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由22（ 12 分）已知函数 f （x） 2ln（x 1） sin x

10、 1，函数 g（x） ax 1 blnx（a ，b R，ab 0） （1）讨论 g（x） 的单调性；（2）证明：当 x0时， f （x）, 3x 1（3）证明：当 x 1时， f（x） （x2 2x 2）esinx 2020年海南省新高考数学模拟试卷（ 3 月份）参考答案与试题解析、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1（5 分）已知集合 A x|3 x 4， B x| 4x 6 ，则 (eR A)I BA x | 4 x 6B x| 4x 3Ux |46Cx| 4, x 6D x| 4x剟 3Ux |46解答】 解：根据题意

11、，集合A x| 34，则 (eR A) x | x,3 或 x4 ，4剟x6 x | 4故选：D2（5 分）若复数A 1 3i解答】 解：由已知可得2a2aiz i (2 i)B x| 4x 6(eRA)I x | 4 x, 3x 3U x |4? x 6 ；z的虚部小于 0,|z| 5 ，且B 2 izab242i zzC4 ，则 iz1 2iD 1 2ibi (a ， bR，b0)，5，解得 ba21(b0)第11页(共 20页)故选： C 3（5 分）“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解答】 解：由于三亚市在海南省，故

12、“游客甲在三亚市”一定推出“游客甲在海南省”反之，“游客甲在海南省”推不出“游客甲在三亚市”根据充分必要条件定义，游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的必要不充分条件；故选： B 4（5 分）已知函数 f （x）2x2 mx 5在 （2, ） 上单调递增，则 m 的取值范围为 （ 第6页（共 20页）A4 ，)B2 ，)C (， 4D ( ， 2解答】 解：函数 f ( x)2x2 mx 5 的对称轴为Q 函数 f (x) 在区间 (2,)上单调递增，m , 2 ，解得 m, 4 ，2的展开式的中间项为故选： B 240x2C403C63(2x)3(2D 40x240x26( 5分)现将五本相

13、同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是 ( )1 A6BCD12解答】 解：现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本， 先每人分一本，还有 2 本相同的作文本，分给甲、乙丙三人， 基本事件总数 n C31 C32 6 ， 甲分得三本包含的基本数件个数 m 1 ，甲分得三本的概率是 p mn 16 故选： A 7(5 分)如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点 (D 靠近点 B) ，过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F ，则 uAuFur ( )3 uuur 1 uuur A AB AC552 uuur 1 uuur B AB AC

14、554 uuur 8 uuurC AB AC15 158 uuurD 8 AB154 uuurAC15解答】 解：设 BC6 ，则 DE 2 ， ADAEcosDAE2 105AFAF4，uuur 4 uuur所以 AF AD ；ADAE55uuuruuur1 uuurBC3uuur1 uuur uuur( AC AB )3ADABABuuur42 uuur1 uuurAC)8 uuur 4AF(ABAB所以因为所以2 uuurAB3 uuur AC 1 uuurAC ，3故选： D 8( 5 分)已知函数0 若关于x的方程 (f (x) 1)( f (x) m) 0恰有 5个不同的实根，则的

15、取值范围为A (1,2)B (1,5)(2,3)D (2,5)解答】 解：方程(f (x) 1)(f(x)0即为f(x)当 f ( x) 1 时，即4x 1 1，解得4，或 2 2 x 1，解得 x 0(舍 )，若关于 x 的方程 (f (x)1) (f (x) m) 0恰有 5 个不同的实根，则 f ( x) m 有 3 个根，即函数 f(x)图象与 y m有 3个交点，作出图象：由图可知， m (1,2) ，故选： A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得 5分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0分第8页

16、(共 20页)9( 5分)如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25日至 2020 年 2 月 12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是 ( )10(5 分)已知函数 f (x)sin 2x sin(2 x ) ，则 (3A f (x)的最小正周期为B曲线 yf ( x) 关于 ( ,0) 对称3C f (x) 的最大值为 3D曲线 y f(x) 关于 x 对称6解答】 解：对于 A ，由于13f (x) sin 2x sin(2 x ) sin 2x sin 2x cos2x3 2 2 f ( x) 的最小正周期 T 223sin(2 x 6 ) ，故正确；对

17、于 B ，由于f(3)3sin(2 )3623 0 ，故错误；对于 C ，由于f ( x) max3 ，故正确；对于 D ，由于f(6)3sin(266)3 ，故正确；故选： ACD 11（5 分）已知 P是椭圆2xC:6y2 1 上的动点，Q是圆 D :(x1)11 上的动点，则5()AC 的焦距为 5BC 圆 D 在 C 的内部D306| PQ | 的最小值为 2 55C 的离心率为解答】 解：由椭圆方程可得，a2 6 ，b21， c2 a2 b2 5 ，所以焦距 2c 2 5 ， A不正确；离心率 e ca5630 ，所以 B 正确；由 c 1 可得，圆 D 的圆心为椭圆的左焦点5 ，

18、0） ，由椭圆的性质可得距离左焦点最近的点为左顶点，所以椭圆上距离圆 D 的圆心的最小值为 ac 6 1 大于圆的半径 5 ，所以5圆 D 在椭圆的内部，所以 C 正确；由题意可得 | PQ|的最小值为： a 1 5 6 1 5 ， 55所以 D 不正确故选： BC 12（ 5分）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB2AA1， E， F 分别为 AB， BC的中点，异面直 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则 （第13页（共 20页）A m 2 33C m23B直线 A1E 与直线 C1F 共面D直线 A1E与直线 C1F 异面解答】 解：如图，连接 DC1， DF，

19、则 DC1 /AB1，DC1F 为异面直线 AB1与 C1F 所成的角，Q AB 2AA1 ，ABCD A1B1C1D1 为正四棱柱，E ，F 分别为 AB ，BC 的中点， 设 AA1 2 ，则 AB 2 ， C1D 6,C1F 3,DF 5 ，在 DFC1 中，根据余弦定理，cos DC 1F解答】 解：由 lgx lgy lgxy 0 ，可得 xy 1 ， x 0 ， y 0 ，所以 4x 9y2 4xg(9y) 12 ，当且仅当 4x 9y且 xy 1即 y2，3，x33 时取等号，此时取最小值 122故答案为： 1214(5 分)已知 P 为双曲线 C2 :x2y241右支上一点，

20、F1， F2 分别为 C 的左、右焦点，且线段 A1A2， B1B2分别为 C 的实轴与虚轴若 |A1A2 |，|B1B2 |，|PF1 |成等比数列，则 |PF2 | 62【解答】 解：由双曲线的方程 x2 y 1，则 a 1，b 2，所以 |A1A2 | 2，|B1B2 | 4，42由| A1A2 |，|B1B2 |，|PF1 |成等比数列，即 |B1B2 |2 | A1A2 |g| PF1 |，则 16 2 | PF1 |， 所以 |PF1 | 8，由 P在双曲线的右支上，则 |PF1 | |PF2 | 2，所以 |PF2 | 6 ， 故答案为： 615(5 分)四面体 ABCD 的每个

21、顶点都在球 O 的球面上， AB，AC ，AD两两垂直，且 AB 1，AC 2， AD 3 ，则四面体 ABCD 的体积为 1 ，球 O的表面积为 【解答】 解：Q AB， AC ， AD两两垂直，且 AB 1， AC 2 ， AD 3，11四面体 ABCD 的体积 1 2 3 1 ，32把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线设球 O 的半径为 r ，则 (2r)2 12 22 32 14 其表面积 4 r 2 14 故答案为： 1， 14 16(5 分)若曲线 y xex m (x 1)存在两条垂直于 y轴的切线，则 m 的取值范围为 x14( 27e 4， 0) 【解答】 解：

22、 Q 曲线 y xex m (x 1)存在两条垂直于 y 轴的切线，x1函数 y xexm (x 1) 存在两个极值点，x1y (1 x)ex m 2 0 在 ( , 1)上有两个解，( x 1)即 m (x 1)3ex 在 ( , 1) 上有两异根，即直线 y m与 y (x 1)3ex 在 ( , 1)上有两个交点令 g( x) (x 1)3ex( x1)， 则 g (x) 3(x 1)2ex ( x 1)3ex2x(x 1)2 ex(x 4)(x 1) ，当x4时， g (x) 0 ，当 4 x1时， g (x) 0，y g(x) 在区间 ( , 4) 上单调递减，在区间 ( 4, 1)

23、 上单调递增，g( x)极小值 g 427e 4 又当 x 时， g(x) 0，当 x 1时， g(x) 0，27e 4 m 0时，满足题意， 故答案为： ( 27e 4， 0)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17( 10 分)在 cosA 3 ， cosC 2 5 ，csinC sin A55bsin B， B 60 ， c2，1cosA 1 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答8已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 a3，(或或)，求ABC 的面积 S 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答

24、】解：选 32 5 ，Q cosA， cos C5545，sin A， sin C55sin Bsin( A C)sin A cosCcos A sin C4 2 55511 525 ，由正弦定理得 ba sin Bsin A11 5325433 520 ，5第#页(共 20页)Sab sin C2选1 3 33 5 5 9932 20 5 40Q csin C sin A bsin B ，由正弦定理得 c2 a b2 22Q a 3， b2 c2 3 又Q B 60 ，2 2 1 2b c 9 2 3 c c 3 ，2c 4 ，1S ac sin B 3 3 2选1Qc 2， cosA ，8

25、1 b2 22 32由余弦定理得 ，即 b8 2b 2解得 b 5 或 b 2 （舍去）2又 3 7又 sin A ，8115ABC 的面积 S1 bcsin A152222b520，3 7 15 78 1618（12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E为 AB 的中点， PD CEAE 1 ，PD 3， PC 13（1）证明： AD 平面 PCD （2）求 DA与平面 PCE 所成角的正弦值1 ，PD 3 ，解答】解：（1）证明：Q四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， E 为 AB的中点， AE第21页（共 20页）PC 13 ADCD ， AB2AE2 2 22， PD2

26、CD2 PC2 ，PD CD ，Q PDCE，CDICEC，PD平面ABCDAD PD ，Q CD IPDD，AD平面 PCD 2）解：以 D为原点， DA为 x轴， DC 为 y轴， DP为 z轴，建立空间直角坐标系，D(0 ，0，0）， A（2，0，0)，P(0，0，3)， C(0 ，2，0），E（2，1， 0），uuuruuuruuurDA (2 ，0，0)， PC(0，2， 3)PE（2 ，1，3)，设平面 PCE 的法向量 nr(x，y ， z)r uuur则 nr guPuCur2 y 3z 0，取z 2 ，得r n(32 ，3，2)，ngPE2 x y 3z 02设 DA 与平面

27、 PCE 所成角为 ， 则 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值为：uuur r| DAgn |3 3 61sin uuur r | DA |g|nr | 2 61 6119（12 分）某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表购买金额（元 ）0 ， 15)15， 30)30， 45)45， 60)60 ， 75)75 ， 90人数101520152010（1）根据以上数据完成 2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为 购买金额是否少于 60 元与性别有关不少于 60 元少于

28、 60 元合计男40女18合计2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案， 购买金额不少于 60元可抽奖 3 次，每次中奖概率为 p（每次抽奖互不影响， 且 p的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率），中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数X （元 ） 的分布列并求其数学期望n(ad bc )2附参考公式和数据：因此能在犯错误的概率不超过0.05 的情况下认为购买金额是否少于60 元与性别有关2） X 可能取值为65，70，75， 80，且 p10 20 190 3P(X)65 C3(31) 217

29、 ，212 P( X 70) C32(3)292 ， P(X 75)C31 13(2)24， P(X3980)0 2 3 8C3(23) 287 ，2K 2 ， n a b c d (a b)( c d)( a c)(b d)附表：k02.0722.7063.8416.6357.8792P(K 2k0)0.1500.1000.0500.0100.005不少于 60 元少于 60 元合计男124052女182038合计306090解答】 解：（1） 2 2 列联表如下：5 3.841，1440247K2 90 (12 20 40 18)2K 30 60 52 38X 的分布列为X65707580

30、P1248279927EX 65 1 70 2 75 4 80 8 75 27 9 9 2720（12分）在数列 an ，bn中，a1b11，an 1 3an bn 3n 1，bn 1 3bn an 3n 1 等差数列 cn 的前两项依次为 a2， b2 （1）求 cn 的通项公式；（2）求数列 （ an bn）cn 的前 n 项和Sn【解答】 解：（ 1） a1 b1 1， an 13anbn3n 1， bn 1 3bn an 3n 1，可得 a2 3a1 b1 3 1 3 1 3 12，b23b1 a1 3 1 3 1 3 1 6 ，则 c12， c26，等差数列 cn 的公差为 6 （

31、2） 8，则 cn2 8(n1)8n 10 ；（2）an 1 3anbn3n 1 ，bn 1 3bn an 3n 1 ，两式相加可得 an 1 bn 1 2(an bn) ，可得 an bn 为首项和公比均为 2 的等比数列，则 an bn 2n ，可得 (an bn)cn (8n 10) g2n ，则前 n项和 Sn ( 2)g2 6g4 14g8 (8n 10)g2n ，n12Sn ( 2)g4 6g8 14g16 (8n 10)g2n 1 ，两式相加可得 Sn4 8(4 82n ) (8n 10)g2n 14 8g4(1 2 ) (8n 10)g2n 1 ，12化简可得 Sn 36 (4

32、n 9)g2n 2 221(12 分)如图，已知点 F 为抛物线 C:y2 2px(p 0)的焦点，过点 F 的动直线 l与抛物 线 C 交于 M ， N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45 时， | MN | 16 （1）求抛物线 C 的方程（2）试确定在 x轴上是否存在点 P ，使得直线 PM ，PN 关于 x轴对称？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解答】 解：（1）当 l的斜率为 1 时，Q F（p,0） ， 2l 的方程为 y x p 2y x 2p , 得 x22 得 x2y2 px,23px p40第19页(共 20页)设M(x1， y1)，N(x2， y2)，

33、则 x1 x2 3p，|MN | x1 x2 p 4p 16， p 4 ，抛物线 C 的方程为 y2 8x (2)法一：假设满足条件的点 P 存在，设 P(a,0) ，由( 1)知 F (2,0) ， 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为 y k(x 2)(k 0)，64 0 ，y k ( x 2), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由 2 得 k2x2 (4k2 8)x 4k2 0 ， (4k2 8)2 4gk2g4k2 64k2 y 8x,4k 2 8x1 x22 ， x1 x2 4 kQ 直线 PM ， PN 关于 x 轴对称，PMk PN 0 ， k PMk(x1 2)

34、 ， kPNx1 ak( x2 2)x2 a8(a 2)kk(x12)(x2a)k(x22)( x1a)k2 x1x2(a 2)(x1x2)4aa 2时，此时 P（ 2,0） 当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性， 易知 PM ，PN 关于 x轴对称，此时只需 P与焦点 F 不重合即可 综上，存在唯一的点 P（ 2,0） ，使直线 PM ，PN 关于 x轴对称法二：假设满足条件的点P 存在，设 P(a,0) ，由( 1)知 F(2,0) ，显然，直线l 的斜率不为0，设 l : x my2，得 y28my16 0 ，则y1y2 8m，y1 y216.kPMy1，kPN y2x1 akPNx2 akPMkPN0 (x2 a) y1( x1 a)y2 0，(my2 2 a)y1 (my1 2 a)y2 0.2my1 y2 (2 a)(y1 y2) 2m ( 16) (2 a) 8m 0 ， a 2， 存在唯一的点 P( 2,0) ，使直线 PM ，PN 关于 x轴对称22( 12 分)已知函数 f (x) 2ln(x 1) sin x