2018年全国卷理科数学真题及答案

1、选择题（共12小题）1 .设 z=Pi1+i+2i,则因=()A. 0B-iC. 1【解答】解:L±+2i =(l-i5(L-iJ1+i(1-i)(1+ii+2 i = i+2 i = i则忆l=i.2.已知集合 A= x|x2x 2> 0,则？RA=()A . x| T vxv 2B. x| - 1<x< 2C. xRv - 1 U x|x>2 D. xx< - 1 Ux|x> 2【解答】解：集合A = x|x2 - x - 2 > 0,可得 A=x|x< 1或 x>2,则：？ra=x 1<x<2.3 .某地区经过一

2、年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比建设前轻济收入构成比例种植收入建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解答】解：设建设前经济收入为 a,建设后经济收入为 2a.A 项，种植收入 37%X2a-60%a=14%a>0,第1页（共16页）故建设后，种植收入增加，故 A项错误.B项，建设后，其他收入为 5%x2

3、a= 10%a,建设前，其他收入为 4%a,故 10%a-4%a=2.5>2,故B项正确.C项，建设后，养殖收入为 30%x2a=60%a,建设前，养殖收入为 30%a,故 60%a + 30%a=2,故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%) X2a=58%X2a,经济收入为2a,故(58% x 2a) +2a=58%>50%,故D项正确.因为是选择不正确的一项，故选：A.4 .记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4, ai=2,则a5=()A . - 12B. - 10C. 10D. 12【解答】解：: Sn为等差数列an的前n项和，

4、3S3= S2+S4, a1=2,3X2 、4X3 3乂(3 口 d) = a1+a1+d+4a1+ ? d,把a1 = 2,代入得d=- 3，a5=2+4X (-3) = - 10.故选：B.5.设函数f (x) = x3+ (a- 1) x2+ax.若f (x)为奇函数，则曲线 y=f (x)在点(0, 0) 处的切线方程为()A . y= - 2xB . y= - xC. y= 2xD. y= x【解答】解：函数 f (x) = x3+ (a - 1) x2+ax,若 f (x)为奇函数，f (- x) = - f (x),x3+ (a 1) x2 ax= ( x3+ (a T) x +

5、ax) = x3- ( a T) x2 - ax.所以：(a 1) x2= ( a 1) x2可得 a= 1,所以函数 f (x) = x3+x,可得 f' (x) =3x2+1, 曲线y = f (x)在点(0, 0)处的切线的斜率为：1, 则曲线y=f (x)在点(0, 0)处的切线方程为：y=x.故选：D.第3页(共16页)6 .在 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=()A*寺前B.4§苧C学嬴弼d.1aE+|ac【解答】解：在 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，7 .某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正

6、视图上的对应点为A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中，最短路径的长度为()A . 2fl7B. 2/5C. 3D, 2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长 16,高为：2,直观图以及侧面展开图如图:圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中,最短路径的长度：J2 2+4 2 = 245.8 .设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点(-2, 0)且斜率为2的直线与C交于M, N两 3点，则商标=()A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：抛物线C: y2=4x的焦点为F (1, 0),过点(-2,

7、 0)且斜率为2的直线 |3为：3y= 2x+4 ,联立直线与抛物线 C: y2=4x,消去x可得：y2- 6y+8 = 0,解得 y2, y2=4,不妨 M (1, 2), N (4, 4),而二(Q, 2),丽= 4)则而?丽=(0, 2)?(3, 4) = 8.故选：D.9 .已知函数f (x) = I0'算式0 , g (x) = f (x) +x+a.若g (x)存在2个零点，则a x>0的取值范围是()A. T, 0)B. 0, +°°)C. -1, +8) D, 1, +8)【解答】解：由g (x) = 0得f (x) = - x - a,作出函

8、数f (x)和y= - x- a的图象如图：当直线y=- x-a的截距-a<1,即a> - 1时，两个函数的图象都有 2个交点，即函数g (x)存在2个零点，故实数a的取值范围是-1, +8),故选：C.10 .如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB, AC. ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为n ,其余部分记为in.在整个图形中随机取一点，此点取自I,n,出的概率分别记为 pi, p2, p3,则（）A. pi = p2B. pi = p3C. p2= p3【解答】解：如图：设 B

9、C=2ri, AB = 2r2, AC= 2r3,D. pi=p2+p3222ri2=122+r322Si=-x 4r2r3= 2r2r3, Sm=x 兀ri 2r2r3,22Srn_ 2 12兀r3 +- X 兀221- 2 -万* 兀口 +2r2r3=2r2r3Si = Sn ,Pi = P2,ii.已知双曲线C：-y2= iO为坐标原点,F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为 M, N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=（）第5页（共i6页）B. 3D. 4y= +迈渐近线的夹角为:-8故选：B.【解答】解：双曲线C: W_-y2=1的渐近线方程为:360°

10、,不妨设过F （2, 0）的直线为：丫=近（片2）,fv=八区厂则：y ?工解得m （鸟，国2）"2f J3y 3 Z 解得：N （3, V3）, 片如2）第7页（共16页）126X书衅卡.故选：A.填空题（4题）.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面 ”所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）A乎 乩竽C孚 D亨【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，a截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长 邛，a截此正方体所得截面最大值为:13,贝U z= 3x+2y

11、的最大值为 _6r3!-2y-2<0y满足约束条件'x-y+l>0Ko【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图:由 z= 3x+2y 得 y = x+z, 2 2平移直线 y= - -x+- -z,2 2由图象知当直线y=-2x+lz经过点A （2, 0）时，直线的截距最大，此时 z最大, 2回最大值为z= 3X2=6,故答案为：614 .记Sn为数列an的前n项和.若 Sn=2an+1,则S6= - 63【解答】解：&为数列an的前n项和，Sn=2an+1,当 n = 1 时，ai = 2ai+1,解得 ai=- 1,当 n>2 时，Sn 1 = 2an

12、1+1 ,，由-可得an= 2an - 2an - 1,an是以-1为首项，以2为公比的等比数歹U,S6=-IX (1-26)1-263,故答案为：-6315 .从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共有16种.（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12, 2女1男，有C22C41 = 4根据分类计数原理可得，共有12+4 = 16种，方法二，间接法： C63 C43= 20 4= 16 种,故答案为：1616 .已知函数f (x) = 2sinx+sin2x,贝U f (x)的最小值是【解答】解：由题意可得 T=2兀是

13、f（x） =2sinx+sin2x的一个周期,故只需考虑f （x） = 2sinx+sin2x在0 , 2兀）上的值域,先来求该函数在0, 2兀）上的极值点,求导数可得f' ( x) = 2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x - 1) = 2 (2cosx -1)( cosx+1),令 f' (x)=0 可解得 cosx=-或 cosx= - 12可得此时x=- 3y= 2sinx+sin2x的最小值只能在点x=兀或和边界点x=0中取至L计算可得f （-二）3=0, f (f (0) = 0,.函数的最小值为-2故答案为:三.解答题（共5小题）17.在平面四边

14、形 ABCD中，/ ADC = 90° , /A = 45° , AB=2,BD = 5.(1)求 cos/ADB;(2)若 DC = 22,求 BC.【解答】 解：(1) / ADC = 90° , / A = 45° , AB=2, BD=5.，由正弦定理得:ASBDsirtZ ADB sinZ A .sin/ADB =cos/ ADB =. ABvBD, .第11页(共16页)(2) /ADC =90 ° , . cos/ BDC = sinZ ADB DC = 2百,18.如图，四边形 ABCD为正方形，E,F分别为AD, BC的中点，

15、以DF为折痕把 DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFXBF.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【解答】(1)证明：由题意，点 E、F分别是AD、BC的中点,皿 L I 1则皿4仙，bfJbc，(1)证明：平面 PEF，平面ABFD ;由于四边形 ABCD为正方形，所以 EFXBC.由于 PFXBF, EFAPF=F,贝 U BFL平面 PEF .又因为BF?平面ABFD,所以：平面 PEFL平面 ABFD.(2)在平面PEF中，过P作PHLEF于点H,连接DH ,由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH XEF,贝U PH，面 ABFD ,故 PH± DH.在三锥P-D

16、EF中，可以利用等体积法求 PH,因为 DE / BF 且 PF XBF,所以PFXDE, 又因为 PDFACDF ,所以/ FPD = Z FCD = 90所以PFXPD,由于 DEAPD = D,贝U PFL平面 PDE,故 VF PDE = APDE因为 BF / DA 且 BF，面 PEF ,所以DA，面PEF ,所以DEEP.设正方形边长为 2a,则PD = 2a, DE= a在4PDE 中， 所以故 VF PDE所以PHm '-pdez- a所以在 PHD 中，sin/PDH =PH=V3PD为（2, 0）.即/ PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为： 迪4过F的直线

17、l与C交于A, B两点，点M的坐标(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点，证明：/OMA = / OMB .【解答】解：(1)c=wn=iF d, 0）, l与x轴垂直, .A (1.，或(1,，直线AM的方程为y=-W2x+用，y=2x-证明：(2)当l与x轴重合时，/ OMA = /OMB = 0° ,当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，/ OMA = /OMB,当l与x轴不重合也不垂直时，设 l的方程为y=k (x-1), kw 0,A (x1, y1), B (x2, y2),则 x1也，X2,反,2k工 i s2-3k (jc L +x2)G2

18、)(叼-2)直线MA, MB的斜率之和为 kMA, kMB之和为kMA+kMB由 yi=kxi-k, y2= kx2-k 得 kMA+kMB将y = k (x- 1)代入'+'=1 可得(2k2+1) x24k2x+2k22=0,- X1+x2 =,x1x2 =2k2-22t2+l2kxix2 - 3k (xi+x2) +4k=2k2+1(4k 4k 12k +8k +4k) = 0从而 kMA+kMB =0,故MA, MB的倾斜角互补, ./ OMA = Z OMB,综上/ OMA = / OMB.20.某工厂的某种产品成箱包装， 每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产

19、品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f (p)的最大值点pc.(2)现对一箱产品检验了 20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为EX;(ii)以检验费用与赔偿费

20、用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作 检验？【解答】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f(p),则f(p)=晞”(b口)地, ,针(p)二41S-l®p2tl-p ) "I =2C：0P (1-p )%，令 f' (p) =0,得 p= 0.1,当 pC (0, 0.1)时，f' (p) >0,当 pC (0.1, 1)时，f' ( p) v 0,1- f (p)的最大值点pc= 0.1 .(2)由(1)知 p=0.1,令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知YB (180, 0.1),X=20X 2+

21、25Y,即 X= 40+25Y,E (X) = E (40+25Y) = 40+25E (Y) = 40+25X 180X 0.1 =490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E (X) = 490 >400,应该对余下的产品进行检验.21.已知函数 f (x) = - - x+alnx.x(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)存在两个极值点 X1, x2,证明： <a-2.町f【解答】解：(1)函数的定义域为(0, +8),函数的导数f' (x) = -1+包=-岂3三/-,2 V2XX设 g (x) = x2 - ax+1,

22、当aw。时，g(x) >0恒成立，即f (x) <0恒成立，此时函数 f (x)在( 上是减函数，X,求0, +00)当a>0时，判别式= a2-4,当0vaW2时，匕& 0,即g (x) >0,即f' (x) W0恒成立，此时函数f (x)在(0,+ 8)上是减函数,当a>2时，x, f'(x), f (x)的变化如下表:(0,+ oo)f' (x)f (x)递减综上当aw 2时，f (x)在(0, +°°)当a>2时，在(0,4T2递增上是减函数,)，和(,+°0)上是减函数,递减第15页(共

23、16页)上是增函数.(2)由(1)知 a>2, 0Vxi< i <x2, xix2= 1,贝U f (xi) f (x2)= (x2 xi) ( 1 +)+a (Inxi lnx2)=2 ( x2 xi)+a (Inxi lnx2),=-2+a.tin K<1即可,则问题转为证明 即证明 Inxi Inx2>xi x2,则 Inxi - I即 Inxi+Inxi >xi >xi 即证 21nxi >xi1)上恒成立,设 h (x) = 2lnx - x+,(0vxv 1),其中 h (1) = 0,求导得h' ( x)则h （x）在（0,

24、 1）上单调递减,1. h (x) > h (1),即 21nx x>0,故 21nx>x-<a- 2成立.(2)另解：注意至ij f (-L) = x-L- a1nx= - f (x),即 f (x) +f (=)=0,x由韦达定理得 xix2 = 1 , xi+x2=a>2,得 0vxiv1vx2, xi ,可得 f (x2)+f ( -) =0,即 f (xl) +f (x2)= 0,叼、-fCx2)-f(Zn)v a 2)只要证v a - 2)IP® 2a1nx2-ax2+-<0, (x2>1),构造函数 h (x) = 2a1nx - ax+, (x>1), h' ( x)=一式4-1)_w。,1. h （x）在（1, +8）上单调递减,.h (x) v h (1) = 0, 2alnxax+iLv 0 成立，即 2a1nx2 - ax2+-< 0, 工生(x2>1)成立.<a- 2成立.四、选做题22.