容斥原理之重叠问题(一)学生版

1、容斥原理之重叠问题（一）教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积图示如下:表示小圆部分，表示

2、大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积1先包含重叠部分计算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重叠部分减去 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数用符号表示为：图示如下：图中小圆表示的元素的个数，中圆

3、表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数1先包含：重叠部分、重叠了次，多加了次2再排除：重叠部分重叠了次，但是在进行 计算时都被减掉了3再包含：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考例题精讲两量重叠问题【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。用圆a、圆b分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示_。【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.那么该班有学生_名。【例 3】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有

4、人，有人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【巩固】 芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【巩固】 四(二)班有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有人，写完数学作业的有人，语文数学都没写完的有人 问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人？ 【巩固】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人。【例 4】 如图，圆a表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆b表示这50个数中能被5整除的数，则阴影部分表示的数是 。【例 5】 学校为了

5、丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有 名学生【例 6】 某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】 四年级一班有人，其中人参加了数学竞赛，人参加了作文比赛，人两项比赛都参加了一班有多少人两项比赛都没有参加？【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表

6、演的有7人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【例 7】 全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有_人。【例 8】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？ 【例 9】 对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人两项都会的有人，两项都不会的有人这个班一共有多少人？ 【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【例 10】 在人参加的采摘活动中，

7、只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？ 【例 11】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 【例 12】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？ 【例 13】 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人问：两门都在分以上的有多少人？【巩固】 有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有

8、人懂英语，人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？【例 14】 一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【巩固】 四年级科技活动组共有人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有人，装配好一架飞机模型的同学有人每个同学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【巩固】 科技活动小组有人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人每个同学都至少完成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？【例 15】 一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错3道