函数与方程教案

1、1 3.1.1 方程的根与函数的零点教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、理解函数的零点与方程的联系。3、渗透由特殊到一般的认识规律， 提升学生的抽象和概括能力。教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。2、难点：函数零点存在的条件。教学过程：（一）回顾旧知，发现问题观察下表 ( 一) ，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x 轴交点的坐标方程0322xx0122xx0322xx函数322xxy122xxy322xxy函数图象（简图）方程的实

2、数根函数的图象与轴的交点问题若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程2 20axbxc(0)a及相应的二次函数cbxaxy2(0)a的图象与 x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？)0(02acbxax方 程 的 根函数的图象（简图）图象与 x 轴的交点000（二）总结归纳，形成概念一：函数零点的概念：1：概念对于函数 y=f(x)(xD ),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(xD)的零点。注意： （1）函数零点的意义：函数 y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标即：练习：函数223yxx的零点是：（）A

3、（ -1 ，0） ， （3， 0） ；B x=-1 ； C x=3； D-1 和 3的实数根是方程00 xfx）轴有交点（的图象与函数0,0 xxxfy的零点是函数xfyx03 （2）求函数零点的方法： 代数法：求方程f(x)=0 的实数根 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x) 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。思考：（ 1）零点是一个点吗？（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；零点对于方程来说， 是方程的根 ; 对于函数来说， 叫函数的零点；从函数值与自变量对应的角度看, 就是使函数值为 0 的实数 x。（3）函数的零

4、点与方程的根的关系问题：方程的根与函数的零点有什么关系呢？(1) 联系：数值上相等： 求函数的零点可以转化成求对应方程的根；存在性一致 ：方程 f(x) 0 有实数根 ? 函数 yf(x) 的图象与 x 轴有交点? 函数 yf(x) 有零点(2) 区别：零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。以上关系表明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题；同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础。练习： (1) 求函数24129fxxx的零点 . （2）函数 f(x)=x(x216)的零点为（）A(0，0) ，(4，0) B0，4 C( 4，0)，(0 ，

5、0)，(4，0) D 4， 0,4 4 二：二次函数的零点=b2-4ac ax2+bx+c=0 的实数根y=ax2+bx+c 的零点数0 有两个不等的实数根x1、x2两个零点 x1、 x2=0 有两个相等的实数根x1= x2一个零点 x1（或 x2）0 没有实数根没有零点三：函数零点存在性定理如果函数yf(x) 在区间 a ，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b) 0，那么，函数 yf(x) 在区间 (a，b) 内就有零点注意:(1) 函数存在零点必须满足两个条件：0)()(,)(bfafbaxf上连续在区间，强调存在性，但至少有一个零点（2）零点存在且唯一（满足三个条件）

6、单调函数上连续在区间)(0)()(,)(xfbfafbaxf（3）并不是所有的函数都有零点：例如反比例函数例 1、判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数 y=f(x) 在区间 a ，b 上连续，且 f(a )f(b)0 ，则 f(x) 在区间(a，b)内有且仅有一个零点。（ ）（2）已知函数 y=f(x) 在区间 a ，b 上连续，且 f(a )f(b )0，则 f(x) 在区间(a，b)内没有零点。（ ）5 （3）已知函数 y=f(x) 在区间 a ，b 满足 f(a )f(b)0 ，则 f(x) 在区间 (a，b)内存在零点。（ ）请学生板书反例，其他学生补

7、充评析，如下：归纳收获 ：定理只能表明零点的存在性，定理不能确零点的个数；不满足定理条件时依然可能有零点；定理中的“连续不断”是必不可少的条件。综合应用 ，拓展思维 .1、例题讲解例 1：求函数 f(x) lnx 2x6 零点的个数。解法 1（借助计算器）： 用计算器或计算机作出x、f(x) 的对应值表和图象x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2 由表或图象可知， f (2)0,则 f (2) f (3)4. (2)若函数有三个零点，则a=4. (3)函数有四个零点,则 0a0, 8 所以一元二次方程2x

8、2-3x-2=0 有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2 有两个零点 . 证法二 :因为一元二次方程2x2-3x-2=0 可化为 (2x+1)(x-2)=0, 所以一元二次方程2x2-3x-2=0 有两个不相等的实根x1=2,x2=21. 所以函数f(x)=2x2-3x-2 有两个零点 . 证法三 :因为函数f(x)=2x2-3x-2 的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方 ,即f(0)=-20, 所以函数f(x)=2x2-3x-2 有两个零点 .如图 3-1-1-6. 图 3-1-1-7 点评： 判断函数零点个数可以结合函数的图象. 方法：零点函数方程的根两图象交

9、点 . 数学思想：转化思想和数形结合思想. 例 4 若关于 x 的方程 3x2-5x+a=0 的一根在 (-2，0)内，另一个根在 (1，3)内，求 a 的取值范围 .如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析 . 解： 设 f(x)=3x2-5x+a,则 f(x) 为开口向上的抛物线,如图 3-1-1-8：图 3-1-1-8 9 因为 f(x)=0 的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以,0)3(,0) 1(,0)0(,0)2(ffff即.012,02,0, 0

10、22aaaa故所求 a 的取值范围是 -12a0. 变式训练关于 x 的方程 x2-ax+a2-7=0 的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数 a的取值范围 . 解： 设 f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线(如图 3-1-1-9). 因为方程x2-ax+a2-7=0 的两个根一个大于2，另一个小于2, 所以函数f(x)=x2-ax+a2-7 的零点一个大于2，另一个小于2. 即函数 f(x)=x2-ax+a2-7 的图象与 x 轴的两个交点在点(2， 0)的两侧 . 只需 f(2)0, 即 4-2a+a2-70,所以 -1a3. 图 3-1-1-9 思路 2 例 5 若方

11、程 2ax2-x-1=0 在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围 . 活动： 学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：有解包括有一解和有两解，要分类讨论. 用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径. 有两种情况：a.a=0;b.a 0, 0.解： 令 f(x)=2ax2-x-1，(1)当方程 2ax2-x-1=0 在(0，1)内恰有一个解时，f(0)f(1)0 或 a0 且 =0,由 f(0) f(1)0, 得(-1)(2a-2)1.由 =0, 得 1+8a=0,a=81方程为41x2-x-1=0, 即 x=-2(0,1)( 舍去 ).综上可得a1. 10 (2

12、)当方程 2ax2-x-1=0 在(0，1)内有两个解时，则0)41(, 1410, 0) 1(, 0)0(,0afaffa或,0)41(, 1410, 0) 1(,0)0(, 0afaffa容易解得实数a 不存在 . 综合 (1)(2), 知 a1. 变式训练若方程 ax2+3x+4a=0 的根都小于1，求实数a的取值范围 . 解： (1)当 a=0 时， x=0 满足题意 . (2)当 a0 时，设 f(x)=ax2+3x+4a. 方法一 :若方程 ax2+3x+4a=0 的根都小于1，则,0) 1 (, 123,01692afaa,6.00,5.10,4343aaaaa或或 0a43.

13、综上 (1)(2), 得 0a43. 方法二 :若方程 ax2+3x+4a=0 的根都小于1，则,0)1)(1(,2,016921212xxxxa,01)(,2,01692121212xxxxxxa,0134,23,01692aaa解得 00), 方程 f(x)-x=0 的两个根为x1、x2,满足 0 x1x2a1. (1)当 x(0,x1)时，求证： xf(x)x1；(2)设函数 f(x) 的图象关于直线x=x0对称，求证： x021x. 活动： 根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、 提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0 的两个根为x1、x2，可考虑把f(x)-x

14、 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系. 证明 :(1)x1、 x2是方程 f(x)-x=0 的两个根，且0 x1x20, 即 f(x)-x0. 又 f(x)-x=a(x1-x)(x2-x)a a1(x1-x)=x1-x,即 f(x)-xx1-x,故 0f(x)-xx1-x,即 xf(x)x1. (2)f(x)-x=ax2+(b-1)x+c, 且 f(x)-x=0 的两个根为x1、x2, 二次函数f(x)-x 的对称轴为x=221xx=ab21.21x=22122xaab. 又由已知，得x0=ab2，21x=x0+2212xa. 又 x20.故21x=x0+2

15、212xax0,即 x021x. 变式训练1.已知二次函数f(x) 满足 f(3-x)=f(3+x), 且其两零点分别为x1、x2,求 x1+x2. 解： 对任意x 都有 f(3-x)=f(3+x) ，函数f(x) 的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y) 关于 x=3 对称. 二次函数f(x) 的对称轴为x=3. x1、x2为二次函数f(x)的两个零点，x1+x2=6. 2.若函数 f(x) 满足 f(3-x)=f(3+x) ，且函数f(x) 有 6 个零点，求所有零点的和. 解： 同理函数 f(x) 的对称轴为x=3， 3(x1+x2)=18. 点评： 二次函数的双根与二次函数解析式的

16、关系是：若二次项系数为a,两个根为x1、x2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2). 二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x) 的对称轴为x=221xx. 12 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y=ex+4x-4 的零点的个数. 活动： 鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质. (1)利用 f(a)f(b)0 及函数的单调性.(2)作出 y=ex和 y=4-4x 的图象，把函数y=ex+4x-4 的零点的个数转化为方程ex=4-4x 根的个数，再转化为上

17、述两函数图象交点的个数. 解： (方法一 )利用计算机作出x，f(x) 的对应值表：x 0 1 f(x) -3 2.71828 由表和图可知， f(0)0, 则 f(0)f(1)0 ，这说明 f(x) 在区间 (0,1)内有零点 ,由于函数在定义域(-,+ )内是增函数，所以它仅有一个零点. (方法二 )作出 y=ex和 y=4-4x 的图象 (图 3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1. 图 3-1-1-10 总结 点评： 讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程 ;(2)画图象 ;(3)利用 f(a)f(b)0 ，得 m4. 综上，要使P 和 Q 同时成立，只需,41, 82mmm或解得实数m 的取值范围是 (4,8. 2.如果函数y=f(x) 在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)0 ，那么函数y=f(x) 在区间 (a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动： 学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析: 有没有零点？零点的个数是奇数还是偶数？解析 :零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间-3,3上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图 3-1-1-11). 图