三角形三边关系定理的应用

1、三角形三边关系定理的应用关于三角形三边关系，有下述定理：三角形任意两边之和大于第三边。其推论为：三角形任意两边之和小于第三边。这个定理及其推论在解题中有着较为重要的应用，下面举例说明，希望对大家学好这部分知识能有所帮助。一、判断三点是否共线例1：已知a、b、c三点，且ab=3，bc=5，ac=7。是判断这三点是否在一条直线上？解：ab+bc=3+5=8，ac=7，ab+bc >ac故a、b、c三点不在同一条直线上。二、已知三条线段，判断它们能否构成三角形例2：下列几组线段中，不能构成三角形的是（ ）a3.1，4.2，7 b2.8，14.7，18 c10，6，8 d6.8，5.3，12解析

2、：根据三角形三边关系定理，取较小的两边之和与最大边进行比较，只有2.8+14.7=17.5<18成立。所以本题应选b。三、求三角形的某一条边长（或取值范围）例3：等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把原三角形的周长分成两部分，其差为3cm，则腰长为（ ）a2cm b8cm c2cm或8cm d3cm解析：设腰长为acm，则根据题意有：(a+)(+5)=3或(+5)(a+)=3解之得：a=8或a=2。但当a=2时，2+2<5，应舍去。故本题应选b。例4：已知三角形的两边长分别为1、2，如果第三边的长为整数，那么第三边的长为_。解：设第三边长为x，则根据三角形的三边关系有：21&l

3、t;x<2+1，即1<x<3。x为正整数，第三边的长为2。四、讨论三角形的周长（或取值范围）例5：若三角形的两边长分别为7和1，且第三边长为整数，则此三角形的周长为_。解：要求三角形的周长，首先要求出第三边的长。设第三边的长为x，则据定理有：71<x<7+1，即6<x<8。又x为正整数，x=7故三角形的周长为：7+7+1=15。例6：三角形两边分别为a、b，且a<b，则周长的取值范围是（ ）a3a<<3b b2b<<2(a+b) c2a+b<<a+2b d以上都不对解析：a+b>c，2(a+b)>a

4、+b+c，即<2(a+b) 又a+c>b，a+b+c>b+b=2b，即>2b 比较、两式知：2b<<2(a+b)，故本题应选b。五、判断符合条件的三角形的个数例7：三角形的三边长都为自然数，其中一边是4（但不是最短边），这样的三角形共有_个。解析：设最短边为x，另一边为y，则有：1x3，且4x<y<4+x。当x=1时，y=4；当x=2时，y=3，4，5；当x=3时，y=3，4，5，6。故符合条件的三角形共有8个。六、讨论代数式的取值范围例8：若a、b、c是三角形的三条边，则代数式a22abc2+b2的值是（ ）a大于零 b等于零 c小于零 d不能

5、确定解：a22abc2+b2=(a22ab+b2)c2=(ab)2c2=(ab+c)(abc)a+c>b，ab+c>0；又a<b+c，abc<0。(ab+c)(abc)<0，故本题应选c。七、证明条件等式例9：已知在abc中，a216b2c2+6ab+10bc=0，若a、b、c是三角形的三边。求证：a+c=2b。证明：a216b2c2+6ab+10bc=0，(a2+6ab+9b2)(25b210bc+c2)=0 (a+3b)2(5bc)2=0(a+3b)+(5bc)(a+3b)(5bc)=0，即（a+8bc）(a2b+c)=0a+b>c，a+8bc>0

6、只有a2b+c=0，即a+c=2b。八、证明不等式a例10： 如图1，在abc中，d是bc边上的任意一点，求证：ab+bc+ac>2ad。bcd 图1证明：在abdhacd中，ab+bd>ad，ac+dc >ad，ab+(bd+dc)+ac >2adbd+dc=bc，ab+bc+ac>2ad。例11：如图2所示，p是abc内的任意一点。求证：pb+pc<ab+ac。abcpe 图2证明：延长bp交ac于e。ep+ec>pc，bp+ep+ec>bp+pc，即be+ec>bp+pc ae+ab>be，ae+ec+ab>be+ec 由

7、、可知pb+pc<ab+ac。 例12：如图1所示，p为边长为1的等边abc内的任意一点，设=pa+pb+pc。求证：1.5<<2。amnpbc 图3证明：ap+pb>ab，ap+pc<ac，bp+pc>bc2(ap+bp+cp)>ab+ac+bc=3，>=1.5过p作mnbc交ab、ac于m、n，pa<an，pb<bm+mp，pc<pn+ncpa+pb+pc<an+nc+mp+pn+bm=ac+mn+bm=ac+am+bm=ac+abpa+pb+pc<2，1.5<<2。练习： 长度分别为2，3，4，5的四条线段可确定多少个不同的三角形？ 边长分别为4和9的三角形是等腰三角形，试确定这个等腰三角形的底边和腰长。 已知一个三角形有两边分别为6和8，求这个三角