10.3 几个三角恒等式 原卷版

10.3几个三角恒等式【考点梳理】考点一：降幂公式的化简求值问题 考点二：辅助角公式的应用考点三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题考点四：三角恒等式变换判断三角形的形状考点五：三角恒等式变换中证明考点六：三角恒等式的实际应用考点七：三角函数的化简问题【知识点梳理】知识点一半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).知识点二辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【题型归纳】题型一：降幂公式的化简求值问题1．（21-22高一下·江苏镇江·期中）的值是（

）A． B． C． D．2．（21-22高三·云南昆明）已知，则（

）A． B．1 C． D．3．（22-23高一下·全国·单元测试）已知，求的值．题型二：辅助角公式的应用4．（24-25高一上·上海·期末）方程在上的解为.5．（23-24高一下·江苏淮安·期中）函数在区间上的最大值为．6．（23-24高一下·四川成都·期中）函数的最大值为．题型三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题7．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（

）A． B． C． D．8．（2024·云南大理·一模）已知，则（

）A． B． C． D．9．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（

）A． B． C． D．题型四：三角恒等式变换判断三角形的形状10．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，已知，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形11．（21-22高一·全国）在△ABC中，若，则△ABC是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形12．（21-22高一下·上海奉贤·期中）在中，若，则此三角形为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形题型五：三角恒等式变换中证明13．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明：.②在中，求证:.

（2）若，，求的值.14．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：；（2）化简：．15．（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式：(1)；(2)题型六：三角恒等式的实际应用16．（22-23高一下·四川达州·期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

17．（22-23高一下·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后?18．（22-23高一下·上海青浦）已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为.(1)当时，求矩形的面积的值.(2)求关于角的解析式，并求的最大值.题型七：三角函数的化简问题19．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求不等式的解集.20．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数．(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．21．（24-25高一下·安徽）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求关于的不等式的解集.【高分演练】一、单选题22．（24-25高一上·陕西西安·期末）（

）A． B． C． D．23．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则（

）A． B． C． D．24．（24-25高一上·广东深圳·期末）欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（

）．A．米 B．米 C．米 D．米25．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（

）A． B． C． D．26．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．27．（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（

）A． B．C． D．28．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题29．（24-25高一上·广东广州·期末）下列化简中，正确的是（

）A． B．C． D．30．（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（）A．= B．=C． D．=31．（24-25高一上·广东揭阳·期末）已知函数，则下列命题错误的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．的最小正周期为，且在上为增函数D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象32．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，且，则以下正确的有（

）A． B．值域为C．在上单调递增 D．33．（24-25高一上·福建莆田·期末）下列四个等式中正确的是（

）A．B．C．D．34．（24-25高一上·吉林长春·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形内接于扇形，记．则下列说法正确的是（

）A．弧PQ的长为B．扇形OPQ的面积为C．当时，矩形的面积为D．矩形的面积的最大值为三、填空题35．（24-25高一上·陕西榆林·期末）.36．（23-24高一下·全国）的值是..37．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的最大值为.38．（24-25高一上·全国）已知，且，则．39．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是；最小值是．

四、解答题40．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)当时，若的最大值为，求的值.41．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)解不等式；(3)若为锐角，且，求的值．42．（24-25高一下·安徽马鞍山）如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记(1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.(2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.43．（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）已知函数.(1)求该函数的单调递增