题目圆的方程

1、题目： 圆的方程高考要求： 1.掌握圆的标准方程和一般方程。 2.了解参数方程的概念 理解圆的参数方程。3.掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;4.掌握圆系方程并会运用它解决有关问题;5.灵活运用圆的几何性质解决问题。知识要点：1圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆2.圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3.圆的一般方程二次方程x2+y2+dx+ey+f=0（*）配方得（x+）2+（y+）2=把方程其中，半径是，圆心坐标是叫做圆的一般方程。（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点

2、：x2、y2项系数相等且不为零 没有xy项。（2）当d2+e24f=0时，方程（*）表示点（，）；当d2+e24f0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于d、e、f的三元一次方程组，可确定圆的一般方程。4.二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圆的充要条件若二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圆，则有a=c0，b=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分。在a=c0，b=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，仅当d2+e24af0时表示圆。故ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圆的充要条件是：a=c0，b=0，d2

3、+e24af05.线段ab为直径的圆的方程： 若，则以线段ab为直径的圆的方程是6.经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程。 7.经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线与圆的交点的圆系方程是：8.确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： ， （2）一般方程：，（ 题型讲解：例1.与点a(-1,0)和点b(1,0)连成直线的斜率之积为-1的动点p的轨迹为 a.x2+y2=1 b.x2-y2=1(x±1) c.x2+y2=1 (y0) d.y=例2(1)求经过点a(5,2),b(3,2),圆心在直线2xy3=0上

4、的圆的方程;(2)求以o(0,0),a(2,0),b(0,4)为顶点的三角形oab外接圆的方程解：(1)设圆心p(x0,y0),则有解得 x0=4, y0=5, 半径r=, 所求圆的方程为(x4)2+(y5)2=10(2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：d=2, e=4, f=0点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式例3. 求与轴x轴相切，圆心在直线3xy=0上，且被直线x-y=0截下的弦长2的圆的方程分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：法一：设所求圆点方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，则圆心

5、(a,b)到直线xy=0的距离为，即2r2=(a-b)2+14 由于所求圆与x轴相切，r2=b2 又所求圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0 联立解得 a=1,b=3,r3=9，或a=-1,b=-3,r2=9，故所求圆方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9法二：设所求圆点方程为x2+y2+dx+ey+f=0圆心为半径为令y=0，得x2+dx+f=0，由圆与x轴相切，得=0，即d2=4f 又圆心到直线x-y=0的距离为。由已知得，即(d-e)2+56=2(d2+e2-4f) 又圆心在直线3x-y=0上，3d-e=0 联立得d=-2,e=-6,f=1或d=2,e=6

6、,f=1故所求圆方程为x2+y2-2x-6y+1=0，或x2+y2+2x+6y+1=0点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或d、e、f；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数例4. 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程解：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是解方程组得交点a(11/5,2/5), b(3,2),利用圆的直径式方程得:(x+11/5)(x+3) +(y2/5)(

7、y2)=0,化简整理得 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5例5. 设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。解：配方得： 该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3，所求的轨迹方程是，点评：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中例6.已知点p(x,y)为圆 x2+y2=4上的动点，则 x+y 的最大值为_小结：1不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或d、e、f）的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a、b、r（或d、e、f）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值2求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选