抛物线的三个优美的弦方程

1、抛物线的三个优美的弦方程（任勇中国政法大学刑事司法学院侦查班102249）关于抛物线的压轴题在历年高考中屡见不鲜，特别是抛物线的弦和切线问题 常被设为考点。首先笔者向读者介绍一个形式优美的弦方程。设抛物线y2 = 2px（p > 0）±两点4（兀,必）、b（兀2，儿）。求弦的方程解：由于a、3均在抛物线上，所以二严|作差整理得，2心-兀2）-伉+以必-儿）=0而ab =（x -£，） 一儿），于是向量（2卩，一（）1 +旳）是处的法向量 设p（兀,y）是上任意点，于是ap =（x-兀,y - yj故 2p（x _ 兀）_ （% + 力 xy - x） = 0所以（x

2、+ yy-2px = b + 旳bi 一2px、=y2 +）彳-2px, = y,y2 因此弦ab的方程为yly2=（yi+y2）y-2px这就是我要说的弦方程。 接下来谈谈由弦方程推导出切线方程。i古i定人让b靠近a,当a、b重合时，弦ab变为抛物线的切线，方程变为 y,2 =2yy-2pxf 即2/叭=2y*-2/zr,也即= p（x + xj 这就是切线（特殊的弦）方程再接下来我们用切线方程推导出切点弦方程。过抛物线外一点q（x°,y。）作抛物线的两条切线，切点为a、b, 用q坐标表示出切点弦a3的方程解：q在a、b两处的切线上，于是有y* = p（x+坷）y2y = px+x

3、1）这表明a、b均在直线儿，=/心+兀0）上又因为过a、b两点有且只有一条直线 故切点弦ab的方程为y（）y = px + x0）下面通过儿个例子来看看这三个方程的伟大之处。例1已知抛物线b = 2px（p > 0）上两点a（兀i, y ）、b（x2, y2）,弦4b恒过焦点f 求证：y2=_#2证明：由弦方程得4b: y2 =（y + y2）y-2px将f（2,0代入得卩力=p212丿例2 抛物线y2 = 2pxp > 0）±a（xj,y）> b（x2,y2）, ab交y轴于c（0, y3）（y3 h0） 求证:丄+丄=丄y 儿 儿证明：将（o,yj代入弦方程得，

4、x” =4 +儿）比所以+ =丄例3 抛物线y2 =2px（/?>0）±两点a（兀,yj、bx2,y2）,弦ab恒过焦点f, a、b 两处的切线交于p,求证：p恒在抛物线的准线上 证明：设p（x（）,y（j由切点弦方程得ab： y（）y = 0（无+x（）»0代入得0=p（x +可x（）= -2故p恒在抛物线的准线上i 2丿 2例4抛物线y2 = 2pxp > o）±a（x, y ）> b（x2, y2处的切线交于点p（兀（）,儿） 求证：（1）> + y2 = 2j0 x/2=x（2）ap、bp垂直吋，p在抛物线准线上 证明：（1）由切点

5、弦方程得ab： yoy = px + x0）7" 消去兀，整理得），-2九丁+ 2刃0 =0儿丁二"（兀+兀0）所以必+丁2=2儿=2px0 牡 =巳可 =°化）=对2/2 2p 4pa、b处切线方程为y=#（x +兀j y2y = p（x + x2）|±lap> bp垂直，故於+必力=°，所以）卩2 "p? =2px° /.xo=-|-故p恒在抛物线的准线上 例5过抛物线y2 =2px（p>0）±一定点p（x°,yo）作两条弦pa、pb 求证：（1）pa、pb互相垂直时4b过定点，并求出该定

6、点（2） kpa + kpb ob'jy（ + 儿=2y（） kab ）o证法一：设3（兀2，力）显然以、斜率存在且不为零设pa方程为兀一无° 二附(y y°)贝0pb： x-x0 =_ (y-y0) mpa与)/ = 2“兀联立消去x得 y2 一2pmy + 2-x0) = 0 由根与系数关系得y + y()= 2pm :. x = 2pm - j()用-替换加，得y2 =-yqmm将以上两式代入弦ab方程yiy2=(yy2)y-2px整理得2#(y + y()仏-丄+ 4p2 -2yoy-2px-yl 二0由于加为变量,仁囂仁/得i mjy = -jo2兀=2

7、+ = xq +2/? 2pab过定点，该定点为（x° + 2-儿） 证法二:设axx,y）> b（兀2，儿）则 ：刃）卩=（儿+卩）歹一2兀 刖：儿儿=（儿+力）卩-2兀 ab:/% = b +丁2）歹一2/因为pa丄pb所以（2卩,一（儿+必）（2卩,一（儿+力）=0（法向量数量积为零） 结合y： =2“兀。整理成弦方程的形式得 y 1）?2 =5 + 儿）（-儿）-2卩（兀+兀0）与弦方程比较可知（兀+观，-儿）在弦ab上，由于兀0、儿为定值ab过定点，该定点为仇+ 2”, -儿）（2）证法一：显然pa、pb斜率存在且不为零 设p4:设pa方程为兀-x（） = m（y -

8、 y（）贝ijpb： x-x= -my - y（）fa与y2 = 2px联立消去兀得 y2 -2pmy + 2p（my0 -x0） = 0 由根与系数关系得y + yq = 2pm :. yx = 2pm - yq 用-加替换加，得y2 = -2pm - yq 故 y +2 = -2>o证法二：由弦方程得，kpa = kpb =x +九儿+儿.2p2p kpa = kpb = x + 力=_2）'ox + >0 儿 +）'o由弦方程得kal= =，得证x +儿 儿通过比较证法一和二，不难发现弦方程的斜率式比常规设斜率更简单。例6y2=2px （p>0）上三点心,yj、b（x2,y2）> p（x0,y0）ab过焦点f, pa. pb与 准线交于m、n,纵坐标为儿、儿求证：y3y4 = -p2）0九一卩2）0 +）2证明：pa:yqy =（yqy）y-2px pb:yqy2=（yq + y2）y-2px ab =（x +力）丿-20兀 将f彳,0代入ab得y2 =p2pa. pb分别与兀=左联立得 = mp2jo + 3;i故儿儿=川厂旷川2一=）沙+）心）心+山2 = y = -p2'九+必 儿+2儿+）'1