知识讲解离散型随机变量均值及方差(理)(基础)

1、离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念， 会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1. 定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xiPp1p2pi则称 Ex1 p1x2 p2xn pn为的均值或数学期望，简称期望要点诠释：（ 1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平（ 2 ）一般地，在有限取值离散型随机

2、变量的概率分布中，令 p1 p2pn ，则有 p1p2pn1( x1x2xn )1， E，所以 的数学期望又称为平均数、均值。nn（ 3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2性质： E()EE ；若ab (a 、 b 是常数 ) ，是随机变量，则也是随机变量，有E( ab) aEb ；E(ab)aEb 的推导过程如下：的分布列为x1x2xiax1bax2baxibPP1P2Pi于是 E( ax1 b) p1( ax2 b) p2(axib) pi a( x1 p1x2 p2x p)b( p1p2p) aEbiii E(ab)aEb 。要点二 ：离散型随机变量的方差与标准差1. 一组数据

3、的方差的概念：已知一组数据 x1 ， x2 ， ， xn ，它们的平均值为 x ，那么各数据与 x 的差的平方的平均数 S2 1 ( x1 x ) 2 (x2 x )2 ( xn x ) 2 叫做这组数据的方差。n2. 离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xiPp1p2pi则称 D ( x1E )2 p1 ( x2E ) 2p2 (xnE )2pi 称为随机变量的方差， 式中的 E 是随机变量的期望D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作要点诠释：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机

4、变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值） 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3. 期望和方差的关系：D E( 2) (E )24. 方差的性质：若ab (a 、b 是常数 ) ，是随机变量，则也是随机变量，DD( ab)a2 D；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p 的二点分布，则期望 Ep方差 Dp(1p).证明： P(0)q ,P(1)p, 0p 1, p q 1 E0 q1ppD(0p) 2q(1p) 2pp(1p).2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为 n, p

5、的二项分布，即 B(n， P), 则期望 EnP方差 Dnp(1- p)期望公式证明： P(k ) Cnk pk (1 p)n kCnk pk qn k ， E0Cn0 p0qn1Cn1 p1qn 12 Cn2 p2qn 2.k Cnk p kqn k. n Cnn pn q0 ，又 kC nkkn!(kn (n 1)!1)!nCnk 11 ，k!( nk)!1)!( n 1) (k Enp( Cn0 1 p0 qn 1 Cn1 1 p1 qn 2 Cnk 11 p k 1 q (n 1) ( k 1) Cnn 11 p n 1q 0 )np( pq) n 1np 3、几何分布 ：独立重复试验

6、中，若事件A 在每一次试验中发生的概率都为p ，事件A 第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且P(k)(1p)k 1 p ， k0,1,2,3, n,，称离散型随机变量服从几何分布，记作： P(k)g(k，P)。若离散型随机变量服从几何分布，且 P(k)g(k， P)，则期望E1 .p1- p方差 Dp2要点诠释： 随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为N , M , n 的超几何分布，则期望E( )nMN要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：理解的意义，写

7、出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；x1x2xiPp1p2pi根据分布列，由期望、方差的定义求出E、D、：Ex1 p1x2 p2xn pnDx1222Ep1 x2 Ep2xn EpnD .注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可2. 离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量1和2 ，当需要了解他们的平均水平时，可比较E 1 和 E 2 的大小。 E1 和 E2 相等或很接近，当需要进一步了解他们

8、的稳定性或者集中程度时，比较D 1 和 D 2 ，方差值大时，则表明 比较离散，反之，则表明 比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例 1 某射手射击所得环数 的分布列如下：78910Px0.10.3y已知 的期望 E 8.9 ，则 y 的值为 _【思路点拨】分布列中含有字母x、 y, 应先根据分布列的性质，求出x、 y 的值，再利用期望的定义求解；【解析】 x 0.1 0.3 y 1，即 x y0.6. 又 7x 0.8 2.7 10y 8.9 ，化简得7x10y 5.4. 由联立解得

9、x 0.2 ， y 0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式 1】某一离散型随机变量 的概率分布如下，且E（ ） =1.5，则 ab 为（）0123P0.1ab0.1A 0.1 B 0C 0.1 D 0.2【答案】 B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1 ， a+b=0.8 又 E（ ） =0× 0.1+1 × a+2× b+3× 0.1=1.5 ，即 a+2b=1.2 解得 a=0.4 ， b=0.4 ， a b=0【变式 2】随机变量 的分布列为024P0.40.30.

10、3，则 E(5 4) 等于 ()A 13B11C2.2D 2.3【答案】 A由已知得：E( ) 0×0.4 2×0.3 4×0.3 1.8 ， E(5 4) 5E( ) 45×1.8 4 13.【变式 3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5 元，销售价每束5 元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花 500 束，则期望利润是200300400500P0.200.350.300.15A.706 元B 690 元C 754 元D 720 元【答案】 A节日期间预售的量：E

11、 200×0.2 300×0.35 400×0.3 500×0.15 40 105 120 75 340( 束 ) ，则期望的利润： 5 1.6(500 ) 500× 2.5 3.4 450， E 3.4E 4503.4 ×340 450 706.期望利润为706 元【变式 4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且P(k)（），3，ak b k1,2,3,4E则 a b；【答案】 0.1 ；由分布列的概率和为1，有 (ab) (2 a b)(3a b) (4 ab)1 ，又 E3，即 1( a b) 2 (2a b) 3 (

12、3 a b) 4 (4 a b) 3 ，解得 a0.1， b0 ，故 a b 0.1。例 2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得 100 分假设这名同学回答正确的概率均为0.8 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响（ 1）求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布和数学期望；（ 2）求这名同学总得分不为负分（即X0）的概率【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。（ 1）求 X 的可能取值，即求得分，答对0 道题得 300 分，答对 1 道题得 100 200= 100 分，答对 2道题得 2&#

13、215;100 100=100 分，答对3 道题得 300 分；（ 2）总分不为负分包括100 分和 300 分两种情况【解析】（ 1） X 的可能取值为 300， 100，100， 300P（ X= 300） =0.2 3=0.008 。P（ X= 100） = C31 × 0.2 2×0.8=0.096 ，P（ X=100） =C32 × 0.2 × 0.82=0.384 ，P （ X=300） =0.8 3=0.512 所以 X的概率分布为X 300 100100300P0.0080.0960.3840.512E（ X） =( 300) ×

14、;0.008+( 100) ×0.096+100×0.384+300×0.512=180（ 2）这名同学总得分不为负分的概率为P （X0） =P（ X=100） +P（X=300）=0.384+0.512=0.896 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表举一反三：【变式 1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，罚不中得0 分，已知他命中的概率为0.7 ，求他罚球一次得分的期望【答案】因为 P(1)0.7, P(0)0.3 ，所以E1 0.700.3 0.7【变式 2】一盒中装有零件12 个，其中有9 个正品， 3 个次品，从中任取一个，如果

15、每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望【答案】设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0， 1， 2，3当0 时，即第一次取得正品，试验停止，则p(0)9312 4当1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则p(1)399121144当2 时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则p(2)3299121110220当3 时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则p(3)321911211109220分布列为0123p3991444220220 E03 192931344422022010【变式

16、 3】某城市出租汽车的起步价为10 元，行驶路程不超出4km 时租车费为 10 元，若行驶路程超出4km，则按每超出 lkm 加收2 元计费 ( 超出不足 lkm 的部分按 lkm 计 ) 从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程( 这个城市规定，每停车5 分钟按lkm 路程计费 ) ，这个司机一次接送旅客的行车路程 是一个随机变量设他所收租车费为() 求租车费 关于行车路程 的关系式；( ) 若随机变量 的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费 的数学期望( ) 已知某旅客

17、实付租车费38 元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【答案】( ) 依题意得 =2( -4)十 10，即 =2 +2 ；() E150.1 160.5170.318 0.116.4 =2 +2E2E +2=34.8（元）故所收租车费()由 的数学期望为34.8 元38=2 +2，得 =18 ， 5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15 分钟例 3若某批产品共100 件，其中有望、方差。【思路点拨】 3 次有放回的抽取就是布。【解析】由题知一次取出二等品的概率为20 件二等品，从中有放回地抽取3 件，求取出二等品的件数的期3 次独立重复试验，

18、取出二等品的件数这一随机变量服从二项分0.2 ，有放回地抽取3 件，可以看作3 次独立重复试验，即取出二等品的件数 B(3,0.2)，所以Enp30.20.6 ，Dnp(1p)30.2(10.2)0.48 .【总结升华】在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值举一反三：【变式 1】 英语考试有100 道选择题，每个题有4 个选项，选对得1 分，否则得0 分，学生甲会其中的20 道，学生乙会其中的80 道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望【答案】设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量X 和 Y，由题意知X B（ 80， 0.25 ）， YB（ 20， 0.25 ）

19、， E（ X） =80× 0.25=20 ， E（ Y） =20× 0.25=5 故甲、乙的数学期望成绩分别为40 分和 85 分【变式 2】 甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为1 ，乙每次击中目标的概率为2 ，记23甲击中目标的次数为 X，乙击中目标的次数为Y，（ 1）求 X 的概率分布；（ 2）求 X 和 Y的数学期望【答案】甲、乙击中目标的次数均服从二项分布3（1） P( X 0) C3011 ，283P( X1)C3113 ，283P( X2)C3213 ，28P(X 3) C33 131 。28所以 X的概率分布如下表：X0123P1331888

20、8（2）由（ 1）知 E( X )0 1132 3311.5 ，8888或由题意 XB3, 1， YB3, 2。23E(X) 311.5 ， E(Y) 3 22 。23【变式3】一次单元测验由20 个选择题构成，每个选择题有4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分 学生甲选对任一题的概率为 0.9 ，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则B(20,0.9), B(20,0.25) ,E200.9

21、18, E200.255由于答对每题得5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和 5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：E(5 )5E( )5 18 90, E(5) 5E() 55 25类型二、离散型随机变量的方差例 4.设 X 是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求E（ X）和 D（ X）X101P11 2qq22【思路点拨】由概率分布的性质求出q 的值后，再计算E（ X），D（ X）【解析】由概率分布的性质，得：1(12q)q2122012q1，得 q 1。0q212E(X)1 10(21)132 12 ，22D(X) ( 22) 21(1 2)2(21)(2)2322

22、1 。22【总结升华】 求随机变量的方差，应先明确随机变量的概率分布。然后利用均值与方差的定义列式计算举一反三：【变式 1】 设随机变量 X 的概率分布为X12nP111nnn求 D(X）。【答案】本题考查方差的求法可由分布列先求出X 的期望 E（ X），再利用方差的定义求之也可直接利用公式 D（ X） =E（ X2） E （ X） 2 来解解法一：E(X) 1 12 1n1(1 2n)1nnnnn(n1) 1n12n，2222 D1n 112n 11nn 11V(X)2n2n2n1 (1222n2 )(n1)(12n)n (n1)2n2 1 。n412解法二：由解法一可求得E(X )n12。

23、又 E(X2) 121221n21nnn1 (1222n2 )(n 1)(2n 1) ，n6 D2) E(X)2(n1)(2n1)(n1)2n21V(X) E(X6412。【变式 2】1 已知随机变量 的分布列如下表：101P111236（ 1）求 E（ ）， D（ ）， ；（ 2）设 =2 +3，求 E（ ）， D（ ）【答案】（ 1） E() x1 p1x2 p21111x3 p3 ( 1)01；2363D ( ) x1E( ) 2 p1 x2E( ) 2 p2 x3E( ) 2 p35 ，D ( )5 。93（2） E( )2E()3720，D( ) 4D( )。39例 5. 设某运动员

24、投篮投中的概率为p=0.6 （ 1）求一次投篮时，投中次数X 的数学期望和方差；（ 2）求重复 5 次投篮时，投中次数 Y 的数学期望和方差【思路点拨】（ 1）投篮一次可能中，也可能不中，投中次数X 服从两点分布； （ 2）重复投篮5 次的投中次数 Y 服从二项分布【解析】（1） X 服从两点分布，其分布列如下：X01P0.40.6所以 E（ X） =p=0.6 ， D（X） =p（1 p） =0.24 （ 2）由题设， Y B（ 5， 0.6 ）所以 E（ Y） =np=5× 0.6=3 ，D （ Y）=np（ 1p） =5×0.6 × 0.4=1.2 【总结升

25、华】对于两点分布、二项分布，可直接运用公式计算举一反三：【变式 1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，罚不中得0 分，已知他命中的概率为0.7 ，求他罚球三次得分的期望和方差。【答案】罚球三次可以看作3 次独立重复试验，即罚球三次得分 B(3,0.7)，所以 Enp3 0.72.1Dnp(1p) 30.7 (1 0.7) 0.63 .【变式 2】有 10 件产品 , 其中 3 件是次品 . 从中任取 2 件 , 若抽到的次品数为, 求X的分布列 , 期望和方差 .X【答案】类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用例 6.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X1 和 X

26、2，它们的概率分布分别为X012X01212P0.1a0.4p0.20.2b（ 1）求 a， b 的值；（ 2）计算 X1 和 X2 的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况【思路点拨】本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解（ 1）可直接由分布列的性质列式求解（ 2）利用定义求期望与方差【解析】（ 1）由分布列的性质知，0.1+a+0.4=1 ， 0.2+0.2+b=1 ，即 a=0.5 ， b=0.6 。（ 2） E（ X1） =0×0.1+1 ×0.5+2 × 0.4=1.3 ，E（ X2） =0× 0.2+1×

27、; 0.2+2 × 0.6=1.4 ，D（ X1） =(0 1.3)2×0.1+(1 1.3)2× 0.5+(2 1.3)2× 0.4=0.41，D（ X2） =(0 1.4)2×0.2+(1 1.4)2× 0.2+(2 1.4)2× 0.6=0.64。由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动大小（或离散程度）举一反三：【变式 1】A、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：问哪一台机床

28、加工质量较好.A机床B机床次品数 10123次品数 10123概率 P0.70.20.060.04概率 P0.80.060.040.10【答案】E 1=0× 0.7+1 ×0.2+2 × 0.06+3 × 0.04=0.44,E 2=0× 0.8+1 ×0.06+2 ×0.04+3 ×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差.D =（0-0.442（1-0.4422（ 3-0.442） ×0.7+） ×0.2+ （ 2-0.44） × 0.06+） × 0.04=

29、0.6064,1D =（0-0.442（1-0.4422（ 3-0.442） ×0.8+） ×0.06+ （ 2-0.44） ×0.04+） ×0.10=0.9264.2 D 1< D 2故 A 机床加工较稳定、质量较好 .【变式 2】有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/ 元1 2001 4001 6001 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X / 元1 0001 4001 8002 2002获得相应职位的概率P0.40.30.20.12根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪

30、家单位？【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1) 1 200 ×0.4 1 400 ×0.3 1 600 ×0.2 1 800 ×0.1 1400，D(X ) (12 1 400)2 (12 (12200 1 400) ×0.4 (1 400×0.3600 1 400) ×0.28001 400) ×0.1140 000 ；E(X ) 1 000 ×0.4 1 400 ×0.3 1 800 ×0.2 2 200 ×0.1 1400，2D(X2) (1000 1 400) 2×0.4 (1 400 1 400) 2×0.3 (1800 1 400) 2×0.2 (22001 400) 2×0.1 160 000.因为 E(X1) E(X2) ，D(X1)<D(X 2) ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位