2014-2015学年上海市松江区九年级(上)期中数学试卷

1、2014-2015学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. (4 分)已知在 RtAABC中，/ C=90°, AC=3, BC=4 则 tanA 的值为(B.2. （4分）若两个相似三角形的相似比为1: 3,则这两个三角形的面积比为（A.1:3 B. 1: 9 C.第 25页（共26页）3.（4分）若向量力与b均为单位向量，则下列结论中正确的是（A.i- B.a=1 C. b-1 D. | a |= |b |4.（4分）在平面直角坐标系xOy中有一点P （5, 12）,那么OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于（A.C.512D.)

2、1252米，她5. （4分）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为此时测得一建筑物在同一地面的影长为 40米，那么这个建筑物的高为（A. 20 米 B. 30 米 C. 40 米 D. 50 米D是BC中点，A已AD交CB的延长6. （4 分）如图，在 ABC中，/ BAC=90,线于E,则下列结论正确的是（A. AAED)AACB B. AAEEAACD C. BA&AACE D. AAECADAC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. （4分）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果a=4cm, b=5cm,那么c= cm.8. （4分）如果两地相距

3、500千米，那么在比例尺为1: 10000000的地图上它们 相距 cm.9. （4分）已知P是线段AB的黄金分割点（AP> BP）,那么爱的值为.10. （4 分）已知在 RtAABC中，/C=90°, AC=4, cotA得，则 BC的长是.11. （4分）在 ABC中，/ A、/B都是锐角，如果sinA±, cosB= ,那么/C=.12. （4分）向量W与单位向量；的方向相反，且长度为6,那么用向量W表示向量卜为为13. （4分）在4ABC与4DEF中，如果幽匹生 =,且 ABC的周长为12cm, DE EF DF 3 DEF的周长等于 cm.14. （4分）

4、如图，直线11、12、13分别交直线14于点A、B、C,交直线15于点D、E、F,且 11 / 12/ 13.如果 DE=5, EF=7, BC=q 那么 AB=.15. （4分）如图，点G是4ABC的重心，点D、E分别在边AB、AC上，DE过点 G,且DE/ BC,则图的值为.16. （4分）如图，在？ABCD中，E是AB延长线的一点，DE与边BC相交于点F,如果萼言，那么萼的值为AE 7 FC17. （4分）如图，已知在 RtAABC中，/ C=90°,正方形DCEF的顶点D、E、F分别在边AC BG AB上，如果AC=10, BC=6那么正方形DCEF的边长为.18. （4分）

5、如图，已知在 ABC中，AB=AC sinB之，将 ABC折叠，使点C与5点A重合，折痕DE交边BC于点D,交边AC于点E,则驶的值为.三、解答题：（本大题共7题，？f分78分）19.20.（10分）已知 a： b: c=2: 3: 4,求：;2b 的值.a+b+ c（10分）如图，已知两个不平行的向量己、b.先化简，再求作：1（3；+6工）.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21. （10分）如图，已知在梯形 ABCD中，AD/BC, E、F分别在AB、CD边上的点，AF交BC的延长线于点G,且罂/=J, EF=6 BC=9求AD的长.D2 rU J点，且AC=DC4cosB二5,

6、AB=10,点D是BC边（1）求BD的长;23. （10分）如图，点 D、E分别在 ABC的边 AB、AC上，AD=4, BD=5, DE/BC, /ACD=Z B.(1)求边AC的长；(2)若 S>A ADE=2,求 Sa BCD 的面积.24. （14分）如图，在梯形ABCD中，AD/BC, / DCB=90,点E是边AB的中点,联结DE,延长DE交CB的延长线于点F, / CBA=2/ F,且AC=BC（1）求证： FBEAEFC25. （14分）在矩形 ABCD中，AB=4, BC=5 P是射线BC上的一个动点，作 PE ±AP, PE交射线DC于点E,射线AE交射线B

7、C于点F,设BP=x, CF=y（1）当sin/APB”时，求CE的长；（2）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关 系式，并写出它的定义域；(3)当时，求CF的长.DEP CAP 2B2014-2015学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. （4分）（2014秋?松江区校级期中）已知在RtAABC中，/C=90°, AC=3, BC=4则tanA的值为（）AV B- - c i D-【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可.【解答】解：如图所示：.在 RtABC中

8、，/C=90, AC=3 BC=4 tanA=El 二二 .AC 3【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键.2. （4分）（2014秋？松江区校级期中）若两个相似三角形的相似比为 1: 3,则这两个三角形的面积比为（）A. 1:3 B. 1: 9 C. 1* 6 D. 1: 6【分析】由两个相似三角形的相似比为 1: 3,根据相似三角形的面积比等于相 似比的平方，即可求得这两个三角形的面积比.【解答】解：二.两个相似三角形的相似比为1: 3,这两个三角形的面积比为1： 9.故选B.【点评】此题考查了相似三角形的性质. 此题比较简单，注意掌握相似三角形的 面积比等于相似

9、比的平方定理的应用.3. （4分）（2010?徐汇区一模）若向量W与E均为单位向量，则下列结论中正确的是（）A. a二bB. a=l C. b=1D.【分析】根据单位向量的定义，因为向量 而与芯均为单位向量，可得出 面=1,|母=1,即用二|吊| .【解答】解：由向量的定义可知：向量：与E均为单位向量，可得I ；l=i, I i,l=i,即I a 二|川.故选D.【点评】此题主要考查了单位向量的定义， 以及其性质，此类型题目是本部分基 础题目，应注意正确的掌握其性质.xOy中有一点P （5,4. （4分）（2014秋？松江区校级期中）在平面直角坐标系12）,那么OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值

10、等于（A.|13【分析】C.512D.125根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可.解：过点P作PA!x轴于点A,- P (5,OA=5,PA=1Z .OP=13OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值为：sin/POA=1. JL故选：A.【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键.5. （4分）（2015秋？黄浦区期中）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在 地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为 40米，那么这个 建筑物的高为（ ）A. 20 米 B. 30 米 C. 40 米 D. 50 米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的

11、两个物体，影子，经过 物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设建筑物的高度为xm,则可列比例为：L 5= k 解得：x=30,故选：B.【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得 出是解题关键.6. （4 分）（2000?®庆）如图，在 ABC中，/ BAC=90, D是 BC中点，AE，AD交CB的延长线于E,则下列结论正确的是（）A. AAEDAACB B. AAEBAACD C. BA&AACE D. zAEgADAC【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DA=Dq则/ D

12、AC=ZC,再利用等角的余角相等得到/ EABWDAC,从而有/ EABWC,再加上公共角即可判断 BAEAACE【解答】解：vZ BAC=90, D是BC中点，；DA=DQ；Z DAC2 C,又AHAD,Z EAB-Z BAD=90 , Z CACH-Z BAD=90, / EAB± DAC, Z EAB2 C,而/E是公共角，ABAEVA ACE故选C.【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定定理的掌握和应用.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. （4分）（2014秋？松江区校级期中）已知线段 c是线段a、b的比例中项，如果 a=4cm, b=5cm,那么 c

13、=_二调_cm.【分析】根据比例中项的概念，得c2=ab,再利用比例的基本性质计算得到 c的 值.【解答】解：二线段c是线段a、b的比例中项，c?=ab,又 a=4cm, b=5cm? c?=ab=20,解得c=± 2乓.又7C为线段的长度，；C=-2旄舍去；即 c=2f5cm.故答案为的.【点评】此题考查了比例中项的定义，理解比例中项的概念：当比例式中的两个 内项相同时，即叫比例中项.根据比例的基本性质进行计算.8. （4分）（2014秋？松江区校级期中）如果两地相距 500千米，那么在比例尺为1: 10000000的地图上它们相距 5 cm.【分析】由比例尺定义可知，图上距离=实

14、际距离X比例尺，依题意列式即可得 出图上距离.【解答】解：根据图上距离=实际距离X比例尺，得图上距离=500 + 10000000=0.00005 （千米）=5 （cm）,故答案为5.【点评】本题考查了比例尺，熟练运用比例尺进行有关计算，注意单位的转换.9. （4分）（2014秋？松江区校级期中）已知P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）, 那么更L的值为恒士.AB 一 2 一【分析】直接根据黄金分割的定义求解.【解答】解：: P是线段AB的黄金分割点（AP> BP）,AP=AB,2即更正L.AB 2【点评】本题考查了黄金分割：把线段 AB分成两条线段AC和BC （AO BC）,

15、且使AC是AB和BC的比例中项（即AB: AC=AC BC）,叫做把线段AB黄金分割， 点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC亚UaB= 0.618AB,并且线段AB的2黄金分割点有两个.10. （4分）（2014秋？松江区校级期中）已知在RtABC中，/C=90°,AC=4,cotA* ,则BC的长是 8 .【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可.【解答】解：如图所示: .在 Rt ABC中，/C=90, AC=4 cotA2cotA= =BC 2BC=8故答案为：8.【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键.11. （4分）（2014秋

16、?松江区校级期中）在 ABC中，/ A、/ B都是锐角，如果sinA二,cosB= 那么 / C= 105° .22【分析】根据特殊角的三角函数值求出/ A、/B的度数，然后求出/ C.【解答】解：sinA=, cosB=, ./A=30°, /B=45, ./ C=180-30°-45 =105°.故答案为：105°.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的 三角函数值.12. （4分）（2014秋?松江区校级期中）向量二与单位向量彳的方向相反，且长度为6,那么用向量u表示向量目为且二-6e .【分析】根据相反向

17、量的定义解答即可.【解答】解：二.向量后与单位向量瓜的方向相反，且长度为6,故答案为：3=- 6u.【点评】本题考查了平面向量，理解相反向量的意义是解题的关键.13. （4分）（2014秋?松江区校级期中）在4ABC与4DEF中，如果&L&LaL理 DE EF DF 3且 ABC的周长为12cm, DEF的周长等于 9 cm.【分析】根据已知条件直接证明 ABBDEF,借助相似三角形的性质列出关 于周长的比例式，即可解决问题.【解答】解：设ABG zDEF的周长分别为卜区,M=bc=ac=4,DE EF DF 3 .ABg DEE k 厂4 3,而入=12a =9（cm）.故答

18、案为9.【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答.14. （4分）（2014秋？松江区校级期中）如图，直线11、12、13分别交直线14于点【解答】解:改EF,代入可求得AB.A、B、C,交直线 15 于点 D、E、F,且 11/12/13.如果 DE=5, EF=% BC=6,那么.-11 / 12/ 13,胆=DE BC=EFAB_5=7，AB=30故答案为:【点评】本题主要考查平行线分线段成比例,掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.15. （4分）（2014秋?松江区校级期中）如图，点 G是4ABC的重心，

19、点D、E 分别在边AB AC上，DE过点G,且DE/ BC,则的值为 2: 3 .RC【分析】根据三角形的重心性质，结合三角形的中位线定理以及平行线分线段成比例定理知：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.【解答】解：.三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍 .DE: BC=2 （2+1） =2: 3.故答案为：2: 3.【点评】此题考查了三角形的重心的概念和三角形的重心的性质，属于基础题，难度不大.16. （4分）（2014秋？松江区校级期中）如图，在？ABCD中，E是AB延长线的一 点，DE与边BC相交于点F,如果兽率那么黑的值为【分析】由平行四边形的

20、性质可得*铸，再根据已知旨,，且AE=CD+BE,代入可求得答案.【解答】解：二四边形ABCD为平行四边形, . AB=CD 且 AB/ CD,CD+BE 7BE = 3而又AB/ CD, -CF CD。故答案为：卷.【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是 解题的关键，注意平行线分线段成比例性质的应用.17. （4分）（2014秋？松江区校级期中）如图，已知在 RtAABC中，/ C=90°,正 方形DCEF勺顶点D、E、F分别在边AC、BG AB上，如果AC=10, BC=6,那么 正方形DCEF勺边长为【分析】证明ADMAACE5,列出比例式即可解

21、决问题.【解答】解：二四边形DCE四正方形，DF/ BC, DC=DF （设为 力， .ADMAACB, AD=10- % AD: AC=DF BC,而 BC刊即（10-力：10=入:6,解得：入号，故答案为L.4【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、正方形的性质等几何知识 点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对 综合运用能力提出了一定的要求.18. （4分）（2014秋?松江区校级期中）如图，已知在 ABC中，AB=AC sinB二5将 ABC折叠，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D,交边AC于点E,【分析】如图，作辅助线；证明/ C=Z B；

22、进而得到sinC=sinB=,5设DE=3k,表示出DG AC的长；运用勾股定理求出 CF的长度，即可解决问题.【解答】解：如图，过点A作AF,BC于点F;v AB=ACBF=CF ZC=Z B;由题意得：AE=CE DEX AC;: sinBsinC=sinB=-5AF 3设 DE=3k,则 DC=a, EC=4, AC=W;.A哼；由勾股定理得：CF2=AC2 AF2- nc-32 人BD=2CF CD=-L,解题的关键是灵活运用【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题; 翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答.三、解答题：（本大题共7题，？f分78分）19. （10分）（2014

23、秋淞江区校级期中）已知 a： b: c=2: 3: 4,求=生的值. a+b+c |【分析】根据比例的性质，可用a表示b,可用a表示c,根据分式的性质，可 得答案.【解答】解：由a： b: c=2: 3: 4,得 2b=3a, 2c=4a.I，C=2a-a-2X a-2b §_J 2 0-6 a. _ 4a表示出b,用a表示出c.+2：=2a+3H+4a =【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质用20. （10分）（2014秋淞江区校级期中）如图，已知两个不平行的向量 a、|b.先化简，再求作:向量）3-2（3：标）.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的【分析】首先利用平面向

24、量的运算法则化简此向量,然后利用三角形法则画出此【解答】解：如图:【点评】此题考查了平面向量的运算与画法.此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用.21. （10分）（2014秋淞江区校级期中）如图，已知在梯形 ABCD中，AD/ BC, E F分别在AB CD边上的点，A-BC的延长线于点G，嘲挈替EF=6【分析】根据平行线分线段成比例定理求出 BG的长，再根据BC=9,求出CG的 长，从而得出AD的长.EF/ BG,BG=1§ . CG=6品6 3'AD=4.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例定理求 出BG的长是解决本题的关键.22. （10分

25、）（2014秋？松江区校级期中）如图，在 ABC中，/C=90°,AB=10,点D是BC边上一点，且 AC=DC（1）求BD的长;(2)求 cot/BAD的值.【分析】（1）根据余弦值可求得BC,由勾股定理可求得AC,则可求得BD的长;（2）过D作DEL AB于E,在RtA BDE中可求得 DE和BE,可求得 AE,在RtA ADE中可求得cot/BAD.【解答】解：（1） ./C=90, cosB=-,.平即风旦AB 510 5解得BC=&在RtABC中，AB=10, BC=自由勾股定理可求得 AC=6, . CD=AC=6BD=BC- CD=8- 6=2;(2)如图，过D

26、作DEX AB于E,即理=1BE 52 5解得BE=,5WJ AE=10-昌江，5 5在RtBDE中，BD=2 BE=k 由勾股定理可求得 DE.， 5542在 RtAADE中，cot/ BAD=E = ? =7.DE5【点评】本题主要考查三角函数的定义，掌握在直角三角形中正弦一那边 七印对边 人间邻边曰缺日而,?林=W、正切苕迈'示切高迈7B解就的关键.对边而余弦23. （10分）（2014秋淞江区校级期中）如图，点 D、E分别在 ABC的边AB、AC上，AD=4, BD=5, DE/ BC, / ACD=Z B.（1）求边AC的长；（2）若 & ADE=2,求 Sa BCD

27、 的面积.【分析】（1）因为DE/ BC,所以4人口匕AABC,利用相似三角形的性质：对应 边的比值相等即可求出AC的长；（2）由（1）可知4人口匕AABC,所以可得到 ABC的面积，利用高相等的三 角形面积之比等于底之比可求出 DEC的面积，进而可求出 &BCD.【解答】解：(1)DE/ BC,. .AD&AABC, .AD: AB=AE AC,. AD=4, BD=5, .AE: AC=4: 9,v DE/ BC, / B=/ ADE,/ACD玄 B. /ADE之 ACD,v / A=/ A,. .AD&AACD, .AD: AC=AE AD, . AD2=AC?A

28、E即 16AC2, 9 . AC=6(2) . AD&AABC, $ade=2,S ABC=, % AE: CE=4 5, Saade=2,SkDE(=-, 2【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及平行线的性质， 熟悉相似三角 形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键， 题目的综合性较强， 难度不小.24. （14分）（2014秋？松江区校级期中）如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC, / DCB=90,点E是边AB的中点，联结DE,延长DE交CB的延长线于点F, / CBA=2 /F,且 AC=BC（1）求证： FBEAEFC（2）求证：D（?=AD?FC【分析】

29、（1）由条件可证明 AE庐ABEF5可得E为DF的中点，由直角三角形的性质可知EF=EC可得到/ F=/ FEBW ECF可证明 FBE EFC（2）根据（1）的过程及条件可求得/ F=/ ECF=30,可求得/ ACD=30,可证得 ADBADCF根据相似三角形的性质可证得结论.【解答】证明：（1） V AD/ BC, /ADF之 EFB.E为AB中点, . AE=BE在AAED和ABEF中，ZADF=ZEFBZAED=ZBEF,AE=BE. .AEg ABEF （AAS ,EF=DE/ DCB=90,CE=EF / F=/ ECFvZ CBF=Z F, / F=/ FEB ./ FEB?

30、ECF 且 / F=/F,.FBa AEFC（2） . AC=BC E为 AB 中点， CEL AB,丁. / CEB=90, ./ ECB-ZEBC=90,又由（1）可得/ EBC=2/ ECB / F=/ ECBW ECA=30,/ DCB=90, ./ DCA=30,丁. / DCA=Z F,又. / AD/ BC, ./ADC+/DCB=180, /ADC之 DCF=90, .ADB ADCF.上DC CF . DC2=AD?FC【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是 解题的关键，即两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等， 两个三角形有 两组角对应相等，两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似.25. （14分）（2014秋?松江区校级期中）在矩形 ABCD中，AB=4, BC=5 P是射 线BC上的一个动点，作PE±AP, PE交射线DC于点E,射线AE交射线BC于点 F,设 BP=k CF=y（1）当sin/APB"时，求CE的长；（2）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关 系式，并写出它的定义域；（3）当空&时，求CF的长.A DAtD密C、那'