西安交大复变函数课件2-2函数解析的充要条件

1、第二节 函数解析的充要条件 一、主要定理二、典型例题三、小结与思考2一、主要定理一、主要定理定理一定理一. , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf 点满足柯西黎曼方程点满足柯西黎曼方程并且在该并且在该可微可微在点在点与与件是件是可导的充要条可导的充要条内一点内一点在在则则内内定义在区域定义在区域设函数设函数柯西介绍柯西介绍黎曼介绍黎曼介绍3证证(1) 必要性必要性., )( , ),(),()( 可导可导内一点内一点在在且且内内定义在区域定义在区域设设yixzDzfDyxivyxuzf 0, yixz则

2、对于充分小的则对于充分小的,)()()()( zzzzfzfzzf 有有, 0)(lim 0 zz 其中其中,)()( viuzfzzf 令令,)(ibazf , )(21 iz 4 viu 所以所以)(iba )(yix )(21 i )(yix )()(1221yxyaxbiyxybxa , 21yxybxau 于是于是.12yxyaxbv , 0)(lim 0 zz 因为因为100lim yx所以所以200lim yx, 0 5 , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与由此可知由此可知yxyxvyxu. , xvyuyvxu 且满足方程且满足方程(2) 充分性充分性. )()(

3、zfzzf),(),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu , viu 由于由于 , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与又因为又因为yxyxvyxu6, 21yxyyuxxuu 于是于是, 43yxyyvxxvv )4 , 3 , 2 , 1( , 0lim 00 kkyx 其中其中 )()( zfzzf因此因此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu 7 )()(zfzzf )(yixxvixu.)()(4231yixi , , 2xvixvyuyvxu 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 zzfzzf)()( xvixu.)()(4231zyizxi 8 , 1,

4、1 zyzx因为因为, 0)()(lim42310 zyizxiz zzfzzfzfz)()(lim)( 0所以所以.xvixu . ),(),()( 可导可导在点在点即函数即函数yixzyxivyxuzf 证毕证毕9 : ),(),()( ,处的导数公式处的导数公式点点在在可得函数可得函数根据定理一根据定理一yixzyxivyxuzf .1)(yvyuixvixuzf 内解析的充要条件内解析的充要条件函数在区域函数在区域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且满足柯西黎曼方并且满足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数

5、定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf 10解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(内解析内解析在在的充要条件可以断定的充要条件可以断定那么根据解析函数那么根据解析函数方程方程并满足并满足可微可微因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在内内在在中中如果复变函数如果复变函数Dzfy

6、xvuDvuivuzf 11二、典型例题二、典型例题例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 12)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导

7、数均连续均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数13)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析14例例3 解解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxib

8、yaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求15例例4 . 0 0 )( 不可导不可导西黎曼方程但在点西黎曼方程但在点满足柯满足柯在点在点证明函数证明函数 zzxyzf证证, )( xyzf 因为因为0, , vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方

9、程在点柯西黎曼方程在点 z16 , 趋于零时趋于零时沿第一象限内的射线沿第一象限内的射线但当但当kxyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 变化变化随随 k , 0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfzfz . 0 )( 不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf17例例6. )( , )( 内为一常数内为一常数区域区域在在则则内处处为零内处处为零在区域在区域如果如果DzfDzf 证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常数常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf18参照以上例题可进一步证

10、明参照以上例题可进一步证明: . , )( 则以下条件彼此等价则以下条件彼此等价内解析内解析在区域在区域如果如果Dzf ;)( )1(恒取实值恒取实值 zf; 0)()2( zf ;)( )3(常数常数 zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf;)7(2uv .)( arg )8(常数常数 zf19例例7 7. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121为常数为常数其中其中必相互正交必相互正交与与那末曲线族那末曲线族且且为一解析函数为一解析函数设设cccyxvcyxuzfivuzf 证证 )( zf因为因为, 01 yuiy

11、v , 不全为零不全为零与与所以所以yuyv , 都不为零都不为零与与如果在曲线的交点处如果在曲线的交点处yuyv 根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,20线的斜率分别为线的斜率分别为中任一条曲中任一条曲与与曲线族曲线族 ),( ),( 21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相互正交相互正交与与故曲线族故曲线族cyxvcyxu . , , , , 它们仍然相互正交它们仍然相互正交一条是铅直的一条是铅直的另另的切线一条是水平的的切线一条是水平的两族中的曲线在交点处两族中的

12、曲线在交点处则另一个必不为零则另一个必不为零中有一个为零中有一个为零和和如果如果yyvu21三、小结与思考三、小结与思考 在本课中我们得到了一个重要结论在本课中我们得到了一个重要结论函数函数解析的充要条件解析的充要条件:黎曼方程黎曼方程并且满足柯西并且满足柯西内可微内可微在在与与 , ),( ),(Dyxvyxu. , xvyuyvxu 掌握并能灵活应用柯西掌握并能灵活应用柯西黎曼方程黎曼方程.22思考题思考题? ),(),()( 解析时应注意什么解析时应注意什么用柯西黎曼条件判断用柯西黎曼条件判断yxivyxuzf 23; , :R-Cxvyuyvxu 条件条件其次再看是否满足其次再看是否满足 ; ),( ),( 内是否可微内是否可微在在和和首先判断首先判断Dyxvyxu思考题答案思考题答案 . )( 的解析性的解析性最后判定最后判定zf放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .24Augustin-Louis CauchyBo