万有引力双星与三星问题

1、专题：“双星”及“三星”问题【前置性学习】图11. 甲、乙两名溜冰运动员 m甲=70kg, m乙=36 kg，面对面拉着弹簧秤做 圆周运动的溜冰表演（如图1）,两人相距0.9 m,弹簧秤的示数为21 N,F列判断正确的是（）A.B.C.D.1 m/srad/s0.45 m0.6 m,乙为 0.3 m两人的线速度相同，约为 两人的角速度相同，为 两人的运动半径相同，为 两人的运动半径不同，甲为学习目标1.新知探究一、“双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在 天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。1. 要明确双星中两颗子星做匀速

2、圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。2. 要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。3. 要明确两子星圆周运动的动力学关系。设双星的两子星的质量分别为M和M,相距L, M和M的线速度分别为 V1和V2,角速度分别为3 1和3 2,由万有引力定律和牛顿第二定律得:M：M1M 2v22G甘M汙2M：GM1M2L2=M

3、2V2r2在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星 间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。32M24. “双星”问题的分析思路质量m, m；球心间距离L;轨道半径r 1 , a ；周期干，T2 ；角速度3 1, 3 2线速度V V2； 周期相同：| （参考同轴转动问题）角速度相同：（参考同轴转动问题）3 1 = 3 2向心力相同：Fn 1=Frt（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供， 可理解为一对作用力与反作用力）r1: r2=m： m轨道半径之比与双星质量之比相反：| （由向心力相同推导）2 2m 3 r 1=m>3 r2mr

4、 1=m2r 2 r 1：r 2=m:m1线速度之比与质量比相反:（由半径之比推导）S:V2=m:m12= 3 r 2Vi = 3 r 1V:V2=ri：r 2=m>:mi、"三星”问题有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道 运行，三星运行周期相同。&例题精析二，质【例题1】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作 用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为 量分别为：

5、和二，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3 ）双星的线速度。分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同 时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径 不相等。解：设行星转动的角速度为，周期为1（1）如图，对星球*由向心力公式可得:同理对星球有:两式相除得：，f.（即轨道半径与质量成反比）又因为'1 f所一，'7"2"T = f 上(2)因为 ：.，所以 -（3）因为丁二計，所以2)说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（ 轨道半径不等于引力距离

6、（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意 图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。【例题2】（01北京.08宁夏卷）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R其运动周期为T,求种设三两星的总质量。（引力常量为G解；设商岸炳耳分别为都绕连线卜.。点作周期为丁的圈周承动星球】和星球7到0的距离分别为.和由 万有引力定律和牛顿第二定律廉几何务件可得【例题3】宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:种是三颗

7、星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。颗星质量相等，每个星体的质量均为 m（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期假设第二种情况下星体之间的距离为R,求星体运动的线速度和周期(1)第一；MJ&兀下.厢伸n受星暉R列宦用匚原的万巾丐1力，富们时汁力 扰沧当14山力+纽竦也U 卅剃赵方超;dm Cijutrj衲sgZ在Stt二神情昭下星袒IH曲和禺外R,那么属昨卅2包尹希.星低的合力加仏“啤.側弃啤“兰N-H' 榊"磨亠自我测评1.两颗靠得很近的天体称为双星，它们

8、都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。B它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。C它们做圆周运动的半径与其质量成正比。D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=r 3得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由GM' Mi，GM；M2 W2 2可知:Mm2 WO2 , 所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的

9、质量也是成反比的。正确答案为：BDb2. (2010 全国卷I )如图，质量分别为 m和M的两个星球A和B 在引力作用下都绕 0点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和0三点始终共线，A和B分别在0的 两侧引力常数为 G(1) 求两星球做圆周运动的周期；(2) 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为Ti.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为 Ta.已知地球和月球的质量分别为5.98 X 1024 kg和7.35 X 1022 kg.求T2与Ti两者平方之比.(

10、结果保留3位小数)解析：(1)设两个星球 A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R,相互作用的引2力大小为f,运行周期为T.根据万有引力定律有MmR+ r由匀速圆周运动的规律得 f = %罕)2r2 n 2 f = M）2R由题意有L= R+ rL3 G M+ m(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心联立式得 T= 2 n0不在地心，月球做圆周运动的周期可Ti = 2 n式中，ML' 3G M + m和m分别是地球与月球的质量,在地球的引力作用下绕地心做匀速圆L'是地心与月心之间的距离若认为月球周 运动，贝y= m( 2Tn)电，式中，T2为月球绕地心运动的周期.由

11、式得T2= 2 n由式得(T2)2=i+m代入题给数据得(亓)2= 1.0123. 用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我 们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M两者相距L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。(1) 计算该双星系统的运动周期T计算。(2) 若实验上观测到的运动周期为T观测，且 T观测：T计算 =1: N (N>1)，为了解释 T 观测与T

12、计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质， 而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密 度。解析：(1)双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引力和牛顿第二定律得：gm2 m .2L ,而，Y：-2：。解得：T 计算一二 L.2L / . GM 。G L2 _ 2T(2)因为T观测二1T计算<T计算，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着 . N的暗物质引起的，设这种暗物质质量为 M ,位于两星连线中点处的质

13、点对双星的影响相同,这时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和M'对双星的万有引力提供，所以有：2兀2 / 2G M , G MM _ M 观测L，又观测l/2 2 二2T观测解得暗物质的质量为：M】（N 1） M /4而暗物质的体积为：V = 4 - ）332所以暗物质的密度为：；=3（N -1）M /（2二L3）4. （2006天津理综卷第25题）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体， 探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMC 3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星 B构成。两星视为质点，不考虑其它 天体的影响，A、B围绕两者连线上的 0点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，女口 图所示。引力常量为 G由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期To（1）可见星a所受暗星b的引力fa可等效为位于 o点处质量为 m的星体（视为质点） 对它的引力，设 A和B的质量分别为 m、册，试求m 的表达式（用 m、m表示）；（2）求暗星B的质量m与可见星A的速率v、运行周期T和质量m之间的关系式；（3） 恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m的2倍，它将有可能成为黑洞。若54可见星A的速率v= 2.7 X 10 m/s，运行周期 T= 4.7 n X 10 s，质量m= 6m,试通过估算来 判断暗星 B有可能是黑洞