数字信号处理第二章PPT

1、第二章第二章 时域离散信号和系统的时域离散信号和系统的频域分析频域分析2.1 2.1 引言引言信号、系统信号、系统 分析分析时间分布时间分布上上的特性，的特性， 直观，物理概念比较清楚直观，物理概念比较清楚 分析分析频率分布频率分布上的特性，上的特性， 换个视角观察换个视角观察时域上分析时域上分析频域上分析频域上分析FT、ZTIFT、IZT傅里叶及傅里叶变换傅里叶及傅里叶变换l 傅里叶傅里叶( ( FourierFourier）：一位法国数学）：一位法国数学家和物理学家（家和物理学家（1768-1830)1768-1830) l 18071807年，在法国科学学会上发表了一篇关于年，在法国科学

2、学会上发表了一篇关于描述描述温度分布温度分布的论文。论文里提出：任何连续周期信的论文。论文里提出：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。l 这是一个在当时具有争议性的观点。这是一个在当时具有争议性的观点。傅里叶及傅里叶变换傅里叶及傅里叶变换l 法国科学学会屈服于拉格朗日的威法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，论文未能发表，直到拉格朗日望，论文未能发表，直到拉格朗日死后死后1515年才获同意，并发表出来。年才获同意，并发表出来。l 审稿投票时，拉普拉斯和其他审稿投票时，拉普拉斯和其他审稿者同意发表，但拉格朗日审稿者同意发表，但拉格朗日坚决反对。坚决反

3、对。拉普拉斯拉普拉斯拉格朗日拉格朗日傅里叶及傅里叶变换傅里叶及傅里叶变换l 在在审稿投票审稿投票之后的近之后的近50年的时间里，拉格朗日坚年的时间里，拉格朗日坚持认为：持认为： 傅里叶的方法，无法表示带有棱角的信号，傅里叶的方法，无法表示带有棱角的信号，如波形中出现非连续变化斜率的方波，等。如波形中出现非连续变化斜率的方波，等。傅里叶及傅里叶变换傅里叶及傅里叶变换l 严格说，拉格朗日是对的：严格说，拉格朗日是对的： 任意多的正弦曲线，都无法任意多的正弦曲线，都无法组合成一个带有棱角的信号。组合成一个带有棱角的信号。 拉格朗日拉格朗日傅里叶及傅里叶变换傅里叶及傅里叶变换l 但是，我们可以用若干正

4、弦曲线来非常接近地但是，我们可以用若干正弦曲线来非常接近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别。表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别。基于此，傅里叶是对的。基于此，傅里叶是对的。 傅里叶傅里叶傅立叶变换和傅里叶级数的关系傅立叶变换和傅里叶级数的关系l 傅里叶级数针对的是周期函数傅里叶级数针对的是周期函数l 傅里叶变换针对的是非周期函数傅里叶变换针对的是非周期函数 傅里叶变换是傅里叶级数的扩展傅里叶变换是傅里叶级数的扩展傅里叶傅里叶2.2.1 2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换时域离散信号的傅里叶变换 的的定义定义定义定义为为x(n)的傅里叶变换（的傅里叶变换（FT）。jj(e )(

5、)ennXx n(2.2.1)设设 时域序列时域序列 x(n)，傅里叶傅里叶变换核变换核-jecosjsinnnnFT: FT: 数字频率数字频率 的函数的函数, , 反映了构成反映了构成 x(n)的频率的频率为为 的谐波的含量。的谐波的含量。 上式成立的条件，是上式成立的条件，是x(n)绝对可和绝对可和，即满足下式：，即满足下式：( )nx n jjj( 1)j(0)j(1)j(2)(e )( )e( 1)e(0)e(1)e(2)ennXx nxxxx 离散信号的离散信号的FT 和和 模拟信号的模拟信号的FT的的比较比较：离散信号离散信号 FT： 模拟信号模拟信号 FT： 二者的实质是一样的

6、，都是完成时域二者的实质是一样的，都是完成时域 频域的频域的转换。不同处：转换。不同处：时间变量时间变量：n 取整数，求和运算；取整数，求和运算； t 取连续变量，积分运算。取连续变量，积分运算。频域变量频域变量：是数字频率（连续变量），以是数字频率（连续变量），以2为周期；为周期； 是角频率（连续变量），无周期性。是角频率（连续变量），无周期性。jj(e )( )ennXx nj(j )( )edtFx tt 序列序列x(n)的傅里叶反变换的傅里叶反变换 IFT ：jj1( )(e)ed2nx nXx(n)的的IFT，是，是在在-,内对内对进行积分。进行积分。 物理意义物理意义: : 任何一

7、个信号，都可以表示为不同频率任何一个信号，都可以表示为不同频率不同幅度的谐波信号的无限叠加。不同幅度的谐波信号的无限叠加。 傅里叶变换，是相应谐波的幅度。傅里叶变换，是相应谐波的幅度。FT的物理意义的物理意义x(n) FT在信号处理中，我们常常得到的是一些在信号处理中，我们常常得到的是一些“各种各各种各样样”的的“复杂信号复杂信号”。为了进行分析这些为了进行分析这些“复杂信号复杂信号” ” ，往往采用，往往采用“类类比法比法”，将这些比较，将这些比较“复杂信号复杂信号”与我们常见与我们常见的的“简单信号简单信号”来进行比较。来进行比较。傅里叶变换的傅里叶变换的提出提出第一，选什么信号来作为第一

8、，选什么信号来作为 “ “简单信号简单信号”呢？呢？l 傅立叶选择正弦余弦信号。傅立叶选择正弦余弦信号。l 也可以选用方波、三角波等。也可以选用方波、三角波等。 分解信号的目的，是为了更加简单地处理原分解信号的目的，是为了更加简单地处理原来的信号。来的信号。 用正余弦来表示原信号会更加简单。用正余弦来表示原信号会更加简单。傅里叶变换的傅里叶变换的提出提出第二，要进行比较，需要一定的衡量标准，我们用第二，要进行比较，需要一定的衡量标准，我们用什么来作为标准？什么来作为标准？l 我们想知道的是我们想知道的是“复杂信号复杂信号”和和“简单信号简单信号”之之间存在多大的间存在多大的“相似相似”，这就可

9、以通过考虑这两，这就可以通过考虑这两个信号的个信号的“相关性相关性”。l 如果两个信号越相似，相关性越大如果两个信号越相似，相关性越大, , 相应的相应的FT就越大就越大。 l 计算计算“复杂信号复杂信号”与一系列不同频率的正弦信号与一系列不同频率的正弦信号的的“相关度相关度”，即得到一系列相应的，即得到一系列相应的FT。傅里叶变换的傅里叶变换的提出提出于是，于是，傅立叶变换的意义傅立叶变换的意义：l 任何一个任何一个“复杂信号复杂信号”，都可以采用一系列不同，都可以采用一系列不同频率的正弦信号来表示；频率的正弦信号来表示；l 构成构成“复杂信号复杂信号”的不同频率的正弦信号的的不同频率的正弦

10、信号的含量含量，由傅立叶变换的数值体现；由傅立叶变换的数值体现；l 傅立叶变换的数值，表示傅立叶变换的数值，表示“复杂信号复杂信号” ” 与各不与各不同频率的正弦信号的同频率的正弦信号的“相关度相关度”。傅里叶变换的傅里叶变换的提出提出jj1( )(e )ed2nx nX两式的物理意义！两式的物理意义！jj(e )( )ennXx nx(n)的的FT对：对： 例例 2.2.1 设设x( (n)=)=RN( (n) )，求，求x(n)的的FT。 jjjjj/2j/2j/2j10j /2j /2j /2j(1)/2(e )( )ee1ee(ee)1ee(ee)sin(/ 2)esin/ 2nnNn

11、nNNNNNNRRnN解：解： (2.2.5) rjezr比对下式：比对下式：等比级数等比级数前前n项和项和把把FT写成写成 幅频特性幅频特性jjjjarg(e)(e )(e )RRRe=R4(n)()jR earg ()jR esin(/ 2)() =sin/ 2jNR earg ()=(1)/ 2jR eN相频特性相频特性 设设N=4幅频特性幅频特性相频特性相频特性()( )1( )()2( )jj nnjj nnX ex n ex nX eedx n (2.2.1)(2.2.2)(2.2.4)总结：总结：FT对对FT存在的存在的充必条件充必条件注意注意： x(n)是是离散序列，而离散序列

12、，而 X(ej)是是的的连续函数。连续函数。2.2.2 2.2.2 周期信号（序列）的离散傅里叶级数周期信号（序列）的离散傅里叶级数设设 是以是以N为周期的序列，因此能够展成为周期的序列，因此能够展成离散离散傅里叶级数：傅里叶级数：式中，式中，ak是离散傅里叶级数的系数。是离散傅里叶级数的系数。为求系数为求系数ak ，将上式两边乘以，将上式两边乘以 ，并对，并对n n在在一个周期一个周期N内求和，得到：内求和，得到：( )x n021j( )eNknkkNx na2jemnN 101021022)(NnNnmnNjNkknNjkmnNjeeaenx(2.2.5)(2/N)k=k频率频率k是离散

13、的是离散的将右边的两个求和号对调，得到：将右边的两个求和号对调，得到：式中式中 22111()000( )NNNjmnjk m nNNknknx n eae 2()22 ()1()22()()011011jk m Njk mNNjk m nNjk mjk mnNNNkmeeekmee 101021022)(NnNnmnNjNkknNjkmnNjeeaenx最后一个等号的证明，可以利用最后一个等号的证明，可以利用复指数序列的复指数序列的周期特性周期特性进行，即进行，即：222212(1)0222210, 2,11011NjrnjrjrjNrNNNNnjNrjrNjrjrNNeeeeNrNNeer

14、ee 其它因此，只考虑因此，只考虑 k = m。此时：。此时：22111()000( )NNNjk m njmnNNkmmknnaea Nx n ea N ，因此得到因此得到上式中上式中, ,k和和n均取整数，当均取整数，当k变化时，变化时， 是周期为是周期为N的周期函数，所以的周期函数，所以 ak 是以是以N为周期的序列，即为周期的序列，即 ak=ak+lN令令 ，得到：，得到：这里这里 是以是以N为周期的序列，称为为周期的序列，称为 的离散傅里的离散傅里叶级数系数，用叶级数系数，用DFS表示：表示：2101( )NjknNknax n ekN knNje2( )kX kNa(2.2.7)2

15、10( )( )NjknNnX kx n ek )(kX( )x n( )DFS ( )X kx n(2.2.10)由式由式(2.2.5)(2.2.5) ，得到，得到这样，就得到了离散傅里叶这样，就得到了离散傅里叶级数对级数对：这里这里 和和 均是周期为均是周期为N的序列。的序列。2101( )( )NjknNkx nX k eN(2.2.11)210210( )DFS ( )( )1( )IDFS( )( ),NjknNnNjknNkX kx nx n ekx nX kX k enN )(kX)(nx第第2式表明式表明： 周期序列周期序列 可以分解成可以分解成N个谐波，第个谐波，第k次谐波频

16、率次谐波频率为为k=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1，幅度为，幅度为 。 基波基波分量分量(k=1)的频率是的频率是2/N，幅度是，幅度是 ； k=0时的谐波频率是多少？表示什么成分？时的谐波频率是多少？表示什么成分？210210( )DFS ( )( )1( )IDFS( )( ),NjknNnNjknNkX kx nx n ekx nX kX k enN )(nx(1/)( )NX k(1/)(1)NX例2.2.2比较序列的比较序列的FT对和周期序列的对和周期序列的DFS对：对：jjjj21j021j0(e )( )e1( )(e )e2( )( )e1( )( )ennnNkn

17、NnNknNkXx nx nXdX kx nx nX kN的的连续函数连续函数 积分积分 k的离散序列，的离散序列，求和范围是一个周期求和范围是一个周期求和求和 2.2.3 2.2.3 周期信号周期信号( (序列序列) )的的FT1 1、复指数序列复指数序列 的的FT表达式表达式在在模拟系统模拟系统中，中， 的的FT，是在是在 处的一个冲激，强度为处的一个冲激，强度为2 2，即：，即：在在离散系统离散系统中，对中，对 ，可以，可以假设假设它的它的FT是在是在 处的一个冲激，强度为处的一个冲激，强度为2 2：这里，考虑了离散信号这里，考虑了离散信号FT的周期性。的周期性。0j( )etaxt00

18、0jjja0(j)FT eeed2tttXt 0j( )enx n00jj0(e)FT e22nrXr 0j( )enx n（2.2.172.2.17）00jj+)e=ennN（周期周期2在书中，证明了其在书中，证明了其IFT唯一地等于唯一地等于 ，所，所以这种假设是成立的。以这种假设是成立的。0jj0(e)FT e22nrXr 0jen2 2、一般周期序列、一般周期序列 的的FT假设假设 的周期为的周期为N，用，用DFS来表示，即：来表示，即：求和号中的每一项，都是求和号中的每一项，都是复指数序列复指数序列，其中第，其中第k项项 的的FT，根据（，根据（2.2.172.2.17），可以表），

19、可以表示为：示为：)(nx)(nx21j01( )( )eNknNkx nX knN 2j1( )eknNX kN2122FT( )( )(2)jknNrX k eX kkrNNN 0因此，周期序列因此，周期序列 的的FT可以表示成：可以表示成：如果让如果让k在在(-,)变化，上式可以简化为：变化，上式可以简化为：该式就是一般周期序列该式就是一般周期序列 的的FT表达式表达式。 )(nx1022()FT ( )( )(2)NjkrX ex nX kkrNN 22()FT ( )( ) ()jkX ex nX kkNN 2122FT( )e( )(2)jknNrX kX kkrNNN )(nx可

20、以吗？可以吗？ 是周期为是周期为N的序列的序列)(kX下面对周期序列下面对周期序列 的的FT作几点说明作几点说明： 式中：式中：1、周期序列不满足序列周期序列不满足序列FT的充要条件的充要条件, ,通过引入通过引入()，从而可以定义其，从而可以定义其FT；2、该式反映该式反映了周期序列了周期序列 的的FT和和DFS的关系；的关系；3、要计算出要计算出周期序列的周期序列的FT，应先求，应先求DFS，再求，再求FT。4、周期序列的、周期序列的FT，波形上与，波形上与DFS相同。相同。22()FT ( )( ) ()jkX ex nX kkNN )(nx210( )( )eNjknNnX kx n)

21、(nx4点说明点说明：例例 2.2.3 设设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期，进为周期，进行周期延拓，得到周期序列，其行周期延拓，得到周期序列，其FT和和DFS:例例2.2.42.2.4 令令 ， 为有理数，求其为有理数，求其FT。解解: : 将将 用欧拉公式展开为用欧拉公式展开为由由得余弦序列的得余弦序列的FT为为: :0( )cosx nn02 /( )x n00jj01( )cos(ee)2nnx nn0j0FTe2(2)nrr j00000(e)FTcos12 (2)(2)2 (2)(2)rrXnrrrr 上式表明，余弦信号的上式表明，余弦信号的FT，是在是在 处的

22、冲激函数，处的冲激函数，强度为强度为 ，同时以，同时以2 2 为周期进行延拓为周期进行延拓: :0 j000(e)FTcos (2)(2)rXnrr 00(2)12rr ， 当对于正弦序列对于正弦序列 ， 为有理数，它的为有理数，它的FT为为: :0( )sinx nn02 /j000(e)FTsinj (2)(2)rXnrr j000(e)FTcos (2)(2)rXnrr ()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eed( )nx n 210210( )( )1( )( )NjknNnNjknNkX kx n ex nX k eN21022()( ) ()( )(

23、 )jkNjknNnX eX kkNNX kx n e 式中：归纳：归纳：1、 x(n) 的的FT：2、 的的DFS：3、 的的FT为：为： ( )x n( )x n基本序列的基本序列的FT1 1、FT的周期性：的周期性：jj(2)(e)(e)MXXM为整数2.2.4 2.2.4 时域离散信号时域离散信号FT的性质的性质1）周期是）周期是2。只需分析一个周期；。只需分析一个周期；2）=0附近为低频，附近为低频， = 附近为高频。附近为高频。2 2、时域卷积定理（教材未介绍）时域卷积定理（教材未介绍）设设 y(n) = x(n)*h(n), 则则 Y(e j) = X(e j)H(e j) 该定

24、理说明，对于线性时不变系统，在时域该定理说明，对于线性时不变系统，在时域是卷积，在频域是乘积。是卷积，在频域是乘积。 求输出，可以在时域用卷积求输出，可以在时域用卷积计算，也可以在计算，也可以在频域求出输出的频域求出输出的FT，再作逆，再作逆FT。 3、频域卷积定理：、频域卷积定理：假设假设交换积分的求和次序，我们同样能够得到交换积分的求和次序，我们同样能够得到该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。服从卷积关系。( )( )( )y nx nh njjjj()11()(e )(e )(e ) (e)d22jY eXHHX jjj1(e )(e

25、 )(e )2YHX此定理亦称为此定理亦称为调制定理调制定理则则4 4、FT的对称性：的对称性：1 1）共轭对称共轭对称序列和序列和共轭反对称共轭反对称序列序列 一般一般复序列复序列 x(n) ：复序列中复序列中x(n)，有有两种两种序列序列: :共轭对称共轭对称序列满足序列满足共轭反对称共轭反对称序列满足序列满足ri( )( )j ( )x nx nx nee( )()x nxnoo( )()x nxn l 共轭对称共轭对称序列序列 xe(n)= xer(n) + jxei(n)将上式两边将上式两边n用用-n代替，并取共轭，得到：代替，并取共轭，得到： x*e(-n)= xer(-n) -

26、jxei(-n) 对比上两式，因为是共轭对称序列，左边相等，对比上两式，因为是共轭对称序列，左边相等，右边也应相等，因此得到：右边也应相等，因此得到：实部相等实部相等 xer(n) = xer(-n) 虚部相等虚部相等 j xei(n) = -jxei(-n) 结论结论：共轭对称序列的：共轭对称序列的实部是偶序列实部是偶序列， 虚部是奇序列。虚部是奇序列。实数的共轭实数的共轭是其本身是其本身ee( )()x nxnl 共轭反对称共轭反对称序列序列 xo(n)= xor(n) + jxoi(n)与前面相同的处理与前面相同的处理, , 可以得到可以得到: : x*o(-n)= xor(-n) -

27、jxoi(-n)即：即： -x*o(-n)=- xor(-n) + jxoi(-n)实部相等实部相等 xor(n) = -xor(-n) 虚部相等虚部相等 j xoi(n) = jxoi(-n) 结论结论：共轭反对称序列的：共轭反对称序列的实部是奇序列实部是奇序列， 虚部是偶序列。虚部是偶序列。)()(nxnxoo( )( )( )eox nx nxnl任意序列可表示成任意序列可表示成xe(n)和和xo(n)之和之和:*1( ) ( )()2exnx nxn*1( ) ( )()2oxnx nxn其中：其中：2 2）序列）序列FT的对称性质的对称性质l 将将序列序列x(n)分为实部和虚部分为实

28、部和虚部其实部其实部 的的FT ：将上式右面的将上式右面的加负号，再将右边取共轭，右加负号，再将右边取共轭，右边表达式不变。边表达式不变。这说明这说明: : 实序列的实序列的FT 具有具有共轭对称性质共轭对称性质，用，用 表示。表示。ri( )( )j ( )x nx nx nr( )x njrrFT( )( )ennx nx nje(e )X用共轭对称和用共轭对称和反对称性质说明反对称性质说明可以证明，虚部可以证明，虚部 的的FT 具有具有共轭反对称共轭反对称性质性质，用用 表示。表示。ij ( )x njo(e )Xri( )( )j ( )x nx nx nij ( )x n于是可以写成

29、：于是可以写成：jjjrieo(e )FT ( )FT( )j ( )(e )(e )Xx nx nx nXX第一对关系：第一对关系：rijjjeo( ) ( ) j ( )(e )(e ) (e )x nx nx nXXXri( )( )j ( )x nx nx n第一对关系：第一对关系：rijjjeo( ) ( ) j ( )(e )(e ) (e )x nx nx nXXX=R4(n)()jR el 将序列将序列x(n)分为共轭对称和共轭反对称两部分，分为共轭对称和共轭反对称两部分，即即)()()(nxnxnxoe1( )( )()21( )( )()2eox nx nxnx nx nxn根据根据jjeRjj0IFT( )Re(e )(e )FT( )jIm(e )j(e )x nXXx nXX可以证明可以证明:这样这样于是，我们能够得到于是，我们能够得到结论结论: :l FT的的实部实部对应序列对应序列x(n)的的共轭对称部分共轭对称部分；l 它的它的虚部虚部( (包括包括j)对应序列对应序列x(n)的的共轭反对称部共轭反对称部分分。jjjFT (