北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

1、观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目

2、标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习

3、目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的

4、关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目学习目标：标：当分割点无限增多时，小矩形的面积和当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积曲边梯形的面积求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i个小曲边

5、梯形的面积用高个小曲边梯形的面积用高为为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim()niniSfxx=D1()niiSfxx=D (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban-= 11211,iina xx xxxxb-

6、（一）、定积分的定义（一）、定积分的定义 11()()nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面积和S=如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，记作上的定积分，记作 baf (x)dx =f (x i)Dxi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim()ninibaf x dxfnx=-=ba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做

7、积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim()ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy =被积函被积函数数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限baf(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无

8、关，即而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx = = b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)(二二)、定积分的几何意义、定积分的几何意义：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 a=b 时，有baf (x)dx=0。 当当f(x) 0时，由时，由y= =f (x)、x= =a、x=

9、 =b 与与 x 轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形位于边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：积分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在几几何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x = =f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 =-=-S Sab y=f (x

10、)Ox y( )yg x=探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab y=f (x)Ox y1()baSfx d x=( )yg x=12( )( )bbaaS SSf xdxg xdx=-=-2( )baSg x dx=（三）（三）、定积分的基本性质、定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性

11、可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f思考：思考：从定积分的几何从定积分的几何意义解释性质意义解释性质ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 cOx y练习：利用定积分计算：练习：利用定积分计算：dx230 x 例例2 2：计算定积分：计算定积分 dx120(2x - x ) 练习：用定积分表示抛物线练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线与直线 y=x+3所围所围成的图形面积成的图形面积 dxdx33200 x + 3 x - x + 3 - -dx=320-x + 3x （四）、小结（四）、小结定积分的实质：特殊和式的逼近值定积分的实质：特殊和式的逼近值定积分的