[管理学]线性代数ppt课件

1、班级： 时间： 年 月 日；星期 教学目的掌握特征值与特征向量的概念、求法以及性质。掌握特征值与特征向量的概念、求法以及性质。掌握相似矩阵的概念和性质，理解方阵掌握相似矩阵的概念和性质，理解方阵A A对角化对角化的充要条件，会用实对称矩阵对角化的基本方法的充要条件，会用实对称矩阵对角化的基本方法将简单对称矩阵对角化将简单对称矩阵对角化作业重点相似矩阵与对称矩阵对角化相似矩阵与对称矩阵对角化练习册第第 43页页46页页第第5题题 至至第第14题题难点同上同上讲授方法讲授为主，讲练结合讲授为主，讲练结合讲授内容讲授内容主线主线特征值定义与求法特征值性质不同值特征向特征值定义与求法特征值性质不同值特

2、征向量无关定义练习相似矩阵定义与性质一般量无关定义练习相似矩阵定义与性质一般矩阵对角化定理对称矩阵性质对称矩阵对角矩阵对角化定理对称矩阵性质对称矩阵对角化一般方法练习化一般方法练习内容概括特征值复习：特征值复习：2020分钟；相似矩阵及性质：分钟；相似矩阵及性质：2020分钟；分钟；矩阵对角化方法：矩阵对角化方法：1515分钟；对称矩阵及性质：分钟；对称矩阵及性质：2020分钟；对称矩阵对角化方法：分钟；对称矩阵对角化方法：2525分钟分钟第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化友友 情情 提提 示示 本次课讲第五章第二三节：特征值运本次课讲第五章第二三节：

3、特征值运用类似矩阵与对角化用类似矩阵与对角化 下次课讲第五章第四节：二次型及规下次课讲第五章第四节：二次型及规范化范化 下次上课时交作业下次上课时交作业P43-44P43-44第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化复习：正交矩阵与正交变换的概念复习：正交矩阵与正交变换的概念定义定义4 4 假设假设 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足EAAT即即 ，TAA1那么称那么称 A 为正交矩阵为正交矩阵.122 AA正正交交，则则：）由由定定义义不不难难推推出出若若（均均正正交交，即即正正交交，则则即即若若正正交交，则则得得：若若）由由逆逆矩矩阵阵可可交交换换定定义义（

4、*11,1AAAEAAAAAAAATTTT 的正交向量组的正交向量组的列向量组是长度都为的列向量组是长度都为即即且且则：则：）设正交矩阵）设正交矩阵（1., 2 , 1, 0, 1),(321AnjijiaaaaaaaAjTiiTin 的的一一个个规规范范正正交交基基的的列列向向量量组组是是则则正正交交，若若）的的结结论论性性无无关关的的，由由（）因因为为正正交交向向量量组组是是线线（nRAA,34的的正正交交变变换换到到为为为为列列向向量量，则则为为正正交交矩矩阵阵，）若若（xyPxyyxP ,56 6性质：正交变换不改动向量的长度性质：正交变换不改动向量的长度向量组一样成立向量组一样成立的

5、列向组成立的，对行的列向组成立的，对行）对正交矩阵）对正交矩阵（A7第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化的的正正交交向向量量组组的的列列向向量量组组是是长长度度都都为为即即且且即即：，1., 2 , 1, 0, 1100010001),(),(),(,),(2122212121112121212121AnjijiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAEAAaaaAjTiiTinTnTnTnnTTTnTTTnTnTTnTnTTn 四、特征值与特征向量的概念四、特征值与特征向量的概念1.定义：设定义：设 A 是是 n 阶矩阵

6、，假设阶矩阵，假设 和和 n 维非零列向量维非零列向量 x 使使关系式：关系式：xAx1成立，那么称数成立，那么称数 为方阵为方阵 A 的特征值，非零向量的特征值，非零向量 x 称为称为 A 对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量.留意：定义的几个要点留意：定义的几个要点1 A 是是 n 阶矩阵，即方阵阶矩阵，即方阵2特征值特征值 是数，是数，3特征向量特征向量x 是非零向量是非零向量2.如何求特征值与特征向量如何求特征值与特征向量1特征值的求法特征值的求法第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量由定义由定义1式也可写成式也可写成:ExAx即即0 x

7、EA2由于特征向量由于特征向量x非零，所以方程非零，所以方程2有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是0 EA 33式是以式是以为未知数的一元为未知数的一元 n 次方程，称为次方程，称为 A 的特征方程的特征方程在方程在方程3或或3*中中A 的特征值的特征值就是特征方程的根就是特征方程的根.因此因此, n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个特征值个特征值(重根按重数计算重根按重数计算).所以，求特征值就是解特征方程求出所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程个根的过程即即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa3*,)(EA f称为方阵称为方阵 A 的特征多项式的特征多项式.

8、经常地，记经常地，记第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量2 2特征向量的求法：特征向量的求法：设设 为方阵为方阵 A 的一个特征值，的一个特征值，i那么由方程那么由方程, 0 xEAi可求得非零解可求得非零解 ，ipx 便是便是 A 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量. ipi的的特特征征向向量量；于于特特征征值值：说说特特征征向向量量是是指指对对应应的的特特征征向向量量；因因此此：对对应应于于其其解解就就是是都都有有齐齐次次方方程程组组（值值注注意意：对对应应每每一一个个特特征征iiiixEA 1, 0), 所所有有的的解解，即即通通解

9、解是是求求出出（即即：所所有有的的特特征征向向量量就就的的特特征征向向量量就就有有多多少少。对对应应于于，其其解解有有多多少少，（对对应应于于一一个个齐齐次次方方程程组组：每每一一个个0) 0)2 xEAxEAiiii 第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量3.3.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质1 1利用特征值计算行列式利用特征值计算行列式假设假设 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 的特征值为的特征值为 n ,21那么那么nnnaaa 221121 1)2)An 212含含负负指指数数）的的特特征征值值（是是则则的的多多项项式式是是关关于于的的特

10、特征征值值是是矩矩阵阵若若AAfA)()(,)(, 1) 1) 设设是方阵是方阵 A A 的特征值，证明的特征值，证明: :的的特特征征值值是是kkA 0p证：证：因因是是 A A 的特征值，的特征值， 所以存在所以存在 使得使得. pAp于是于是ApApA2pAApP2ppAkk依次类推可得依次类推可得: :的的特特征征值值是是即即：kkA ppAppAppApA 10, 011 ，故故：所所以以因因为为得得：可可逆逆时时，由由证证：当当 1)21的的特特征征值值为为，则则的的特特征征值值为为可可逆逆，若若 AAA第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化

11、ppAApApAAaAaAaAaaAssmmmm）（）（特征值，即：特征值，即：）的）的（）为）为（则则的特征值，即的特征值，即为为若若）设）设 ,31110ppAppAppApApApAsskk ,11则由以上结论：则由以上结论：的特征向量的特征向量对应对应为为的特征值的特征值为为证：证：papapapapapAapAapAaApapapAssmmmmssmmmm 11101110)(ppaaaaassmmmm)()(1110 的的特特征征值值（为为即即)(A 3 3不同的特征值对应的特征向量线性无关不同的特征值对应的特征向量线性无关线线性性无无关关。各各不不相相等等，则则对对应应的的特特征

12、征向向量量，若若是是依依次次与与之之个个特特征征值值，的的是是方方阵阵定定理理：设设mmmmppppppmA,2121,2121 第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化mxxx,21证证设有常数设有常数 ，0mmxxxppp2211即即, 0mmxxxpppA2211那么那么, 0mmmxxxppp222111, 0mmmmmmxxxppp122121111, 0mmmxxxppp222221121同理同理: :将上面各式写成矩阵的方式将上面各式写成矩阵的方式: : 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 000, 第十三讲：特征值运用，

13、类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化 mmxxp pp pp p2211 x 11211 21111mmmm m 0 00 00 0或或: :当当 个不一样时，个不一样时，m ,21范德蒙德行列式范德蒙德行列式1122111111 mmmmm 0 mjiij1 那么该方程组有独一零解那么该方程组有独一零解, 0mmxxxppp2211但但 ，0ipmi, 2 , 1所以所以., 2 , 10mixi所以向量组所以向量组 线性无关线性无关. .mppp,21第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲

14、：特征值运用，类似矩阵与对角化的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。求矩阵求矩阵，使得使得）求矩阵）求矩阵（，维列向量，且满足：维列向量，且满足：的的是线性无关是线性无关，阶矩阵，阶矩阵，为为分）设分）设，数学数学（改编自（改编自例例BBABAAAA)2(;)()(,1322331330513213213233223211321 BA)(311221001)()322()(13213213232321321 ，）由已知，）由已知，解：（解：（ 311221001B所以，所以， 3122)1(311221001)2(EB先先求求特特征征值值：0)4()1()54)(1(2)3)(2)(1(22

15、 411, 4, 1321，特特征征值值为为所所以以， 第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化0)(, 121 XEBEB为系数的齐次方程组为系数的齐次方程组解以解以对特征值对特征值求特征向量：求特征向量： ， 000000211211211000EB 10,01,232321xxxxx令令自自由由变变量量得得同同解解方方程程组组： 。为为任任意意实实数数且且不不同同时时为为，特特征征向向量量为为：得得基基础础解解系系：0,1, 0, 2,0, 1, 121221121kkkkTT 0)4(, 43 XEBEB为系数的齐次方程组为系数的齐次方程组解以解以对

16、特征值对特征值 ， 0001100011102200011112210034EB 0,110, 1,0333321 kkxxxxT 特特征征向向量量为为；，则则基基础础解解系系：令令自自由由变变量量得得同同解解方方程程组组：第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化的的特特征征值值。）求求（有有特特征征值值单单位位矩矩阵阵，若若阶阶为为的的伴伴随随矩矩阵阵，为为阶阶矩矩阵阵，为为）设设（例例EAAnEAAAnA 2*, 03 .982 的负指数。的负指数。可含有可含有即为所求。注意，即为所求。注意，变成变成将将的特征值为的特征值为分析，本题已知分析，本题已知A

17、AffAfEAA)()(),()(,2* 1,11*的的特特征征值值为为，则则的的特特征征值值为为因因为为 AAAAAEAAEAAEAAf 212212*)()()()(1)(1)()(2212 AAf第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化的的特特征征值值阶阶矩矩阵阵也也是是的的特特征征值值，证证明明阶阶矩矩阵阵是是设设BAnBAmmnnm 0. 8).()()(, 0BpBpBABpABpBpABppp ，即即：且且：对对应应的的特特征征向向量量，是是证证：设设第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化的特征值。的特征值

18、。为为由于由于矛盾。即得：矛盾。即得：与已知与已知即即即：即：假定假定则：易得：则：易得：令：令：BAqqBABpBpBAqppABpABpBpqqqpBnmmn .)().()(. 00, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0.11的的特特征征值值相相同同。与与阶阶矩矩阵阵，证证明明为为设设AAnAT. 6相相同同。征征方方程程相相同同，即即特特征征值值特特征征多多项项式式相相同同，则则特特证证： EAEAEAEATTTT )()(。或或的的特特征征值值只只能能取取证证明明设设21, 023. 72AEAA pAEAAA，设设特特征征向向量量为为的的特特征征值值为为，则则证证明明：设设 2

19、32 . 2, 1, 0)2)(1(, 0, 0, 0, 0, ppAppA又又则则：定义：定义：设设 A、B 都是都是 n 阶矩阵，假设有可逆矩阵阶矩阵，假设有可逆矩阵 P , 使使-1P APB那么称那么称 B 是是 A 的类似矩阵，的类似矩阵， 或说矩阵或说矩阵 A 与与 B 类似类似.对对 A 进展运算进展运算,APP1称为对称为对 A 进展类似变换，进展类似变换，可逆矩阵可逆矩阵 P 称为把称为把 A 变成变成 B 的类似变换矩阵的类似变换矩阵.2对角化的概念：对角化的概念：，简称可对角化，简称可对角化可对角化成可对角化成则称矩阵则称矩阵满足满足与对角矩阵与对角矩阵使得使得如果存在可

20、逆矩阵如果存在可逆矩阵对于任意矩阵对于任意矩阵 AAPPAPA,11.类似矩阵与对角化类似矩阵与对角化1类似矩阵的概念类似矩阵的概念二、矩阵对角化问题的研讨二、矩阵对角化问题的研讨2.类似矩阵的性质类似矩阵的性质1特征值一样性特征值一样性定理定理3 3 假设假设 n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 类似，那么类似，那么 A 与与 B 的特征多项式相的特征多项式相一样，从而一样，从而 A 与与 B 的特征值也一样。的特征值也一样。第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化证证因因 A 与与 B 类似，类似，即有可逆矩阵即有可逆矩阵 P，使使,1BAPP所以所以EBE

21、PPAPP11PEAP1PEAP1EA2对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素推论推论假设假设 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵与对角矩阵n21 类似，那么类似，那么 即是即是 A 的的 n 个特征值个特征值.n,21证证因因 就是就是的的 n 个特征值，个特征值，n,21由类似矩阵特征值一样定理知由类似矩阵特征值一样定理知 它们也是它们也是 A 的的 n 个特征值个特征值.第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化 .,4512422421.10yxyxA相相似似，求求与与设设方方阵阵 第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化

22、第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化,2012 ,4511yAyxyx 且且相似矩阵特征值相同相似矩阵特征值相同5, 4 yxyxyxxxxA483,201001560151010415100104042112422421 定理定理4 4 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵类似即与对角矩阵类似即 A 能对角化的充分能对角化的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.1.n阶方阵阶方阵A对角化的条件对角化的条件三、对角化方法研讨三、对角化方法研讨求类似矩阵求类似矩阵P证：必要性：证：必要性： APPPA1满满足足：在在可可逆逆矩矩阵阵相相似似，由由相相似似

23、定定义义，存存与与对对角角矩矩阵阵如如果果,21npppP把把 P P 用列向量表示为用列向量表示为nPP为为满满秩秩矩矩阵阵，即即秩秩为为可可逆逆，所所以以，方方阵阵因因为为线性无关线性无关充要条件，充要条件，根据向量组线性无关的根据向量组线性无关的nppp,21 PAPAPP得得：根根据据：,1 nnnppppppA 212121, ,2211nnppp nApApAp,21于是有于是有iiipApni, 21而而 P P 的列向量的列向量 就是就是 A A 的对应于特征值的对应于特征值ip可见可见 是是 A A 的特征值，的特征值，ii的特征向量的特征向量.第十三讲：特征值运用，类似矩阵

24、与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化充分性：假设有个线性无关的特征向量，那么以充分性：假设有个线性无关的特征向量，那么以这个特征向量为向量组组成矩阵这个特征向量为向量组组成矩阵，得得：由由iiipAp 即即：,2211nnppp nApApAp,21 nnnppppppA 212121,相相似似与与对对角角矩矩阵阵。即即，得得：根根据据： AAPPPAP12.An对角化的断定方法对角化的断定方法个个特特征征向向量量对对每每一一个个特特征征值值求求一一个个特特征征向向量量第第一一步步任任务务：找找 n一个特征向量一个特征向量每一个特征值至少存在每一个特征值至少存在：结论结论nA1出一个

25、特征向量出一个特征向量每一个特征值至少可求每一个特征值至少可求。基础解系至少一个向量基础解系至少一个向量有无穷多非零解。有无穷多非零解。（，。得解向量即为特征向量得解向量即为特征向量求解（求解（对每一个对每一个，得特征值得特征值解方程解方程对于对于 0),)(00), 2 , 1(., 0,21xEAnEAREAxEAniEAAiiiiin 第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化线线性性无无关关特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量第第二二步步任任务务：让让每每一一个个入下一步：入下一步：（图示如下）。否则进（图示如下）。否则进与对角矩阵相似与对角矩阵相

26、似个特征值不相等，则个特征值不相等，则的的阶矩阵阶矩阵有推论：若有推论：若量线性无关，因此量线性无关，因此的特征值对应的特征向的特征值对应的特征向）由特征值性质，不同）由特征值性质，不同（AnAn1。个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量重特征值恰有重特征值恰有则该则该，若，若重特征值（重特征值（的的是是：设：设）结论）结论（kkknEARkkAklkl,)()122 ，对对应应的的特特征征向向量量。其其解解为为，解解方方程程组组重重特特征征值值（的的是是证证：设设nknEARxEAkkAklklklkl )(0)()1 即即特特征征向向量量。个个线线性性无无关关的的解解向向量量，方方程程组

27、组的的基基础础解解系系恰恰有有的的秩秩有有非非零零解解，且且解解集集kkEARnSRSxEAklkl )()(0)( nklll211,，nklll211,，k第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化概括矩阵概括矩阵A对角化的判别道路如下：对角化的判别道路如下：APPA1对角化方阵特征向量个无关是npppPn),(21的特征向量特征值对应个的是nApppn,21特征向量个对应值重特征向量，对应一个特征每一个特征值kkki特征向量个无关有的基础解系kxEAki0)(kSRknEARki)()(或量基础解系的无关特征向个求对应解kxEAki0)(Ppppn组成求

28、出),(21是是否否可可相相似似对对角角化化的的值值，并并讨讨论论二二重重根根，求求的的特特征征方方程程有有一一个个分分）设设矩矩阵阵，数数学学一一、（例例题题AaaA 513413219041 EAA 的的特特征征多多项项式式为为解解：第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化 513410)2(25134102251341321aaa)3188)(2()1(3)5)(3)(2(511331001)2(51341011)2(2aaaa 。，方方程程的的特特征征值值为为）（）（）此此时时特特征征方方程程为为（得得：即即：使使得得是是二二重重特特征征根根，则则）

29、若若（622,62)128(2. 2, 0318162, 031882212222 aaa第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化可对角化可对角化即即个线性无关特征向量，个线性无关特征向量，对应由对应由，对于重根对于重根AEARnEAREA22, 213)2(1)2(,00000032132132132122 4442,)4)(2322对对于于二二重重根根，特特征征值值为为的的特特征征多多项项式式为为（时时，当当 Aa32,163183188222 aaa得：得：即为完全平方，即为完

30、全平方，产生二重根，产生二重根，知，知，不是二重根，由题目已不是二重根，由题目已）若）若（ 不不可可相相似似对对角角化化征征向向量量，故故只只有有一一个个线线性性无无关关的的特特即即二二重重根根AEARnEAR42123)4(, 2)4( ， 0006203016206203012320620301132132330113213013234EA第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化 对角化即可类似化，关键看能否有对角化即可类似化，关键看能否有n个无关特征向量，个无关特征向量，单根能保证，即关键是单根能保证，即关键是k重根能否有重根能否有k个无关向量。有一类

31、个无关向量。有一类我们熟习的矩阵叫对称矩阵，对称矩阵不但能保证类似化，我们熟习的矩阵叫对称矩阵，对称矩阵不但能保证类似化，而且保证而且保证k重根有重根有k个无关特征向量，个无关特征向量，四、对称矩阵的对角化四、对称矩阵的对角化1.对称矩阵的概念对称矩阵的概念njiaajiij, 2 , 1,那么那么 A 称为对称矩阵称为对称矩阵.如对称矩阵的元素全是实数，那么称为如对称矩阵的元素全是实数，那么称为实对称矩阵实对称矩阵概念回想：设概念回想：设 A 为为 n 阶方阵，假设满阶方阵，假设满足足,AAT即即2.对称矩阵的性质对称矩阵的性质1 1定理定理5 5实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为

32、实数.2 2定理定理6 6 设设 是对称矩阵是对称矩阵 A 的两个特征值，的两个特征值，21,21, pp是对应的特征向量，是对应的特征向量，假设假设 ，21那么那么 与与 正交正交.1p2p第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化证证,111App ,222App TTApp)()(111Tp11TTAp1ApT1211ppT21AppT221ppT212ppT02121ppT)(因 ，21021ppT有1p2p所以与正交.3.3.对称矩阵对角化结论：对称矩阵对角化结论：定理定理7:7:设设 A 为为 n 阶对称矩阵，那么必有正交矩阵阶对称矩阵，那么必有正

33、交矩阵 P ，其中其中 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵个特征值为对角元素的对角矩阵.-1P AP使使T= P AP 该结论与定理不予证明，只作为可对角化的结论运用该结论与定理不予证明，只作为可对角化的结论运用第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化结论结论: : 设设 A 为为 n 阶对称矩阵，阶对称矩阵，是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，重根，那么矩阵那么矩阵 的秩的秩 R =nk, EAEA从而对应特征值从而对应特征值恰有恰有 k个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特

34、征值运用，类似矩阵与对角化4.对称矩阵对角化的步骤概括：对称矩阵对角化的步骤概括：1求出求出 A 的全部互不相等的特征值的全部互不相等的特征值12,s 12,sk kk12(,)skkkn它们的重数分别为它们的重数分别为:。个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的基基础础解解系系，得得到到重重特特征征值值，求求出出方方程程组组）对对每每一一个个（kxEAkkk0)()1(2 化化个个无无关关的的特特征征向向量量单单位位）将将（用用施施密密特特法法正正交交化化。个个基基础础解解系系的的无无关关向向量量时时，对对）当当（nkk413 npppPPn,521 即：即：矩阵矩阵组成对角化的相似变换

35、组成对角化的相似变换个线性无关的单位向量个线性无关的单位向量）（ nTnnAPPAPPppp 2112121,6对对角角化化的的对对角角矩矩阵阵：得得到到，的的顺顺序序，排排列列）对对照照（第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十三讲：特征值运用，类似矩阵与对角化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化 本次课讲第五章第4、5节，下次课讲第6,7节 下次上课时交作业P45P46，P49-P50APPA1对角化方阵特征向量个无关是npppPn),(21的特征向量特征值对应个的是nApppn,21特征向量个对应值重特征向量，对应一个特征每一个特征值kkki特征

36、向量个无关有的基础解系kxEAki0)(kSRknEARki)()(或量基础解系的无关特征向个求对应解kxEAki0)(Ppppn组成求出),(21对称矩阵对称矩阵对角化对角化求正交求正交矩阵矩阵P根底解系即根底解系即特征向量特征向量正交化并正交化并单位化单位化i求特征值0) xEAki（重根解方程，矩阵矩阵成正交成正交个规范正交特征向量组个规范正交特征向量组法求出法求出特别地：通过对角化方特别地：通过对角化方),(21npppPn nTAPPAPP 211使使得得对对应应的的特特征征向向量量是是其其中中iip 第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化得特征

37、值得特征值1232,1. 解解:111111AE 22(1)(2)(1) (2) 1)当 时，12 12321101210 ,1120 xxx 2)(2)0A+E x得211121112101011 ,000得根底解系为得根底解系为1111 r例例1 设设 求一个正交矩阵求一个正交矩阵 P, 使使 为对角矩阵为对角矩阵.011101 ,110A APP1第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化当 时，231由()0A- E x得得r111000,000111111111A- E =其根底解系为其根底解系为: :211,0 10 .1 11111011 .22

38、102 将将 正交化：正交化：23, 2, 令233222, 单位化得单位化得: :1111 .31P第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化将 单位化得：23, 2311111,12602PP3) 于是得于是得: :123111326111,.32612036 PP P P可以验知可以验知: :121.1TPAPP AP第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化Ppppppp阵阵将将其其单单位位化化，得得正正交交矩矩不不难难观观察察它它们们正正交交

39、，故故无无关关，量量，是是不不同同特特征征值值的的特特征征向向解解321321, .,212,122,221, 1, 0, 13.13321321ApppAZ求求特征向量依次为特征向量依次为对应的对应的的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设 323132313232323231100000001323132313232323231,111TPPPPAAPPPAAPP求求由由特特征征值值代代入入代代入入推推出出：由由矩矩阵阵否否可可成成正正交交规规范范即即正正交交特特征征向向量量组组成成，观观察察是是由由无无关关且且使使得得分分析析：求求),(,3211pppPAPPP .212122221100

40、000001212122221913231323132323232311000000013231323132323232311 PAPA第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化 .032323231032031 一、二次型的规范化一、二次型的规范化1.预备知识：合同矩阵及其性质预备知识：合同矩阵及其性质假设存在可逆矩阵假设存在可逆矩阵 P , 使使 B=PTAP，设设A和和B是是 n 阶矩阵阶矩阵 , 定义定义9:9:称矩阵称矩阵A与与B合同合同.性质：合同矩阵对称性不变、秩不变性质：合同矩阵对称性不变、秩不变证证A 为对称矩阵，为对称矩阵，即有 AT=A

41、， 于是 BAPPAPPBTTTT 即即 B B 为对称矩阵为对称矩阵. .定理定理: :那么那么 B 也为对称矩阵，且也为对称矩阵，且 R(B) = R(A).假设假设 A 为对称矩阵，为对称矩阵，假设存在可逆矩阵假设存在可逆矩阵 P, 使使 B=PTAP，)()(BRARAPAPPBT 乘乘可可逆逆矩矩阵阵秩秩不不变变原原理理为为可可逆逆矩矩阵阵，根根据据，又又因因第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化2.二次型与二次型的规范型的概念二次型与二次型的规范型的概念1二次型的概念二次型的概念定义定义8 8 含有含有 n 个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐

42、次函数 nxxx,21 22222211121,nnnnxaxaxaxxxf nnnnxxaxxaxxa1, 131132112222 5称为二次型称为二次型.为复数实数为复数实数ija称复实称复实 二次型二次型.f取 ，jiijaa ,2ijjijiijjiijxxaxxaxxa 则则于是于是5 5式可写作式可写作nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 6 6 njijiijxxa1,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化2 2二次型的规范型二次型的规范型对二次型来说

43、，假设存在可逆的线性变换对二次型来说，假设存在可逆的线性变换 nnnnnnnnnnypypypxypypypxypypypx221122221212121211117使二次型只含平方项，使二次型只含平方项，即将即将7 7代入代入5 5，能使，能使.2222211nnykykykf 那么那么8 8式称为二次型的规范形。式称为二次型的规范形。83.3.二次型与规范型的矩阵表示方式二次型与规范型的矩阵表示方式由由6 6式，利用矩阵，二次形可写成如下方式式，利用矩阵，二次形可写成如下方式 本次课的中心议题是找到可逆变换P，把二次型5变成规范型8）称作规范形）称作规范形则标准形（则标准形（如果如果8,

44、1 ik第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化 nnxaxaxaxf12121111 nnxaxaxax22221212 nnnnnnxaxaxax 2211 nxxx,21 nxxx,21 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa221122221211212111 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nxxx21第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化记记,21 nxxx,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaAx那么二次型可记作那么二次型可记作AxxfT 9 9其

45、中其中 A A 为对称矩阵为对称矩阵. . 任给一个二次型，就独一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可独一地确定一个二次型。这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.因此，我们把对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩就叫做二次型的秩第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化如：如：,4322yzxyzxf 用矩阵记号写出来为用矩阵记号写出来为 zyxf, 220210213 zyx01即即式式）可以记作如下矩阵形）可以记作如下矩阵形型的标准型（型的标准型（根据同样的道理，二次根据同样的道理，二次

46、yyfT 82222211nnTykykykyyf nnnyyykkkyyy212121,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化的的问问题题。即即使使得得的的合合同同变变换换也也就就是是寻寻找找可可逆逆的的问问题题变变换换成成标标准准型型次次型型准准化化问问题题就就是是把把一一般般二二综综上上所所述述，二二次次型型的的标标 APPyyyAPPyAxxfPyyfAxxfTTTTTTT,)(,二、将二次型规范化方法二、将二次型规范化方法定理定理8: 8: 任给二次型任给二次型 ,1,jiijnjijiijaaxxaf 总有正交变换总有正交变换,xy P使使 f

47、 f 化为规范形化为规范形,2222211nnyyyf 其中其中 是是f f 的矩阵的矩阵 A = A = 的特征值的特征值. .n ,21 ija第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化 APPAPPPAAAxxfTT1,使使得得：存存在在可可逆逆的的正正交交矩矩阵阵论论对对称称，根根据据对对称称矩矩阵阵结结为为对对称称矩矩阵阵，其其中中形形式式：证证：将将二二次次型型写写成成矩矩阵阵得：得：对二次型进行正交变换对二次型进行正交变换,Pyx yyyAPPyyAPPyAPyPyAxxfTTTTTT )()()( 1证证毕毕 2222211nnykykyk P

48、APPAPPT化化是是同同一一个个合合同同对对角角化化与与相相似似对对角角问问题题。而而且且，由由于于对对称称矩矩阵阵对对角角化化标标准准化化问问题题实实际际上上就就是是）本本定定理理说说明明，二二次次型型（11 iiiiTTkykfAAPPyxAxxfPAAPPAPP.,221的的系系数数的的特特征征值值）就就是是标标准准型型矩矩阵阵对对角角元元素素（对对角角化化后后的的对对角角的的正正交交矩矩阵阵标标准准化化的的正正交交变变换换二二次次型型就就是是使使对对角角化化的的正正交交矩矩阵阵所所以以使使对对称称矩矩阵阵）（第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化

49、推论推论: : 任给二次型任给二次型总有可逆变换总有可逆变换,xz CAxxT fx使得使得fzC为规范形为规范形222121212,nnnfzzz12 的常数为的常数为即即iz2222211)(8nnTTyyyyyAxxPyxf ，证证：由由定定理理, 11, 110,011 nririzyiiinrr 令：令：。为为，不为不为，不失一般性，设不失一般性，设2222221112222211rrrrrzzzyyyf 得得：将将该该变变换换代代入入 f第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化)1 , 1 ,1,1(,1rdiagKKzy 且且其中变换为其中变换

50、为111111 iir 显然可逆且显然可逆且yyyAPPyPyAPyAxxfTTTTT )()()(得：得：综合综合,KzyPyx zPKAPKzzAPKPKzzKKzKzKzTTTTTTTT)()()()()()( 为为可可逆逆的的对对角角化化变变换换即即得得令令CzzPKxPKC )(,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化二次型规范化的解题过程，我们可概括如下：二次型规范化的解题过程，我们可概括如下：二次型的二次型的普通方式普通方式二次型的二次型的规范化规范化矩阵方式矩阵方式AxxfT经过正交经过正交变换变换Pyx yAPPyAxxfTTT)(APP

51、T对称A对称矩阵对称矩阵对角化对角化求正交求正交矩阵矩阵P根底解系即根底解系即特征向量特征向量正交化并正交化并单位化单位化i求特征值0) xEAki（重根解方程对称性对称性不变不变秩不变秩不变BAPPT合同变换第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化为标准型为标准型化二次型化二次型分）求一个正交变换，分）求一个正交变换，数一，数一，（例例3231212322218444410.971xxxxxxxxxf 442442221A为为解解：二二次次型型的的对对称称矩矩阵阵 450450012214424420221442442442221442442221,EAP

52、 先先求求特特征征值值为为求求正正交交矩矩阵阵)9(20)4)(5(2 9, 0321 解解得得特特征征值值第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化再求特征向量即根底解系再求特征向量即根底解系0, 0)0, 021 AxxEA即即解解方方程程组组（对对于于 000000221442442221A得得令令同同解解方方程程为为 10,012232321xxxxx TT1, 0, 2)0, 1, 2(21 0)9(93 xEA，解解方方程程组组对对于于 0001101020001104525424522289EA第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称

53、矩阵对角化，二次型规范化 0001101020001104525424522289EA得得令令同解方程组：同解方程组：, 2,2133231 xxxxx T2213， 量量为为化化：如如上上已已求求得得特特征征向向再再一一步步，正正交交化化和和单单位位 TT1, 0, 2)0, 1, 2(21 T2213， 正正交交化化即即可可，已已经经两两两两正正交交只只需需要要对对应应的的特特征征向向量量，由由于于不不同同的的特特征征值值对对对对于于三三个个特特征征向向量量而而言言21 第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化单位化得：单位化得：，然后把然后把321 ,

54、323231,535534532,05152321 32132132535032534513153252yyyxxx那那么么，经经正正交交变变换换9, 00，特特征征值值为为正正交交变变换换列列向向量量对对应应的的239yf 二二次次型型化化成成标标准准型型为为： 1545201254102,111212211 ， 54251第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型规范化的的解解）求求方方程程（化化成成标标准准型型将将）求求正正交交变变换换的的值值；（）求求（的的秩秩为为分分）已已知知二二次次型型数数一一，（例例0),(3,212)1(22)1()1(905232121232221 xxxffPyxaxxaxxaxaf由由已已知知二二次次型型，得得：的的秩秩，因因此此，矩矩阵阵二二次次型型的的秩秩即即对对应应对对称称解解A)1( ; 00200