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文档简介

1、正四面体性质及其应用Document numberNOCG-YU正四面体的性质及其应用具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为4则(1)全面积S全二羽a2 ；对棱中点的连线是对棱的公垂线, 相邻两面所成的二面角a=arccos ； 棱与其相交的面所成的角朋arctan迈；(7)正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径厂二芈"外接球半径R(8)正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。将正四面体置于正方体中.结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正 四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮 肋，例如：例1 :已知半径为1的球

2、面上有A、B、C三个点，且它们之间的球面距离都为扌，则球心O到平面ABC的距离为()/7解析：如右图所示，OA=OB=OC=AB=BC = CA = ,球的半径&：1:.ZAOB=ZBOC=ZCOA 贝AB=BC=CA=所以o-ABC为棱长为1的正四面体，贝IJ由正四面体的性质得球心o到平面ABC的距离即其高为鲁，答案B。例2: （05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为"的正四面体ABCD有内切球O,经过该棱锥A-BCD的中截面为则O到平面M的距离为（）AB尊/ C暮D卑a,中截面到底面的距离为.因此选C。解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径 高的一半% 则o到平面M的

3、距离为罟D例3: （06年陕西卷）将半径为/?的四个球两两相切地放在桌面上t则上面一个球的球心到桌面的距离为解析：注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心:4、B、C、D、因为四个球两两相切，则ABCD是棱长为2R的正四面体，A到面BCD的距离为 距离为/?+普7?二（1-斗'）R。,则上面一个球的球心4到桌面的例4: （06年山东卷）如图1,在等腰梯形ABCD中 AB=2DC=23 /D4B二60°, E为AC的中点，将厶ADE与厶BEC分别沿ED、D I卜折起.C 、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）ABCD A ：E解析：三棱锥P-DCE实质上是棱长

4、为1的正四面体,则其外接球的体积为例5: （06年湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在J司二球面上，若过该M)A球球心的一个截面如图1,则图中三角形（正四面体的截ABC 2D 羽解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上，且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由正四面体的对称性可知M为对棱CD的中点，M到脑的距离即为正四面体对棱公垂线的长申“所以 a5c=2x2xa/2 x2 二血。例6： （07年安徽卷）半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点,则A与3两点间的球面距离为（）A atrcosB arccos (-C arccos(-g)D arccos(-)解析：由题意可知，此球O为正四面体的外接球，且外接球的半径为1,则正四2 R1 + 1 -（-）21面体的棱长为己一，根据余弦定理得cos乙二2X1X1二一予所以乙AO

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