信号与系统例题学习教案

1、会计学1信号信号(xnho)与系统例题与系统例题第一页，共33页。判断判断(pndun)下列两个系统是否为非时变系统。下列两个系统是否为非时变系统。系统系统(xtng)1的作用是对输入信号作余弦运算。的作用是对输入信号作余弦运算。 所以所以(suy)此系统为时不变系统。此系统为时不变系统。1112( )( )rtrt( )cos( )0r te tt系统系统1：( )( ) cos0r te ttt系统系统2：解：解：0( )()e te tt 110( )cos () 0rte ttt 时移时移 t0 经过系统经过系统( )cos ( )e te t 120( )cos () 0rte tt

2、t 经过系统经过系统 时移时移 t0第1页/共32页第二页，共33页。0t (0)(0)( 2)ree现在的响应现在的响应(xingyng)=现在的激励现在的激励+以前的激励以前的激励 所以所以(suy)该系统为因果系统。该系统为因果系统。所以所以(suy)该系统为非因果系统。该系统为非因果系统。0t (0)(0)( 2)ree未来的激励未来的激励解：解：解：解：( )( )(2)r te te t微分方程微分方程 所代表的系统是否是因果系统所代表的系统是否是因果系统例：例：( )( )(2)r te te t微分方程微分方程 所代表的系统是否是因果系统所代表的系统是否是因果系统例：例：第2页

3、/共32页第三页，共33页。电感电感(din n)电阻电阻(dinz)1( )( )Ritv tR1( )( )dtLi tvL电容电容(dinrng)d ( )( )dCv titCt根据根据KCLS( )( )( )( )RLCi ti titi t代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 2S2d ( )d( )1 d ( )1( )dddi tv tv tCv ttRtLt例：例：求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 ( )v t( )si t解：解：第3页/共32页第四页，共33页。用消元法求得。用消元法求得。 2111111(

4、1)LCSLLpRiuuuRCpuiiR211212121212()1/1/()1/SLSR LpR R puiLpRRpCR pCiiLpRRpC解：解：例：例：列写列写 与与 的微分方程。的微分方程。 ( )v t1( )Lit第4页/共32页第五页，共33页。22( )6( )5 ( )tddy ty ty tedtdt(0)(0)0yy2650512( )tthytC eC e解解: : 齐次方程齐次方程(fngchng)(fngchng)为为 特征方程特征方程(fngchng)(fngchng)： 特征根：特征根： 该方程该方程(fngchng)(fngchng)的齐次解为：的齐次解

5、为：1251 ，22( )6( )5 ( )0ddy ty ty tdtdt ( )tpytCte激励函数中激励函数中a = -1a = -1，与微分方程的一个特征，与微分方程的一个特征(tzhng)(tzhng)根相同，因此特根相同，因此特解为：解为： 例：求微分方程例：求微分方程(wi fn fn chn)的完全解的完全解第5页/共32页第六页，共33页。例例1 1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态(dngti)(dngti)方程方程初始条件初始条件y(0)=1, y(0)=2, y(0)=1, y(0)=2, 输入信号输入信号f(t)=e-t

6、u(t)f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应，求系统的完全响应y(t)y(t)。0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，ttheKeKty3221)(特征(tzhng)根为齐次解yh(t)解 (1)求齐次方程(fngchng)y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)特征方程为第6页/共32页第七页，共33页。2) 求非齐次方程(fngchng)y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)解得 A=5/2，B= 11/6由输入(shr)f (t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程(wi fn

7、fn chn)即可求得常数C=1/3。3) 求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0( BAy0,3161125)(42teeetyttt第7页/共32页第八页，共33页。讨论讨论(toln)1) 若初始条件不变，输入信号(xnho) f(t) = sin t u(t)，则系统的完全响应y(t) =？2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y(0)=1, 则系统的完全(wnqun)响应y(t)=？第8页/共32页第九页，共33页。配平的原理：配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平及各

8、阶导数应该平衡衡(其他其他(qt)项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他(qt)项）项）d( )3 ( )3( )dr tr ttt(0 )(0 )rr已已知知求求，例：例： 相相对对单单位位跳跳变变函函数数到到表表示示 00:tu该过程可借助数学该过程可借助数学(shxu)描述描述第9页/共32页第十页，共33页。2222dddd( )7( ) 10 ( )( )6( )4 ( )dddd4d( ) (0 )(0 )0,5dd (0 )(0 )dr tr tr te te te ttttte trrtrrt解：将解：将 e(t) 代入微分方程

9、代入微分方程(wi fn fn chn)，t0 得得22dd( )7( ) 10 ( )ddr tr tr ttt2( ) 12 ( )8( )ttu t 例：描述例：描述LTISLTIS的微分方程的微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)为为输入输入 如图，已知如图，已知用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求第10页/共32页第十一页，共33页。22( )3( )2 ( )0, (0 )1,(0 )2ddy ty ty tyydtdt解：解：特征方程特征方程02322, 121特征特征(tzhng(tzhng) )根根ttzieCeCty221)(零输入零输入(shr)

10、(shr)响响应应1212(0 )1(0 )22yCCyCC 由起始条件由起始条件0,34)(2ziteetytt得零输入响应为得零输入响应为第11页/共32页第十二页，共33页。31zizs( )( )( )2esin(2 )( )tr tr trttu t32zizs( )( )2( )e2sin(2 ) ( )tr tr trtt u t第12页/共32页第十三页，共33页。3zizs0( )( )()r tr trtt03()3003e( ) esin(22 ) ()t ttu tttu tt 4zizs( )2( )0.5( )r tr trt332 3e( )0.5esin(2 )

11、( )ttu ttu t解得解得3zi( )3e( )tr tu t3zs( ) esin(2 ) ( )trtt u t 第13页/共32页第十四页，共33页。( )3 ( )2 ( )(0)dy ty tf ttdt试求系统试求系统(xtng)的冲激响应的冲激响应h(t)。 第14页/共32页第十五页，共33页。( )3 ( )2 ( )(0)dh th tttdt30第15页/共32页第十六页，共33页。33333( )3( )2 ( )( )3( )3( )2 ( )( )2 ( )tttttdAeu tAeu ttdtAetAeu tAeu ttAtt即即 解得解得A=2，因此，因此

12、(ync)，系统的冲激响应为，系统的冲激响应为3( )2( )th teu t求导后，对含有求导后，对含有(t)的项利用的项利用(lyng)冲激信号冲激信号(t)的取样特性进行化简，即的取样特性进行化简，即 ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )(0) ( )df t g tf tg tf t g tdtf t g tft第16页/共32页第十七页，共33页。22( )3( )2 ( )0, (0 )1,(0 )2ddy ty ty tyydtdt解：特征方程02322, 121特征(tzhng)根ttzieCeCty221)(零输入(shr)响应1212(0 )1(0 )22y

13、CCyCC 由起始条件0,34)(2ziteetytt得零输入响应为零输入响应第17页/共32页第十八页，共33页。解 系统(xtng)的特征方程为例2 已知某线性时不变系统的动态(dngti)方程式为: 系统的初始状态为y(0-)=1，y (0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。)(4)(6522tftydtdydtyd0t0652 ss3221ss，ttxeKeKty3221)(0,56)(32teetyttx系统(xtng)的特征根为 y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y (0)= yx(0)= 2K13K2 =3解得 K1=6，K2=5第18页/共32页第十九页，共33页。例3

14、 已知某线性时不变系统的动态(dngti)方程式为系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)= -1，求系统的零输入响应yx(t)。解 系统(xtng)的特征方程为)(3 2)(4422tfdtfdtydtdydtyd0442 ss221 ssttxteKeKty2221)(0,5)(22tteetyttx系统(xtng)的特征根为（两相等实根） y(0)=yx(0)=K1=1; y(0)= yx(0)= 2K1+K2 =3 解得 K1 =1, K2=5第19页/共32页第二十页，共33页。例4 已知某线性时不变系统(xtng)的动态方程式为系统(xtng)的初始状态为y(0-)=1，y(0-

15、)=3，求系统(xtng)的零输入响应yx(t)。)(3 4)(5222tfdtfdtydtdydtyd解 系统(xtng)的特征方程为系统(xtng)的特征根为0522 ssjsjs212121，)2sin2cos)(21tKtKetytx（y(0)=yx(0)=K1=1 y (0)= yx(0)= K1+2K2 =3解得 K1=1，K2=20),2sin22(cos)(tttetytx第20页/共32页第二十一页，共33页。例5 已知某LTI系统(xtng)的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系统(xtng)的冲激响应h(t)=2e-3t u(t), f(t)=3u(t), 试

16、求系统(xtng)的零状态响应yf(t)。dthfthtftyf)()()()()(dtueut)(2)(3=)(3 0 00 d2e3=0)-3(-tttt解 0 00 ) 1 (2=3ttet)() 2(1=3tuet第21页/共32页第二十二页，共33页。例例1 1 已知某线性时不变系统已知某线性时不变系统(xtng)(xtng)的动态方程式的动态方程式为为 试求系统试求系统(xtng)(xtng)的单位冲激响应。的单位冲激响应。0),(2)(3)(ttftydttdy解解：当f (t)=(t)时, y(t)=h(t), 即)(2)(3)(tthdttdh动态(dngti)方程式的特征根

17、s=-3, 且nm, 故h(t)的形式为)()( t3tuAeth)(2)( 3+ )( 33ttuAetuAedtdtt解得A=2)(2)( 3tuetht第22页/共32页第二十三页，共33页。例例2 2 已知某线性时不变系统已知某线性时不变系统(xtng)(xtng)的动态方程式的动态方程式为为 试求系统试求系统(xtng)(xtng)的冲激响应。的冲激响应。解解：当f (t)=(t)时, y(t)=h(t), 即)( 3)(2)(6)(ttthdttdh动态方程式的特征(tzhng)根s= -6, 且n=m, 故h(t)的形式为)()()( t6tBtuAeth解得A= 16, B =

18、30),( 3)(2)(6)(ttftftydttdy)( 3)(2)()( 6+ )()( 66tttBtuAetBtuAedtdtt)(16)(3)( t6tuetth第23页/共32页第二十四页，共33页。)(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()(),(*)(tuethtutfthtft计算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtfttt例1第24页/共32页第二十五页，共33页。例2：计算(j sun)y(t) = p1(t) * p1(t)。)()(11tpp0.5t5 . 0t 5 . 01t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp01t1a) t 1

19、b) 1 t 0tdttyt1)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0第25页/共32页第二十六页，共33页。t 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc) 0 t 1tdttyt1)(5 . 05 . 0d)1 t y(t)=0第26页/共32页第二十七页，共33页。练习(linx)1：u(t) * u(t)练习(linx)2：计算y(t) = f(t) * h(t)。)(tft101)(tht201)(tyt20113tt3= r(t)第27页/共32页第二十八页，共

20、33页。例：利用(lyng)位移特性及u(t) * u(t)= r(t) ，计算y(t) = f(t) * h(t)。)(tft101)(tht201)(tyt20113tt3y(t) = f(t) h(t) = u(t) u(t-1) * u(t) u(t-2) =u(t)u(t) u(t1)u(t) u(t)u(t2) u(t1)u(t2)= r(t) r(t2) r(t 1) + r(t3)第28页/共32页第二十九页，共33页。例1：已知 y(t) = f1(t) f2(t) ，求y(t)。解：y(t)=y(t) (t) = f1(t) f2(t) (t)例2：已知 y(t) = f1(t) f2(t)， 求y(1)(t)。解：y(1)(t)=y(t) u(t) = f1(t) f2(t)