浅谈新课标全国卷导数命题背景

1、浅谈新课标全国卷导数命题背景.近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给 的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的 味道结合高等数学部分内容，我们来研究下近几年高考真题的本质： 例 1. ( 2014北京卷)己知函数/(x) = xcosx-sinx,xw 0,彳,< 1)求证：/(x)<0sin xtc(2)若av vb在(0,)上恒成立，求q的最大值与b的最小值 x2第(1)问很简单，求导后容易得到结论第(2)问我们令&(£)=壯x271则 g©)= cos", sinx,由知，g&

2、#169;)wo,故g(x)在(0冷 上单调递减，从而g的最小值为若卜 故a , a的最大值为2.717t只用初等接下来我接下來b最大值肯立在x等于0处収到，代入x = 0,我们发现出现了 °的情况,0cjn x数学我们无法求解，其实本题就用到了微积分里两个重要极限zlim =1,xto x们來证明一下这个结论cin ( v-f* a x)令 f(x) = sinx,山导数定义得/z(x) = lim - =cosx ,wo (兀+八兀)-%那么广(0)= lim = lim cosx = 1,那么显然第(2)小问里b' 丿 go(o + ax)o 5 x xt0的最小值就是

3、1qin v评注：本题结合了极限lim =1进行命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对导 z) x数的定义，很多老师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很 大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的能义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识 时才能应付自如，游刃有余.1 x高等数学里还有个重要极限就是lim( 1+上)=e，稍后我们进行讨论.xx上而两个极限是导数与微分的内容，在上完导数与微分后，我们将会接触到3个微分中值怎 理：罗尔中值定理，拉榕朗日中值定理，柯西中值定理罗尔中值处理：，曲线弧(方程为)是一条连续的|川线 弧，如果弧的两端点纵坐标相等，那么弧上至少有一

4、点， 曲线在该点切线是水平的拉格朗口中值定理：如果函数f(x)满足:1) 在闭区间a,b上连续；2) 在开区间(a,b)内可导。那么：在(a,b)内至少有一点"avgvb), 使等式/(/?)一/(4)=作)成立b_a柯西屮值定理：如果函数f(x)及f(x)满足(1) 在闭区n a,b±连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；(3) 对任一xe(a,b), f(x)#o那么在(a,b)内至少有一点g,使等式3=需成立其中,在柯西中值定理里当i时,我们会得到求取彳不定式极限的洛必达法则:当x->a时,函数f(x)及f(x)都趋于零;(2)f(x)及f'(x)都存

5、在且f(x)#o,那么有lim.r>a/（兀）= lim一注：洛必达法则也可以证明极限lim f(x) 宀厂5 x=1,上下求导便可得下面我们來看一道用洛必达法则命制的高考题例2. (2011新课标全国卷)已知函数于(兀)=冬匕仝+ ?, |线y = /(%)在点(1, /(i)处的 x + 1 x切线方程为x + 2y 3 = 0。(i )求q . b的值； ip r r(ii)如果当x>o, .hxhi时，求r的取值范围。x-l x第一问很简单，求导后解方程易得a=1, b=19 y in v9 y in x第二问进行分离参数，可得kv丄斗+ 1,令g(x)=丄彳+ 1，求两次

6、导后得到g(x)1-x"在(0, 1)单调减，在(1, + )单调增，由洛必达法则得lim也l= + l = lim" i】u)+xt1 1 xx->1-lx=0,所以kw («, 0),取k=1代回原命题也成立，所以kw (-00, 0评注：木题原解法分类讨论极其复杂而口某些步骤不容易想到，显然这份标准答案是命题人 结合洛必达法则得出答案后强行凑给考生看的，假如我们站在命题人的高度看问题，任何复 杂的题目都会不堪一击.值得注意的是，新课标全国卷连续考了两年洛必达法则：例3. (2010新课标全国卷)设函数fx) = e-x-ax2(1) 若d=0时，求/&

7、#39;(x)单调区间(2) 若当兀n0时,/(兀)30,求a的取值范围本题笫二问町以用洛必达法则求解，留做习题在学习完微分中值定理示，我们就会接触到由柯西中值定理推导出的泰勒公式，它在近几年 高考中的命题地位比洛必达法则还要高高等数学里cy和ln(x +1)的泰勒展开式特别优美：x2兀3cv = l+x + + 4- (1)2!3!234ln(x + l) = x- + + (2)234(1)式中我们对右边的幕级数求导发现它的导函数就是本身，我们都知道导函数是瓦本身的只有于，所以e"和右边是相等的，证明它过程太复杂，所以我们不做证明，下血我们用一种不太严谨的方法來证明(2)式的弱命

8、题令an =xn,xg (-1,1)y yn+1yy卄 1那么其前 n 项和 s = x + x2 + x3 + x4 + x5 +xn = x x x学习等比数列的和时我们就知道，当公比时，其前n项和是收敛的，有悝即皿+八2+八古 xe (-1, 1)两边同时积分得x + x2 + x3 + %4 + + xndx = x dx3jl-x234即兰 4- + +=-ln(-x)-x ,234234zt?(1 x) = x xg ( -1 9 1 )234yyy令 x =-x ,得加(1 + 兀)=尤 + - + xg (-1 , 1 )234那么泰勒公式怎么考呢？最简单的考法之一就就是舍去展

9、开式一些项,把等号变为不等号以 函数放缩形式考察对(1)式舍去第三项及其之后，得er 1 + x , x e r(3)对(2)式舍去第三项极其之后,或者对(3)式两边取对数，得加(l + x)wx, x g (-1, +- )(4)对(4)中令1 + % = +上式便可加强为1-w 加(1 +兀)wx(5)1 +兀(3) (4) (5)式均当h仅当x=1时収等号，我们将其称为泰勒不等式或者基本函数不等 式，另外细心的同学也发现例3屮的函数/(x) = ex-l-x-«x2便是e"的泰勒展开式取前 3项后加上个参数a,所以本题的命制背景就是洛必达法则+泰勒公式，如果你知道e&

10、quot;的泰 勒展开，那么本题答案一眼就看得出来是aw丄，所以对丁学有余力的同学，提前学习一些2微积分对高考是大冇裨益的注：补充泰勒展开式以及对应不等式xxxsinx = x- + + (6),舍去第二项及具z后得肮加wx ,当且仅当x=0取3! 5! 7!qin v等,ill (6)也可以证明极限lim=1,请读者自行证明xto x卜-而我们來看一道例题，本题在微积分的课本里经常当作经典例题或习题，而命题人直接就 拿出來当压轴题考察学生例 4.证明： i1fhv/7?(l + n)<l1fh234n+12 3 n分析：左右都是和，屮间的加(1 + n)也将其拆做和的形式，证明通项不等

11、关系即可证明：注意到加(l + n) = /(出)+/!( ) +/7(-) + 加(z),nn-121故只需证丄v加(1 +丄)v丄即可，由(5)式令x=丄显然成立n + 1n nn评注：使用泰勒不等式时耍注意不等号方向，并且木题也可以通过泄积分的几何意义证明， 证明过程留做习题1 *前而我们提到后面我们会证明极限lim( 1+) =e，接下來我们用基本函数不等式xt8x加(1 + x) w x来给lb精彩的证明对原命题取对数，即只需证明limxln(l+-) =1,注意到加(1 +兀)wx,当h仅当x=0xtoox取等，那么当x趋近于0,即丄趋近于8时，冇limln( 1+丄)=lim丄，

12、即xxtoo% xtoo xlimxln( 1+1 ) =lim兀=1xt8兀xt8 兀这几个基木函数不等式可以衍牛出一犬批高考题，下血我们挑几道进彳j-分析：例5 (2013新课标全国卷ii)已知函数/(x) =ea -ln(.x + m)(1) 设x = 0是/(x)的极值点，求m并讨论/&)的单调性(2) 证明：当inw2时，/(兀)>0第一问很简单，求导罚弋入x=0求出m,然后进而求取单调区间第二问我们根据不等式加(1 + x) w兀来轻松秒杀.因为 ln(m + x) < x + m -1,故e' -/n(x + m) cx-x-m +1,当 x + m

13、=1 取等，令g(x) = ex-x-m +1,求导易得g(x)在(0, + )单调增，在(m, 0)单调减故g(x)min = g(°)=2mn0,即 /(x) ng(兀)m0,故/(x) >0评注：木题标准答案是对/(兀)求导对极值点设而不求并讨论其存在性最后得出答案，其实木题本质就是泰勒不等式的运用，标答只起了欲盖弥彰的作用下而我们对应用泰勒不等式中比较复杂的形式进行讲解：(2007 辽宁卷节选)lln/(x) = e2x 2z(ev +x) +x2 + 2r2 4-1,证明：/(x)山式可知卉心，那么(e心，市不等式呼命+几得1 =(/_/) + (r-x)t(ex-r

14、)2+(r-x)2 = e2x-2r(ev+x) +x2 + 2t22 2 2 l 两边同时加1得原命题.评注：本题结合了基本不等式推论之一+必 冬/+庆,在了解泰勒不等式时也需要对2课木知识牢牢掌握.2严例6 (2014新课标全国卷一)已知于(x)=e%x +,证明:/(%) >1x分析：对泰勒不等式学握很好的同学应该会发现，其好用z处就是把复杂函数的证明问题转化为简单函数的证明问题，本题出现多个复杂结构，故需要多次运用辺l个不等式解：原不等式两边同时乘以兀，即证xexlnx + 2e'>xf因为故只需证兀e'加兀+广】>0,考虑到j>0恒成故只需证刃

15、处+丄20,因为刃处最小值在x等于ee处取到为-丄，所以xlnx + -0,考虑到前面的放缩不可同时取等号，有/(x)>l.ee评注：本题标答是一个巧妙的等价变换后再对新函数求导，这步非常不好想到，显然是命题 人掩盖了他如何命制本题，以上解答过程反过來即为命题人命制此题的思路。并且里血有经 常遇到甚至背得的x加x的单调性和最值，这也是基础的考察.例7 (2012新课标全国卷)已知/(兀)=广(1) e"-1 -/(0) x + -x2(1) 求于(兀)的解析式以及单调区间(2) /(x)%2 -ax-b ,求(° + 1) 的最人值2第(1)问很简单，求导后对x赋值可

16、以得到/3=兰一x +求导后易得单调区间(-co, 0)单调减(0, +oo)单调增解：山题e' -(a + l) x-b > 0 ,令g(兀)=e'-(o + l) x-b , &(兀)20等价丁若g(兀)在r单调增，那么g( x)不存在零点若gd)在r不单调，那么其极小值20对g3 求导,有g©)=j(a + l),当awl时，g©)>0恒成立，g(兀)在r单调增,此 时g (兀)_运存在个零点，不符合题意 当a大>1时,令g'(x)=o,则兀=加(7 + 1),故g(x)在(8,加(a + 1)单调减，在(加(a +

17、1), +8)所以只需 g(加(d + 1) )20 即 口j,即(a + l)(d + 1)加(d + 1)b $0.即 b(d + l)w(a + l)2.(d + l)2 加(a + 1),令/2(jo=(a + l)2.(d + l)2 加(a + 1),求导后易触最人值为£ ,2 故 b(a + l)nwt='|评注：12年全国卷被认为近几年最难，但你只要站在命题者的角度去看待问题，注惠到木题也是通过泰勒公式改编，后而的步骤就顺理成章 泰勒公式除了舍去一些项当不等式考察，其木身的存在也可以估算某些超越数的近似值，所以便有 t 14年新课标二卷的这道题：例8 (201

18、4新课方k全国二卷节选)已知/(x) = e' - ea 一 2x已11 1.4142<a/2 <1.4143,估测 ln2 的近似值(精确到0.001)xxx解法注意到/n(x + l) =%-十+234则加()=2 (xh- +),取前 3 项令 x= 得 ln2=21n206931 尢35>/2 +1解法2：令g(x)=加(兀),rh导函数定义得g(x)=丄，则ay =,取x =e,得g(c)ar xx=-,取山=2血o 则4y = 2e ,那么g(2>/i)ag(e)+3 ,ee即ln(2/2) = ln2 心1+- = 2血,即加2 22 ,取血 心1.4142, e2.718,2ee3 e代入得加20.69