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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上概率与统计知识点与题型3.1.1 3.1.2随机事件的概率及概率的意义1、基本概念:(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率:对于给定的随机事件A

2、,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念:(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若AB为不可能事件,即AB=,那么称事件A与事件B互斥;(3)若AB为不可能事件,AB

3、为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(AB)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事件,则AB为必然事件,所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性质:1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0P(A)1;2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(AB)= P(A)+ P(B);3)若事件A与B为对立事件,则AB为必然事件,所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1P(B);4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体

4、包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 3.2.2古典概型及随机数的产生1、(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。(2)古典概型的解题步骤;求出总的基本事件数;求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=3.3.13.3.2几何概型及均匀随机数的产生1、基本概念:(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(

5、面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;(2)几何概型的概率公式:P(A)=;(1) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:试验可以在相同的情形下重复进行;试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量,a,b是常

6、数.则也是一个随机变量.一般地,若是随机变量,是连续函数或单调函数,则也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量可能取的值为:取每一个值的概率,则表称为随机变量的概率分布,简称的分布列.P有性质; .注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:即可以取05之间的一切数,包括整数、小数、无理数.3. 二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是:其中 于是得到随机变量的概率分布如下:我们称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n·p),其中n,p为参数,并记.二项分布的

7、判断与应用.二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.4. 几何分布:“”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为,事A不发生记为,那么.根据相互独立事件的概率乘法分式:于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称服从几何分布,并记,其中5. 超几何分布:一批产品共有N件,其中有M(MN)件次品,今抽取

8、件,则其中的次品数是一离散型随机变量,分布列为.分子是从M件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定时,则k的范围可以写为k=0,1,n.超几何分布的另一种形式:一批产品由 a件次品、b件正品组成,今抽取n件(1na+b),则次品数的分布列为.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,其中次品数服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数的分布列可如下求得:把个产品编号,则抽取n次共有个可能结果,等可能:含个结果,故,即.我们先为k个次品选定位置,共种选法;然后每个次品位置有a种选法,每个正品位置有b种选法 可以证明:当产品总数很大而抽取

9、个数不多时,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量的概率分布为P则称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量的数学期望: 当时,即常数的数学期望就是这个常数本身.当时,即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和.当时,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.01Pqp单点分布:其分布列为:. 两点分布:,其分布列为:(p + q = 1)二项分布: 其分布列为.(P为发生的概率)几何分布: 其分布列为.(P为发生

10、的概率)3.方差、标准差的定义:当已知随机变量的分布列为时,则称为的方差. 显然,故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.越小,稳定性越高,波动越小.4.方差的性质.随机变量的方差.(a、b均为常数)01Pqp单点分布: 其分布列为两点分布: 其分布列为:(p + q = 1)二项分布:几何分布: 5. 期望与方差的关系.如果和都存在,则设和是互相独立的两个随机变量,则期望与方差的转化: (因为为一常数).三、正态分布. 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量,位于x轴上方,落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形

11、的面积(如图阴影部分)的曲线叫的密度曲线,以其作为图像的函数叫做的密度函数,由于“”是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.2. 正态分布与正态曲线:如果随机变量的概率密度为:. (为常数,且),称服从参数为的正态分布,用表示.的表达式可简记为,它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差:若,则的期望与方差分别为:.正态曲线的性质.曲线在x轴上方,与x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当时,曲线上升;当时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.当一定时

12、,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布:如果随机变量的概率函数为,则称服从标准正态分布. 即有,求出,而P(ab)的计算则是.注意:当标准正态分布的的X取0时,有当的X取大于0的数时,有.比如则必然小于0,如图. 正态分布与标准正态分布间的关系:若则的分布函数通常用表示,且有. 习题16名同学排成两排,每排3人,其中甲排在前排的概率是 ( )A BC D 2有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名,恰好2名男生或2名女生的概率是 ()A B. C. D. 3甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率

13、分别是,那么至少有1人解对的概率是 ()A. B. C. D.4从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是 ()A. B. C. D. 5有2n个数字,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两个数,则所取的两数之和为偶数的概率是 ( )A、 B、 C、 D、6有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名学生,恰好是2名男生或2名女生的概率是 ()A BC D7已知P箱中有红球1个,白球9个,Q箱中有白球7个,(P、Q箱中所有的球除颜色外完全相同)现随意从P箱中取出3个球放入Q箱,将Q箱中的球充分搅匀后,再从Q箱中随意取出3个球放入P箱

14、,则红球从P箱移到Q箱,再从Q箱返回P箱中的概率等于 ()AB CDC9 2/C10 3 乘以C9 2/C10 3 8已知集合A=12,14,16,18,20,B=11,13,15,17,19,在A中任取一个元素用ai(i=1,2,3,4,5)表示,在B中任取一个元素用bj(j=1,2,3,4,5)表示,则所取两数满足ai>bI的概率为()A、 B、 C、 D、9在圆周上有10个等分点,以这些点为顶点,每3个点可以构成一个三角形,如果随机选择3个点,刚好构成直角三角形的概率是( )直径有5个A. B. C. D. 10已知10个产品中有3个次品,现从其中抽出若干个产品,要使这3个次品全部

15、被抽出的概率不小于0.6,则至少应抽出产品 ( )A.7个 B.8个 C.9个 D.10个11甲、乙独立地解决 同一数学问题,甲解决这个问题的概率是0.8,乙解决这个问题的概率是0.6,那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( ) A、0.48 B、0.52 C、0.8 D、0.9212.某小组有三名女生,两名男生,现从这个小组中任意选出一名组长,则其中一名女生小丽当选为组长的概率是_13.掷两枚骰子,出现点数之和为3的概率是_14.某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是_15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示:年降水

16、量/mm 100, 150 ) 150, 200 ) 200, 250 ) 250, 300 概率0.210.160.130.12则年降水量在 200,300 (m,m)范围内的概率是_16、向面积为S的ABC内任投一点P,则PBC的面积小于的概率是_。17、有五条线段,长度分别为1,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为_18、在等腰RtABC中,在斜边AB上任取一点M,则AM的长小于AC的长的概率为_19甲、乙两名篮球运动员,投篮的命中率分别为0.7与0.8(1)如果每人投篮一次,求甲、乙两人至少有一人进球的概率;(2)如果每人投篮三次,求甲投进2球

17、且乙投进1球的概率20加工某种零件需要经过四道工序,已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为,且各道工序互不影响(1)求该种零件的合格率(2)从加工好的零件中任取3件,求至少取到2件合格品的概率(3)假设某人依次抽取4件加工好的零件检查,求恰好连续2次抽到合格品的概率(用最简分数表示结果)21甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为、,和的分布列如下:012012PP则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.22. 某商场经销某商品,根据以往资料统

18、计,顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元表示经销一件该商品的利润()求事件:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率;()求的分布列及期望参考答案:1-5、BDDBC 6-11、CBBBCD12. 13.14.15.0.25 16、 17、18、19:解:设甲投中的事件记为A,乙投中的事件记为B,(1)所求事件的概率为:P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94(2)所求事件的概率为:P=C0.72×0.3×C0.8×0.22=0 20:解:(1)该种零件合格率为(2

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