2018年普通高等学校招生全国统一考试(Ⅰ卷)数学(理科)及详细答案

1、绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试(卷)理 科 数 学本试卷共 4 页,23 小题 ,满分 150 分。考试用时120 分钟。注意事项 : 1.答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时 ,选出每小题答案后,用 2b 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动 ,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以

2、上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题 :本题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设z=1-i1+i+2i, 则|z|=a.0b.12c.1d. 22.已知集合a=x|x2-x-20, 则ra=a.x|-1x2 b.x|-1x 2 c.x|x2 d.x|x-1 x|x2 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况 ,统计了该地地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图 : 则下面结论中不正确的是a

3、.新农村建设后,种植收入减少b.新农村建设后 ,其他收入增加了一倍以上c.新农村建设后,养殖收入增加了一倍d.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记sn为等差数列 an的前n项和.若 3s3=s2+s4,a1=2,则a5=a.-12 b.-10 c.10 d.12 5.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数 ,则曲线y=f(x)在点 (0,0) 处的切线方程为a.y=-2xb.y=-x c.y=2xd.y=x6.在abc中,ad为bc边上的中线 ,e为ad的中点 ,则? ? =a.34? -14? ? ? ? ? b.14? -34? ?

4、? ? ? c.34? +14? ? ? ? ? d.14? +34? ? ? ? ? 7.某圆柱的高为2,底面周长为16, 其三视图如右图.圆柱表面上的点m在正视图上的对应点为a,圆柱表面上的点n在左视图上的对应点为b,则在此圆柱侧面上,从m到n的路径中 ,最短路径的长度为a.2 17b.2 5c.3 d.2 8.设抛物线c:y2=4x的焦点为f,过点 (-2,0) 且斜率为23的直线与c交于m,n两点 ,则? ? ? =a.5 b.6 c.7 d.8 9.已知函数f(x)=e?,x 0,ln?,? 0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在 2 个零点 ,则a的取值范围是a.-1,0)

5、 b.0,+) c.-1,+) d.1,+) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形abc的斜边bc,直角边ab,ac.abc的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为,在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则a.p1=p2b.p1=p3c.p2=p3d.p1=p2+p311.已知双曲线c:?23-y2=1,o为坐标原点 ,f为c的右焦点 ,过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m,n.若omn为直角三角形,则|mn|=a.32b.3 c.2 3d.4 12.已知正方体的棱长为1, 每条棱所在

6、直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为a.334b.233c.324d.32二、填空题 :本题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分。13.若x,y满足约束条件 ? -2? -2 0,? -? + 1 0,? 0,则z=3x+2y的最大值为. 14.记sn为数列 an的前n项和.若sn=2an+1,则s6= . 15.从 2 位女生 ,4 位男生中选3 人参加科技比赛,且至少有1 位 女生入选 ,则不同的选法共有种.(用数字填写答案 ) 16.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是. 三、解答题 :共 70 分 ,解答应写出文字说明、证明

7、过程或演算步骤。第17-21 题为必考题 ,每个试题考生都必须作答。第 22 、23 题为选考题 ,考生根据要求作答。(一)必考题 :共 60 分。17.(12 分) 在平面四边形abcd中,adc=90 ,a=45 ,ab=2,bd=5.(2)求 cos adb; (3)若dc=2 2,求bc.18.(12 分) 如图 ,四边形abcd为正方形 ,e,f分别为ad,bc的中点 ,以df为折痕把dfc折起 ,使点c到达点p的位置 ,且pfbf.(1)证明 :平面pef平面abfd; (2)求dp与平面abfd所成角的正弦值.19.(12 分) 设椭圆c:?22+y2=1 的右焦点为f,过f的直

8、线l与c交于a,b两点 ,点m的坐标为 (2,0).(1)当l与x轴垂直时 ,求直线am的方程 ; (2)设o为坐标原点 ,证明 :oma=omb.20.(12 分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时 ,先从这箱产品中任取20 件作检验 ,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20 件,结果恰有2 件不合格品

9、,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用.()若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用的与赔偿费用的和记为x,求ex; ()以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 21.(12 分) 已知函数f(x)=1?-x+aln x.(1)讨论f(x)的单调性 ; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明 :?(?1)-f(?2)?1-?21 的解集 ; (2)若x(0,1) 时不等式f(x)x成立 ,求a的取值范围.绝密启用前2018 年普通高等学校招生

10、全国统一考试(卷)理 科 数 学本试卷共 4 页,23 小题 ,满分 150 分。考试用时120 分钟。注意事项 : 1.答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时 ,选出每小题答案后,用 2b 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动 ,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡

11、的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题 :本题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.1+2i1-2i=a.-45-35ib.-45+35ic.-35-45id.-35+45i 2.已知集合a=(x,y)|x2+y2 3,xz,yz,则a中元素的个数为a.9 b.8 c.5 d.4 3.函数f(x)=e?-e-?2的图像大致为4.已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a (2a-b)=a.4 b.3 c.2 d.0 5.双曲线?2?2-?2?2=1(a0,b0)的离心率为 3,则其渐近线方程为a.y= 2x

12、b.y= 3xc.y= 22xd.y= 32x6.在abc中,cos?2=55,bc=1,ac=5,则ab=a.4 2b. 30c. 29d.2 57.为计算s=1-12+13-14+199-1100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入a.i=i+1 b.i=i+2 c.i=i+3 d.i=i+4 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23.在不超过30 的素数中 ,随机选取两个不同的数,其和等于30 的概率是a.112b.114c.115d.1189.在长方体abcd-a1b1c1d1中

13、,ab=bc=1,aa1= 3,则异面直线ad1与db1所成角的余弦值为a.15b.56c.55d.2210.若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数 ,则a的最大值是a.4b.2c.34d. 11.已知f(x)是定义域为 (-,+)的奇函数 ,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=a.-50 b.0 c.2 d.50 12.已知f1,f2是椭圆c:?2?2+?2?2=1(ab0) 的左、右焦点 ,a是c的左顶点 ,点p在过a且斜率为36的直线上,pf1f2为等腰三角形,f1f2p=120 ,则c的离心率为a.23b.12c.1

14、3d.14二、填空题 :本题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分。13.曲线y=2ln(x+1) 在点 (0,0) 处的切线方程为. 14.若x,y满足约束条件 ?+ 2? -5 0,? -2?+ 3 0,? -5 0,则z=x+y的最大值为. 15.已知 sin +cos =1,cos +sin =0,则 sin( +)= . 16.已知圆锥的顶点为s,母线sa,sb所成角的余弦值为78,sa与圆锥底面所成角为45 .若sab的面积为5 15,则该圆锥的侧面积为. 三、解答题 :共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题 ,每个试题考生都必须作答。第

15、22 、23 题为选考题 ,考生根据要求作答。(一)必考题 :共 60 分。17.(12 分) 记sn为等差数列 an的前n项和 ,已知a1=-7,s3=-15.(1)求an的通项公式 ; (2)求sn,并求sn的最小值.18.(12 分) 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y(单位 :亿元 )的折线图.为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据 2000 年至2016 年的数据 (时间变量t的值依次为1,2,17) 建立模型:y=-30.4+13.5t;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量t的值依次为1,

16、2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.(12 分) 设抛物线c:y2=4x的焦点为f,过f且斜率为k(k0)的直线l与c交于a,b两点 ,|ab|=8.(1)求l的方程 ; (2)求过点a,b且与c的准线相切的圆的方程.20.(12 分) 如图 ,在三棱锥p-abc中,ab=bc=2 2,pa=pb=pc=ac=4,o为ac的中点.(1)证明 :po平面abc; (2)若点m在棱bc上,且二面角m-pa-c为 30 ,求pc与平面pam所成角的正弦值.21

17、.(12 分) 已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明 :当x 0 时,f(x) 1; (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.(二)选考题 :共 10 分。请考生在第22 、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xoy中,曲线c的参数方程为 ?= 2cos?,?= 4sin?(为参数 ),直线l的参数方程为 ?= 1 + ?cos?,?= 2 + ?sin?(t为参数).(1)求c和l的直角坐标方程; (2)若曲线c截直线l所得线段的中点坐标为(1,2), 求l的斜率.23.选修 4-5:不

18、等式选讲 (10 分) 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1 时,求不等式f(x)0 的解集 ; (2)若f(x)1,求a的取值范围.绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试(卷)理 科 数 学本试卷共 4 页,23 小题 ,满分 150 分。考试用时120 分钟。注意事项 : 1.答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时 ,选出每小题答案后,用 2b 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题

19、必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动 ,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题 :本题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合a=x|x-10,b=0,1,2, 则ab=a.0b.1c.1,2d.0,1,2 2.(1+i)(2-i)=a.-3-i b.-3+i c.3-i d.3+i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫

20、卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头 ,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4.若 sin =13,则 cos 2=a.89b.79c.-79d.-895.(x2+2?)5的展开式中x4的系数是a.10 b.20 c.40 d.80 6.直线x+y+2=0 分别与x轴,y轴交于a,b两点 ,点p在圆 (x-2)2+y2=2 上,则abp面积的取值范围是a.2,6 b.4,8 c. 2,3 2 d.2 2,3 2 7.函数y=-x4+x2+2 的图像大致是8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设x为该群体的1

21、0 位成员中使用移动支付的人数,dx=2.4,p(x=4)0,b0)的左 ,右焦点 ,o是坐标原点.过f2作c的一条渐近线的垂线,垂足为p.若|pf1|= 6|op|,则c的离心率为a. 5b.2 c. 3d. 212.设a=log0.20.3,b=log20.3,则a.a+bab0 b.aba+b0 c.a+b0abd.ab00).(1)证明 :k-12; (2)设f为c的右焦点 ,p为c上一点 ,且? ? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? =0.证明 :|? ? ? ? ? |,|? ? ? ? ? |,|? ? ? ? |成等差数列 ,并求该数列的公差.21.(12 分

22、) 已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明 :当-1x0 时,f(x)0 时,f(x)0; (2)若x=0 是f(x)的极大值点 ,求a.(二)选考题 :共 10 分.请考生在第22 、23 题中任选一题作答.如果多做 ,则按所做的第一题计分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系xoy中,o的参数方程为 ?= cos?,?= sin?(为参数 ),过点 (0,- 2)且倾斜角为的直线l与o交于a,b两点.(1)求的取值范围 ; (2)求ab中点p的轨迹的参数方程.23.选修 4-5:不等式选讲 (10 分) 设函数f(x)=

23、|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像 ; (2)当x0,+)时 ,f(x)ax+b,求a+b的最小值.详细参考答案全国卷1.c【解析】本题考查复数的四则运算以及复数的模的定义.由z=(1-i)2(1+i)(1 -i)+2i=-i+2i=i,得|z|=1.2.b【解析】本题考查集合的补集运算,考查运算求解能力.由a=x|x2,得ra=x|-1x2.3.a【解析】本题考查统计中的饼图,考查考生的识图、用图的能力.设新农村建设前 ,农村的经济收入为a,则新农村建设后,农村的经济收入为2a,由题所给饼图可得种植收入养殖收入第三产业其他收入新农村建设前0.6a0.3a0.06a0.04

24、a新农村建设后0.74a0.6a0.56a0.1a因为 0.6a12时,f(x)0;当 cos x12时,f(x)0.由此可得 ,当 cos x=12时,f(x)取得最小值 ,又f(x)=2sin x(1+cos x),故f(x)min=2(-32)(1+12)=-332.17.【解析】本题考查解三角形,考查数形结合的数学思想.第(1) 问由正弦定理求sinadb再求 cos adb;第(2) 问先求 cos bdc,再由余弦定理得bc.解:(1)在abd中,由正弦定理得?sin ?=?sin ?.由题设知 ,5sin45=2sin ?,所以 sin adb=25.由题设知 ,adb90 ,所

25、以 cos adb=1-225=235.(2)由题设及 (1) 知,cos bdc=sinadb=25.在bcd中,由余弦定理得bc2=bd2+dc2-2bddc cos bdc=25+8-252 225=25.所以bc=5.18.【解析】本题考查面面垂直的证明与利用空间向量求线面角的正弦值.解:(1)由已知可得 ,bfpf,bfef,所以bf平面pef.又bf? 平面abfd,所以平面pef平面abfd.(2)作phef,垂足为h,由(1)得,ph平面abfd.以h为坐标原点 ,? 的方向为y轴正方向 ,|? ? ? ? |为单位长 ,建立如图所示的空间直角坐标系h-xyz.由(1) 可得,

26、depe,又dp=2,de=1,所以pe=3,又pf=1,ef=2,故pepf.可得ph=32,eh=32.则h(0,0,0),p(0,0,32),d(-1,-32,0),? =(1,32,32),? ? ? ? ? ? =(0,0,32)为平面abfd的法向量.设dp与平面abfd所成角为,则 sin =|? ? ? ? |? |? ? ? ? |=343=34.所以dp与平面abfd所成角的正弦值为34.19.【解析】本题考查直线与椭圆,考查抽象概括能力与转化与化归的数学思想.本题第 (2)问的关键是将oma=omb转化为kma+kmb=0.解:(1)由已知得f(1,0),l的方程为x=1

27、.由已知可得 ,点a的坐标为 (1,22)或(1,-22),所以am的方程为y=-22x+ 2或y=22x- 2.(2)当l与x轴重合时 ,oma=omb=0.当l与x轴垂直时 ,om为ab的垂直平分线 ,所以oma=omb.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),a(x1,y1),b(x2,y2),则x1 2,x20;当p(0.1,1) 时,f(p)400, 故应该对余下的产品作检验.21.【解析】本题考查导数的综合应用,考查分类讨论、函数与方程的数学思想.本题第 (1)问的关键是对导函数的零点与x=0 进行比较 ;第(2) 问要化简?(?1)-f(?2)?1-?2

28、,再结合x1x2=1 代换x1=1?2,最后构造函数即可.解:(1)f(x)的定义域为 (0,+),f(x)=-1?2-1+?=-?2-ax+1?2.()若a 2,则f(x)0,当且仅当a=2,x=1 时,f(x)=0,所以f(x)在(0,+)上单调递减.()若a2,令f(x)=0 得,x=? -?2-42或x=?+?2-42.当x(0,? -?2-42)(?+?2-42,+)时,f(x)0,所以f(x)在(0,? -?2-42),(?+?2-42,+)上单调递减 ,在(? -?2-42,?+?2-42)上单调递增.(2)由 (1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a2.由于f(x)的两个极

29、值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11,由于?(?1)-f(?2)?1-?2=-1?1?2-1+aln ?1-ln ?2?1-?2=-2+aln ?1-ln ?2?1-?2=-2+a-2ln ?21?2-?2,所以?(?1)-f(?2)?1-?2a-2 等价于1?2-x2+2ln x21).设函数g(x)=1?-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减 ,又g(1)=0,从而当x(1,+ )时,g(x)0.所以1?2-x2+2ln x20,即?(?1)-f(?2)?1-?2a-2.22.【解析】本题考查极坐标与直角坐标的转化以及直线与圆的位置关系

30、,考查数形结合的数学思想.解:(1)由x= cos ,y= sin 得c2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由 (1)知c2是圆心为a(-1,0),半径为 2 的圆.由题设知 ,c1是过点b(0,2) 且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于b在圆c2的外面 ,故c1与c2有且仅有三个公共点等价于l1与c2只有一个公共点且l2与c2有两个公共点或l2与c2只有一个公共点且l1与c2有两个公共点.当l1与c2只有一个公共点时,a到l1所在直线的距离为2,所以|-?+2|?2+1=2,故k=-43或k=0.经检验 ,当k=0 时,l1与c2没有公共点

31、 ;当k=-43时,l1与c2只有一个公共点 ,l2与c2有两个公共点.当l2与c2只有一个公共点时,a到l2所在直线的距离为2,所以|?+2|?2+1=2,故k=0 或k=43.经检验 ,当k=0 时,l1与c2没有公共点 ;当k=43时,l2与c2没有公共点.综上 ,所求c1的方程为y=-43|x|+2.23.【解析】本题考查含两个绝对值不等式的解法,考查分类讨论的数学思想.解:(1)当a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,? -1,2?, -1 ?1 的解集为 x|x12.(2)当x(0,1) 时,|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1) 时,|ax-

32、1|0,|ax-1|1 的解集为 0 x2?,所以2? 1,故 02,排除 c,d.4.b【解析】本题考查平面向量的数量积,考查运算求解能力.a (2a-b)=2-(-1)=3.5.a【解析】本题考查双曲线的渐近线,以及双曲线的定义和性质,考查运算求解能力.由?=?2+?2?2= 3,得?2?2=2,所以渐近线方程为y= 2x.6.a【解析】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力.因为 cos c=2(55)2-1=-35,所以ab2=1+25-215(-35)=32,ab=4 2.7.b【解析】本题考查程序框图,考查运算求解能力.因为n=n+1?,t=t+1?+1,s=n-t,

33、又s=1-12+13-14+199-1100,所以空白框中应填入i=i+2.8.c【解析】本题考查古典概型,考查运算求解能力.不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共 10 个,其中和为 30 的有三对 ,所以所求概率为p=3c102=115.9.c【解析】本题考查异面直线,考查运算求解能力.以a为坐标原点 ,以ab,ad,aa1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系a-xyz,则?1? =(0,1, 3),?1? ? ? ? ? ? ? ? =(1,-1, 3),所以 cos=225=55.10.a【解析】本题考查三角函数的单调性问题,考查数形结合的

34、思想和运算求解能力.f(x)= 2cos(x+4),在(-4,34)上单调递减 ,所以a最大值为4.11.c【解析】本题考查函数的性质,考查推理论证能力.由题可知函数f(x)关于点 (0,0) 和直线x=1 对称 ,所以函数f(x)的周期为t=4,所以f(-1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=2.12.d【解析】本题考查椭圆的离心率,以及椭圆的定义和性质,考查运算求解能力和转化与化归的数学思想.因为f1f2p=23,|f1f2|=|f2p|=2c,所以p(2c,3c).因为a(-a,0),所以3c-02? -(-?)=36,得e=

35、14.13.2x-y=0【解析】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力.y=2?+1,y|x=0=2,所求切线方程为y=2x.14.9【解析】本题考查线性规划,考查运算求解能力.作出可行域 ,可知当直线x+y=z经过点 (5,4) 取得最大值9.15.-12【解析】本题考查三角恒等变换的知识,考查运算求解能力.将两式平方相加得2+2sin( +)=1,那么 sin( +)=-12.16.40 2【解析】本题考查圆锥的有关知识,考查空间想象能力和运算求解能力.设圆锥底面半径为r,因为sa与圆锥底面所成角为4,所以sa=sb= 2r.因为sa,sb所成角的余弦值为78,所以sin asb=1-4

36、964=158.由12( 2r)2158=5 15,得r2=40,s侧=rl= 2r2=40 2.17.【解析】本题考查等差数列的通项公式与求和公式,考查考生的运算求解能力.解决数列问题 ,关键是找到基本量,再根据相应公式进行求解.解:(1)设an的公差为d,由题意得 3a1+3d=-15.由a1=-7 得d=2.所以 an的通项公式为an=2n-9.(2)由 (1)得sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4 时,sn取得最小值 ,最小值为-16.18.【解析】本题考查折线图的应用、变量间的相关关系、回归方程,考查考生的运算求解能力、数据处理能力.线性回归分析就是研究两组变量间的线性

37、相关关系的一种方法,通过对统计数据的分析,可以预测可能的结果,这就是线性回归方程的基本应用,因此利用最小二乘法求线性回归方程是关键,必须熟练掌握线性回归方程中两个重要估计量的计算.解:(1)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元 ).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下 :()从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下 ,这说明利用2000 年至2016

38、年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加 ,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势 ,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势 ,因此利用模型得到的预测值更可靠.()从计算结果看 ,相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元 ,由模型得到的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说

39、明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由.考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.【解析】本题考查抛物线、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查考生的推理认证能力、运算求解能力 ,考查数形结合思想、转化与化归的数学思想、函数与方程思想.(1)利用抛物线的定义求出直线方程;(2)利用韦达定理求出弦的中点 ,即所求圆的圆心,进而求出圆的方程.解:(1)由题意得f(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设a(x1,y1),b(x2,y2).由?= ?(?-1),?2= 4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2

40、?2+4?2.所以|ab|=|af|+|bf|=(x1+1)+(x2+1)=4?2+4?2.由题设知4?2+4?2=8,解得k=-1(舍去 ),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由 (1)得ab的中点坐标为 (3,2), 所以ab的垂直平分线方程为y-2=-(x-3), 即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则?0= -?0+ 5,(?0+ 1)2=(?0-?0+1)22+ 16,解得?0= 3,?0= 2或?0= 11?0= -6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.20.【解析】本题考查直线与平面垂直的判定、二面角

41、及线面角的计算等基础知识,考查考生的推理认证能力、空间想象能力、运算求解能力.空间中的垂直关系是高考考查的重点内容之一.一般来讲 ,在线线、线面、面面垂直的转化中,线线垂直是最基本的,在转化过程中穿针引线线面垂直是枢纽,将线线、面面垂直联系起来.关于空间角的计算,往往是通过空间向量来解决.解:(1)因为ap=cp=ac=4,o为ac的中点 ,所以opac,且op=2 3.连接ob.因为ab=bc=22ac,所以abc为等腰直角三角形,且obac,ob=12ac=2.由op2+ob2=pb2知poob.由opob,opac知po平面abc.(2)如图 ,以o为坐标原点 ,? 的方向为x轴正方向

42、,建立空间直角坐标系o-xyz.由已知得o(0,0,0),b(2,0,0),a(0,-2,0),c(0,2,0),p(0,0,2 3),? ? ? ? ? =(0,2,2 3).取平面pac的法向量? =(2,0,0).设m(,2-a,0)(0a 2),则? =(a,4-a,0).设平面pam的法向量为n=(x,y,z).由? ? ? ? ? n=0,? n=0 得2? + 2 3z = 0,? + (4-?)? = 0,可取n=( 3(a-4), 3a,-a),所以 cos=23(a-4)23(? -4)2+3?2+?2.由已知可得|cos|=32.所以23|a -4|23(? -4)2+3

43、?2+?2=32.解得a=-4(舍去 ),a=43.所以n=(-833,433,-43).又? ? ? ? ? =(0,2,-2 3),所以 cos=34.所以pc与平面pam所成角的正弦值为34.21.【解析】本题考查导数的运算、利用导数证明不等式等知识,考查考生的运算求解能力、推理认证能力.(1) 将不等式右侧的1移到左侧 ,构造新函数 ,然后求出导数 ,再二次求导 ,进而逐步判断出所构造的函数是单调递增函数,最小值恰好为0.(2)同(1)的方法 ,构造新函数 ,转化为直线y=a与函数y=e?2的图象只有一个交点.解:(1)当a=1 时,f(x)1 等价于 (x2+1)e-x-10.设函数

44、g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x1 时,g(x)0,h(x)没有零点 ;()当a0 时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2) 时,h(x)0.所以h(x)在(0,2) 上单调递减 ,在(2,+)上单调递增.故h(2)=1-4?e2是h(x)在0,+)上的最小值.若h(2)0,即ae24,h(x)在(0,+)上没有零点 ;若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+)上只有一个零点;若h(2)e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2) 上有一个零点.由(1) 知,当x0 时,exx2,所以h(4a)=1-1

45、6?3e4?=1-16?3(e2?)21-16?3(2?)4=1-1?0.故h(x)在(2,4a)上有一个零点 ,因此h(x)在(0,+)上有两个零点.综上 ,当f(x)在(0,+)上只有一个零点时,a=e24.22.【解析】本题考查坐标系与参数方程的基础知识,考查理解能力和运用能力.(1)消去参数得到直角坐标方程;(2)利用点差法求出直线斜率.解:(1)曲线c的直角坐标方程为?24+?216=1.当 cos 0 时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan .当 cos =0 时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入c的直角坐标方程 ,整理得关于t的方程 (1+3cos2)

46、t2+4(2cos +sin )t-8=0. 因为曲线c截直线l所得线段的中点(1,2) 在c内,所以有两个解 ,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos?+sin?)1+3cos2,故 2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.23.【解析】本题考查含有绝对值符号的不等式、不等式恒成立等知识,考查学生数形结合能力、转化与化归数学思想与运算求解能力.(1)利用零点分段讨论法,把含绝对值符号的不等式问题转化为不含绝对值符号的不等式问题.(2)考查了绝对值不等式.解:(1)当a=1 时,f(x)=2?+ 4,? -1,2,-1 2.可得f(x)0 的解

47、集为 x|-2x3.(2)f(x)1 等价于|x+a|+|x-2| 4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2 时等号成立.故f(x)1 等价于|a+2|4.由|a+2| 4 可得a-6 或a 2.所以a的取值范围是 (-,-6)2,+).全国卷1.c【解析】本题考查集合的运算,考查运算求解能力.因为a=?|? 1,所以ab=1,2.2.d【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.(1+i)(2-i)=3+i.3.a【解析】本题考查三视图的有关知识,考查空间想象能力.带卯眼的木构件是一个大长方体里面挖掉一个小长方体而形成的,所以它的俯视图应该是a.4.b【解析】本题考查三角恒等变

48、换的知识,考查运算求解能力.因为 sin =13,所以 cos 2=1-2sin2=79.5.c【解析】本题考查二项式定理的应用,考查运算求解能力.tr+1=c5?(x2)5-r(2?)r=2rc5?x10-3r.令 10-3r=4,解得r=2,22c52=40.6.a【解析】本题考查直线与圆的有关知识,考查运算求解能力和转化与化归的数学思想.|ab|=2 2,圆心 (2,0) 到直线x+y+2=0 的距离为|2+0+2|12+12=2 2,设点p到直线ab的距离为h,则 2 2- 2h2 2+ 2,即 2h3 2,所以 212|ab|h 6,即abp的面积的取值范围是2,6.7.d【解析】本

49、题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力.令x=0,得y=20,排除 a,b.又x=1 或 0 时,y=2,根据图象可知选d.8.b【解析】本题考查二项分布的有关问题,考查数据处理能力和应用意识.因为xb(n,p),所以10?(1-?)= 2.4c104?4(1-p)612,解得p=0.6.9.c【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力.因为12absin c=?2+?2-?24,所以12absin c=142abcos c,即 tan c=1.所以c=4.10.b【解析】本题考查三棱锥的外接球问题,考查空间想象能力和运算求解能力.设abc的外心为o1,球心为o,

50、因为34 |ab|2=9 3,所以|ab|=6,从而|ao1|=633=2 3,所以|oo1|= |?|2-|?1a|2=2.当点d到平面abc的距离最大时 ,三棱锥d-abc的体积最大 ,此时 ,d,o,o1三点共线 ,且|do1|=2+4=6,体积最大值为139 36=18 3.11.c【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的定义和性质,考查运算求解能力和化归与转化的思想.如图 ,在 rtopf2中,|pf2|=b,|op|=a,|of2|=c,所以 cos pof2=?,在opf1中,cos pof1=-?,|op|=a,|of1|=c,|pf1|= 6a,所以 6a2=a2+

51、c2-2ac (-?),解得c= 3a,e= 3.12.b【解析】本题考查对数函数的图象与性质,考查数的大小比较,考查推理论证能力.因为 0log0.20.3log0.20.2=1,所以 0a1,b0,ab0.因为?+?=1?+1?=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,所以 0?+?ab,排除 a,c,d.选 b.13.12【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及平行问题,考查运算求解能力.因为 2a+b=(4,2),c(2a+b),所以 4 -2=0,解得=12.14.-3【解析】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力.因为y=ex(ax+a+1),所以y|x=0=a+1

52、,令a+1=-2,得a=-3.15.3【解析】本题考查三角函数的零点问题,考查数形结合的思想和运算求解能力.因为 0 x ,所以63x+6196,令 3x+6=2或 3x+6=32或 3x+6=52,得x=9或49或79,所以该函数的零点个数为3.16.2【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的性质,考查运算求解能力和转化与化归的数学思想.设直线ab:x=my+1,a(x1,y1),b(x2,y2).联立方程组?= ? + 1?2= 4x,消去x得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.又? =(x1+1,y1-1),? =(x2+1,y2-1),? ? ,所以

53、(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5,所以 4m2-4m+1=0,解得m=12,从而k=1?=2.17.【解析】本题考查等比数列的通项公式与求和公式,考查考生的运算求解能力.解决数列问题 ,关键是找到基本量,再根据相应公式进行求解.解:(1)设数列 an的公比为q,q2=?5?3=4, q= 2.an=2n-1或an=(-2)n-1.(2)由 (1)知,sn=1-2?1-2=2n-1 或sn=1-(-2)?1+2=131-(-2)n,sm=2m-1=63 或sm=131-(-2)m=63(舍), m=6.18.【解析】本题考查

54、与现实生活密切联系的实际问题,考查数据处理能力和应用意识.线性回归分析与独立性检验是高考的一类常考题型 ,通过对数据的分析与处理,考生容易找到解题的办法,此类问题难度不大.解:(1)第一种生产方式的平均数为?1=84, 第二种生产方式的平均数为?2=74.7,?1?2,即第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种,第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图数据得到m=79+812=80,列联表为超过 m不超过 m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)k2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)=40(15 15 -5 5)220 20 20 20=106.635,有 99

55、% 的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.【解析】本题考查线面关系与二面角的余弦值,考查空间想象能力和运算求解能力.(1)第一问 ,要联想初中的圆的有关性质,再根据面面垂直的定义与性质进行证明.(2)第二问求二面角的问题,通过建立空间直角坐标系设立各相关点的坐标,很容易求出二面角的正弦值.(1)证明 :正方形abcd半圆面cmd, ad半圆面cmd, ad平面mcd. cm在平面mcd内, adcm.又m是半圆弧?上异于c,d的点 , cmmd.又 addm=d, cm平面adm. cm在平面bcm内,平面bcm平面adm.(2)解 :以dc的中点o为坐标原点 ,建立如图所示的空间直角坐标

56、系o-xyz.面积s abc恒定 ,当mocd时,vm-abc最大.m(0,0,1),a(2,-1,0),b(2,1,0),设平面mab的法向量为m=(x1,y1,z1),? =(2,-1,-1),mb=(2,1,-1),mc=(0,1,-1),md=(0,-1,-1),2?1-?1-?1= 02?1+ ?1-?1= 0,可取m=(1,0,2).易知平面mcd的一个法向量n=(1,0,0), 记 =,cos =15=55,sin =255,即所求二面角的正弦值为255.20.【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力和转化与化归的数学思想.(1)凡是焦点弦问题用“点差法”很有效.(2) 第二问通过设点p的坐标 ,依据向量的关系 ,求出|? ? ? ? ? |,|? ? ? ? |,|? ? ? ? ? |的值 ,很容易找到它们三者之间的数量关系,从而求出数列的公差。证明 :(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),则?124+?123=1,?224+?223=1.两式相减 ,并由?1-?2?1-?2=k得?1+?24+?1+?23k=0.由题设知?1