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1、会计学1D110闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质73910注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设12则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,xyab)(xfy O第1页/共13页例如例如,无最大值和最小值 22也无最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11第2页/共13页12mM由定理 1 可知有证证: 设, ,)(baCxf上有界 .定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点且使( 证明略 )推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. bxya)(xfy Oxya

2、b)(xfy O第3页/共13页设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使即推论推论: 在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .xAbya)(xfy BO第4页/共13页O1x一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则4321内容小结 第5页/共13页已知函数在区间 I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:第

3、6页/共13页但不一致连续 .因为取点则 可以任意小但这说明xxf1)(在( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理4.上一致连续.(证明略)思考思考: P74 题 *7提示提示:设存在,作辅助函数显然第7页/共13页在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在,ba在,ba第8页/共13页1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.xOy则面积函数因故由介值定理可知:第9页/共13页则证明至少存在使提示提示: 令则易证作业作业P74 (习题110） 2 ; 3; 5一点习题课 第10页/共13页至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且0根据

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