四.随机过程的功率谱密度

1、2021-12-41随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度引言 在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。 在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件，即( )x t d

2、t 通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，称为信号的规范量。 一阶规范量，若模可积，即满足则一阶规范量定义为否则定义为6.1确定信号的大小、能量和功率确定信号的大小、能量和功率( )x t dt 1( )( )x tx t dt11( )lim( )2TTTx tx t dtT确定信号的大小、能量和功率确定信号的大小、能量和功率 二阶规范量，若模可积定义为否则定义为22( )( )x tx tdt221( )lim( )2TTTx tx tdtT向量范数向量范数定义1., xRnn中任意一个向量维向量空间对于对应，且满足与若存在唯一一个实数xRx ;00,0)()1(xxRxxn且正定

3、性;,)()2(RRxxxn，齐次性.,)()3(nRyxyxyx，三角不等式.的范数为向量则称xxTnnnxxxxCR),(,)(21设中在向量空间的范数有常用的向量 x2x2122221)(nxxx范数21xnxxx21范数1xinix1max范数pxppnppxxx121)(1,pp范数2x和1x显然时的特例和在是21ppxp 设信号s(t)为非周期实函数，且满足： 1) ，即s(t)绝对可积； 2) s(t)在内只有有限个第一类间断点和极值点。 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为 又称为频谱密度，也简称为频谱。 信号s(t)可以用频谱表示为确定信号的频谱和能量谱确定信号的频谱和能量谱(

4、 )s t dt ( )( )j tSs t edt1( )( )2j ts tSed 信号s(t)的总能量为 根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即 其中 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。 有限能量信号： 是能量谱密度存在的条件221( )( )2Es t dtSd2( )Es t dt2( )S2( )s t dt 样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的因此，可以研究随机过程的功率谱。 样本函数x(t)的截取函数21lim( )2TTTPx tdtT ( ) ( )0 Tx ttTx t其他随机信号的功率截取函数的傅立叶变换截取函数应

5、满足帕塞瓦定理两边同除以2T可得1( ,)( ) ( )( ,)2j tj tXTTXXTx t edtx tXTed221( )( ,)2TXTx tdtXTd2211( )( ,)22 *2TXTx t dtXTdTT取集合平均可得随机过程的平均功率功率谱密度2211( )( ,)22 *2TXTEx t dtEXTdTT22( ,)11lim( )lim222TXTTTEXTE x tdtdTT211lim( )( )22TXTTPE x tdtSdT21( )lim( ) 2XTTSE XT两个结论1、随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到。若随机过程广义平稳2、若随机

6、过程广义平稳2( )PA E x t22( )( )PA E x tE x t1( )2XPSd21( )( )2XE x tSd 1、功率谱密度为非负的，即2、功率谱密度是的实函数。3、对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即( )0XS( )()XXSS2( ,)( )lim2XXTEXTST功率谱密度的性质截取函数 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质于是4、功率谱密度可积，即( )Tx t*( ,)( ,)XXXTXT2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT( )XSd 2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT功率谱密度的表达式为其中功率谱密度可表示为2( ,)( )li

7、m2XXTEXTST( ,)( ) j tXTXTx t edt2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT1212121lim( ) ( )2TTj tj tTTTE x t x teedt dtT 1211221lim( )( )2TTj tj tTTTEx t edtx t edtT( )XS功率谱密度与自相关函数由得121212( )( )( , ) , ,XE X t X tRt tTt tT21()12121( )lim( , )2TTjttXXTTTSRt t edt dtT 1( )lim( ,)2T tTjXXT tTTSRt tdt edT 1( )lim( ,)2( ,

8、)TjXXTTjXSRt tdt edTA Rt ted对于广义平稳随机过程则 维纳辛钦定理1( ,)( )2jXXA Rt tSed( ,)( )( ,)( )( )XXXXXRt tRA Rt tA RR( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSed双边带功率谱密度：双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上，称为双边带功率谱密度。单边带功率谱密度：单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上，成为单边带功率谱密度。单边带功率谱密度与双边带功率谱密度之间的关系为：在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。0 00 )(2S)(GXX平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度

9、的对应关系：) t (XXR ( )(SXdt) t (dXtd) t (Xdnntj0e ) t (X22)(dRdXnXnndRd22)() 1(0jX)e(R)(taX)(2XRa)(2XS)(2XnS)(0S)(2XSa例例 已知零均值平稳过程已知零均值平稳过程X(t)的的 2426( ),( ).54XXXSRD t求与222242222222221466()54(1)(4)1466624|2,|84313XSABAB 解：| |2| |X222|0|2|0|28( ),R ( )214()(0)= 2 0=1 XXXXSeeD tRmee22| |2aaeta互谱密度互谱密度 定义

10、两个截取函数 为 二者满足绝对可积的条件，则( ) , ( )TTx tyt( ) ( )0 Tx ttTx t其他( ) ( )0 Ty ttTyt其他( ) ( ,)( ) ( ,)TXTYx tXTytXT联合平稳随机过程的互谱密度 定义两随机过程的互功率为 应用帕塞瓦定理1( )( )( )2TXYTTTPTx t yt dtT1( ) ( )2TTx t y t dtT1( )( ) ( )2TXYTPTx t y t dtT*( ,)( ,)122XYXTXTdT 下面求平均功率 ，得平均功率互功率谱密度定义为*( ,)( ,)1( )( )22XYXYXYE XTXTA PTE

11、PTdTT *( ,)( ,)1lim( )lim22XYXYXYTTE XTXTPA PTdT*1lim( ,)( ,)2XYXYTSE XTXTT（ ）1、对于实随机过程X(t)、Y(t)有 2、若X(t),Y(t)联合平稳，有 ( ,)jXYXYSA Rt ted-（ ）=互谱密度与互相关函数( )XYXYSR（ ） 性质1： 性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。 互功率谱密度性质互功率谱密度性质*( )()( )()XYYXYXXYSSSSRe( )Re()Re( )Re()Im( )Im()Im( )Im()XYYXYXXYXYYXYXXYSSSSSSSS 互谱密度的性质性

12、质3：若X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零 性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有性质5：互功率谱密度性质互功率谱密度性质( )( )2( )XYYXXYSSm m 2( )( )( )XYXYSSS互谱密度的性质周期图法 本质是从各态历经过程功率谱定义得到的估计量，对于长度为N的随机序列X(n) 式中式中 是X(n)的N点DFT。 6.6 功率谱估值功率谱估值21( )( )XNSXN( )NX功率谱估值Blackman-Tukey 本质是基于维纳辛钦定理对于有限数据，谱密度估值为( )( )sj kTXXkSRk e( )( )sNj kTXXk

13、NSRk e功率谱估值算法改进 无论周期图法还是BT法，均为渐进无偏，但不是一致估计量即真实谱越大的地方，也就是通常我们感兴即真实谱越大的地方，也就是通常我们感兴趣的地方，谱估计量方差越大，越不可靠。趣的地方，谱估计量方差越大，越不可靠。 改进算法有改进算法有平均法、平滑法等平均法、平滑法等2lim Var( )( )XXNSS功率谱估值 类似相关函数，在时域的高阶统计量称为高阶累量(Cumultants)，类似于功率谱密度，在频域高阶统计量称为高阶谱(Polyspectra)。 对于零均值实随机变量X1 X2 X3 X4，其对应的二阶、三阶和四阶累量为 若均值不为零，则用 替换 。12121

14、2312312341234123413241423Cum(,)Cum(,)Cum(,) XXE X XXXXE X X XXXXXE X X X XE X XE X XE X XE X XE X XE X XiiiXXXmiX高阶统计量与高阶谱 目前高阶统计量用得最多的是三、四阶累量。三阶累积量在概率密度函数对称的情况下为零。由于高斯变量有以下重要公式： 可知高斯过程的四阶累量为零，它提供了研究随机过程与高斯过程差异的一个度量。1234123413241423 E X X X XE X XE X XE X XE X XE X XE X X 高斯过程定义：如果对于任意时刻，随机过程的任意n维随机

15、变量服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。高斯过程的n维概率密度函数为： 式中m,x为n维向量 C为协方差矩阵 6.7高斯过程与白噪声高斯过程与白噪声1()()212121 221(,; , ,)(2 )Tx mCx mnnnf x xx t tteC1n1n( )( )TTmm tm txxx1111( , )( ,)( , )( ,)XXnXnXnnCt tCt tCCt tCt t高斯过程与白噪声高斯过程与白噪声 广义平稳正态过程定义：若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，而自相关函数只取决于时间间隔，则称此正态过程为广义平稳正态过程。 性质1：宽平稳高斯过程一定是严平

16、稳过程。 性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻是不相关的，那么也一定是互相独立的 性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。 高斯过程性质高斯过程性质 性质4：若正态随机过程在T上是均方可积的，则也是正态过程。 性质5：若正态随机过程在T上是均方可微的，则其导数也是正态过程。高斯过程性质高斯过程性质( )( )( ,)( )( ) ( , )( ,)tabaY tXda tTY tXht da tT（1）从噪声与电子系统的关系来看：v内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。v外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。（2）根据噪声的分布：v高斯噪声：具有高斯分布的噪声。v均匀噪声：具

17、有均匀分布的噪声。（3）从功率谱的角度来看：v白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白噪声。v色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。噪声的分类 噪声的分类 一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即 的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。理想白噪声 0( )2NNS 白噪声过程白噪声过程 利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：白噪声的相关系数 若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。理想白噪声 0( )( )2NNR 020( )1(0)( )2( )0(0)(0)2NNNNCrN 带限白噪声带限白噪声 若白噪声的功率谱在 内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为 称这类白噪声为低通白噪声。 自相关